दो बिंदुओं के बीच दूरी तथा आंतरिक और बाह्य विभाजन बिंदु के निर्देशांक (Distance Formula and Section Formula)
👉 दो बिंदुओं के बीच दूरी का सूत्र (Distance Formula)
🔹 दो बिंदुओं के बीच दूरी
⭐ किसी भी दो बिंदुओं P(x1, y1) और Q(x2, y2) के बीच की दूरी
🔹 मूलबिंदु से किसी बिंदु की दूरी
⭐ मूलबिंदु P(0, 0) और किसी बिंदु Q(x1, y1) के बीच की दूरी
Distance Formula का उपयोग करके निम्न प्रश्नों को हल करो।
🔹 बिंदु (3, -5) और (5, -1) के बीच की दूरी ज्ञात करो।
🔹 यदि बिंदु (a, -2) और (0, 0) के बीच की दूरी √29 इकाई है, तो a का मान/मान ज्ञात करो।
🔹 सिद्ध करो कि बिंदु (7, 10), (-2, 5) और (3, -4) एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
🔹 एक समद्विबाहु त्रिभुज के दो शीर्ष (2, 0) और (2, 5) हैं। यदि समान भुजाओं की लंबाई 3 इकाई है, तो तीसरा शीर्ष ज्ञात करो।
🔹 सिद्ध करो कि दो बिंदुओं के बीच की दूरी a के मान पर निर्भर नहीं करती।
👉 दिए गए अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक
दिए गए अनुपात में आंतरिक विभाजन करने वाले बिंदु के निर्देशांक
⭐ मान लो रेखाखंड के सिरों के निर्देशांक A (x1, y1) और B (x2, y2) हैं। बिंदु P(x, y) रेखाखंड AB को m : n के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
∴ और
दिए गए अनुपात में बाह्य विभाजन करने वाले बिंदु के निर्देशांक
⭐ यदि बिंदु P(x, y), A (x1, y1) और B (x2, y2) को m : n के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है, तो
∴ और
मध्यबिंदु के निर्देशांक
∴ और
🔹 मध्यबिंदु Section Formula का विशेष रूप है, जहाँ m : n = 1 : 1 होता है।
निम्न प्रश्नों को Section Formula का उपयोग करके हल करो।
🔹 वह बिंदु ज्ञात करो जो (8, 9) और (–7, 4) को मिलाने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
🔹 बिंदु P(–1, –1), A(4, 4) और B(7, 7) को मिलाने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करता है?
🔹 x-अक्ष, (–2, 5) और (1, –9) को मिलाने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करता है?
🔹 (1, 2) और (11, 9) को मिलाने वाले रेखाखंड के त्रिभाजन बिंदु ज्ञात करो।
👉 त्रिभुज के निर्देशांकों से संबंधित कुछ महत्वपूर्ण बातें
त्रिभुज के केंद्रक (Centroid) के निर्देशांक
⭐ यदि त्रिभुज के शीर्ष क्रमशः A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) हों, तो केंद्रक G(x, y) के निर्देशांक होंगे:
∴ और
📚 त्रिभुज की तीनों माध्यिकाएँ जिस बिंदु पर एक-दूसरे को काटती हैं, उसे त्रिभुज का केंद्रक कहते हैं।
📚 केंद्रक प्रत्येक माध्यिका को शीर्ष की ओर से 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।
त्रिभुज के अंतःकेंद्र (Incenter) के निर्देशांक
⭐ यदि त्रिभुज के शीर्ष क्रमशः A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) हों तथा इनके सामने की भुजाएँ क्रमशः a, b और c हों, तो अंतःकेंद्र I(x, y) के निर्देशांक होते हैं:
∴ और
📚 त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोण समद्विभाजक जिस बिंदु पर मिलते हैं, उसे अंतःकेंद्र कहते हैं।
👉 दिए गए शीर्षों के निर्देशांकों से त्रिभुज का क्षेत्रफल
त्रिभुज का क्षेत्रफल
⭐ यदि त्रिभुज के तीन शीर्ष क्रमशः A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) हों, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा:
∴
तीन बिंदुओं के समरेखीय होने की शर्त
🔹 यदि तीन बिंदु एक ही सीधी रेखा पर हों, तो उनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा।
∴
🧠 जल्दी याद रखने वाले सूत्र
| विषय | सूत्र / परिणाम |
|---|---|
| दो बिंदुओं के बीच दूरी | |
| मूलबिंदु से दूरी | |
| आंतरिक विभाजन, m:n | |
| बाह्य विभाजन, m:n | |
| मध्यबिंदु | |
| केंद्रक |
📚 महत्वपूर्ण बातें
🔹 Distance Formula में x और y के अंतर एक ही क्रम में लेने से गणना आसान रहती है, लेकिन वर्ग होने के कारण क्रम बदलने पर भी दूरी का मान नहीं बदलता।
🔹 Internal Section Formula में हर m+n होता है, जबकि External Section Formula में हर m-n होता है। इस अंतर को ध्यान से याद रखो।
🔹 मध्यबिंदु, Section Formula का m:n = 1:1 वाला विशेष रूप है।
🔹 केंद्रक प्रत्येक माध्यिका को शीर्ष की ओर से 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।
🔹 क्षेत्रफल के सूत्र में absolute value लिया जाता है, इसलिए क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं होता।
🔹 यदि तीन बिंदु समरेखीय हों, तो उनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है।
✏️ हल सहित उदाहरण
उदाहरण 1: दो बिंदुओं के बीच दूरी
A(2, 3) और B(8, 11) के बीच की दूरी ज्ञात करो।
अतः AB = 10 इकाई।
उदाहरण 2: आंतरिक विभाजन
A(2, 4) और B(8, 10) को बिंदु P, 1:2 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। P के निर्देशांक ज्ञात करो।
अतः P(4, 6)।
उदाहरण 3: समरेखीयता की जाँच
जाँच करो कि A(1, 2), B(3, 6) और C(5, 10) समरेखीय हैं या नहीं।
अतः तीनों बिंदु समरेखीय हैं।
