ত্রিভুজের সর্বসমতা (Congruence of Triangles)
🎯 এই পেজের শেষে তুমি কী কী শিখবে?
👉 সর্বসম ত্রিভুজ এবং তাদের অনুরূপ অংশ চিনতে পারবে।
👉 SSS, SAS, ASA, AAS এবং RHS শর্ত সঠিকভাবে ব্যবহার করতে পারবে।
👉 সর্বসমতার statement-এ vertex-এর সঠিক correspondence লিখতে পারবে।
👉 দুটি ত্রিভুজ সর্বসম প্রমাণের পরে CPCT ব্যবহার করতে পারবে।
👉 AAA এবং SSA সাধারণভাবে সর্বসমতার শর্ত নয় কেন তা বুঝতে পারবে।
👉 সহজ প্রমাণভিত্তিক ও সংখ্যাভিত্তিক প্রশ্ন সমাধান করতে পারবে।
👉 সর্বসম ত্রিভুজ কী?
যদি দুটি ত্রিভুজের আকার এবং মাপ উভয়ই সম্পূর্ণ একই হয়, তবে তাদের সর্বসম ত্রিভুজ বলা হয়।
একটি ত্রিভুজকে অন্যটির উপর রাখলে যদি তারা সম্পূর্ণভাবে একে অপরকে ঢেকে দেয়, তবে তারা সর্বসম।
সর্বসমতার প্রতীক হলো ≅।
উদাহরণ:
△ABC ≅ △PQRএখানে অক্ষরগুলোর ক্রম খুব গুরুত্বপূর্ণ:
A ↔ P, B ↔ Q, C ↔ Rঅতএব অনুরূপ বাহুগুলো হলো:
AB = PQ, BC = QR, CA = RPএবং অনুরূপ কোণগুলো হলো:
∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R📚 CPCT কী?
CPCT-এর পূর্ণরূপ Corresponding Parts of Congruent Triangles।
দুটি ত্রিভুজ সর্বসম প্রমাণিত হওয়ার পরে তাদের অনুরূপ বাহু ও অনুরূপ কোণগুলোকে সমান বলা যায়।
যেমন,
△ABC ≅ △PQR হলে CPCT থেকে,
AB = PQ, BC = QR, AC = PRএবং
∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R🔹 ত্রিভুজের সর্বসমতার (Congruence) প্রধান শর্ত
ত্রিভুজের সর্বসমতার প্রধান যে চারটি শর্ত আছে তা দিয়ে দুটি ত্রিভুজ আকৃতি ও আয়তনে হুবহু সমান কি না তা নিশ্চিত করা যায়।
⭐ বাহু-বাহু-বাহু (SSS - Side-Side-Side)
যদি দুটি ত্রিভুজের তিন জোড়া অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হয়, তবে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হবে।
অর্থাৎ, AB = EF, BC = FG, এবং CA = GE
হলে, △ABC ≅ △EFG
বাহু-বাহু-বাহু (SSS)
AB = EF, BC = FG, এবং CA = GE
| ∵ | △ABC এবং △EFG-এর ক্ষেত্রে |
| AB = EF, | |
| BC = FG, | |
| এবং | CA = GE |
| ∴ | △ABC ≅ △EFG (SSS) |
⭐ বাহু-কোণ-বাহু (SAS - Side-Angle-Side)
যদি দুটি ত্রিভুজের দুই জোড়া অনুরূপ বাহু এবং ওই দুই বাহুর মধ্যবর্তী কোণ সমান হয়, তবে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হবে।
অর্থাৎ, AB = EF, ∠BAC = ∠FEG, এবং AC = EG
হলে, △ABC ≅ △EFG
বাহু-কোণ-বাহু (SAS)
মনে রাখবে: SAS-এ সমান কোণটি অবশ্যই সমান দুই জোড়া বাহুর মধ্যবর্তী বা অন্তর্ভুক্ত কোণ হতে হবে।
| ∵ | △ABC এবং △EFG-এর ক্ষেত্রে |
| AB = EF | |
| ∠BAC = ∠FEG | |
| এবং | AC = EG |
| ∴ | △ABC ≅ △EFG (SAS) |
⭐ কোণ-কোণ-বাহু (AAS - Angle-Angle-Side)
যদি দুটি ত্রিভুজের দুই জোড়া অনুরূপ কোণ এবং এক জোড়া অনুরূপ বাহু সমান হয়, তবে ত্রিভুজ দুটি AAS শর্তে সর্বসম হয়।
অর্থাৎ, ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, এবং AB = PQ
হলে, △ABC ≅ △EFG
কোণ-বাহু-কোণ (ASA)
| ∵ | △ABC এবং △PQR-এর ক্ষেত্রে |
| ∠A = ∠P | |
| AB = PQ | |
| এবং | ∠B = ∠Q |
| ∴ | △ABC ≅ △PQR (AAS) |
ত্রিভুজের দুটি কোণ জানা থাকলে তৃতীয় কোণও 180° কোণ-সমষ্টি সূত্র থেকে নির্দিষ্ট হয়ে যায়। তাই AAS থেকেও সর্বসমতা প্রমাণ করা যায়।
⭐ সমকোণ-অতিভুজ-বাহু (RHS - Right angle-Hypotenuse-Side)
দুটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ এবং অতিভুজ ছাড়া এক জোড়া অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হলে ত্রিভুজ দুটি RHS শর্তে সর্বসম হয়।
অর্থাৎ, ∠A = ∠E = 90°, BC = FG = অতিভুজ, এবং AC = EG
হলে, △ABC ≅ △EFG
সমকোণ-অতিভুজ-বাহু (RHS)
| ∵ | △ABC এবং △EFG-এর ক্ষেত্রে |
| ∠A = ∠E = 90° | |
| BC = FG (অতিভুজ) | |
| এবং | AC = EG |
| ∴ | △ABC ≅ △EFG (RHS) |
⚠️ কোন তথ্য সর্বসমতা প্রমাণের জন্য যথেষ্ট নয়?
🔸 AAA কেন সর্বসমতার শর্ত নয়?
দুটি ত্রিভুজের তিন জোড়া অনুরূপ কোণ সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সদৃশ হয়। অর্থাৎ তাদের আকৃতি একই এবং অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক। তবে বাহুগুলির দৈর্ঘ্য সমান হওয়া আবশ্যক নয়।
উদাহরণ: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহু 3 cm এবং অন্যটির প্রতিটি বাহু 6 cm হলে। উভয়ের প্রতিটি কোণ 60°, কিন্তু ত্রিভুজ দুটি সর্বসম নয়।
তাই শুধু AAA থেকে সর্বসমতা নিশ্চিত করা যায় না।
🔸 SSA সাধারণভাবে সর্বসমতার শর্ত নয়
দুটি বাহু এবং ওই দুই বাহুর মধ্যবর্তী নয় এমন একটি কোণ জানা থাকলে সবসময় একটিমাত্র নির্দিষ্ট ত্রিভুজ পাওয়া যায় না।
তাই SSA সাধারণভাবে একটি বৈধ congruence criterion নয়।
SSA সাধারণভাবে সর্বসমতা নিশ্চিত করে না। তবে সমান কোণ দুটি সমকোণ হলে এবং সমান বাহুগুলির মধ্যে অতিভুজ ও অন্য একটি অনুরূপ বাহু থাকলে RHS প্রযোজ্য হয়। এই বিশেষ ক্ষেত্রে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হয়।
✍️ সমাধানসহ উদাহরণ
✏️ উদাহরণ 1: সঠিক শর্তটি চিহ্নিত করি
△ABC এবং △PQR-এ
AB = PQ, BC = QR এবং CA = RP।
তিন জোড়া অনুরূপ বাহু সমান।
অতএব,
△ABC ≅ △PQR (SSS)✏️ উদাহরণ 2: SAS ব্যবহার
△ABC এবং △DEF-এ
AB = DE,AC = DF, এবং ∠A = ∠D।
সমান কোণটি সমান দুই জোড়া বাহুর মধ্যবর্তী কোণ।
অতএব,
△ABC ≅ △DEF (SAS)✏️ উদাহরণ 3: Correspondence এবং CPCT
যদি △ABC ≅ △PQR এবং BC = 7 cm, তবে QR-এর মান নির্ণয় করি।
সর্বসমতার statement-এর ক্রম থেকে,
B ↔ Q এবং C ↔ R।
তাই BC ↔ QR।
CPCT থেকে,
QR = BC = 7 cm।
✏️ উদাহরণ 4: RHS ব্যবহার
দুটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 cm এবং এক জোড়া অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য 6 cm।
উভয় ত্রিভুজে একটি করে সমকোণ আছে, অতিভুজ সমান এবং এক জোড়া অনুরূপ বাহুও সমান।
অতএব ত্রিভুজ দুটি RHS শর্তে সর্বসম।
✏️ উদাহরণ 5: AAA কি যথেষ্ট?
দুটি ত্রিভুজের কোণ যথাক্রমে
40°, 60°, 80°এবং
40°, 60°, 80°।
ত্রিভুজ দুটি কি অবশ্যই সর্বসম?
না। তিনটি কোণ সমান হলেও তাদের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য ভিন্ন হতে পারে।
তাই AAA থেকে সর্বসমতা প্রমাণিত হয় না।
✏️ উদাহরণ 6: AAS শনাক্ত করি
△ABC এবং △PQR-এ
∠A = ∠P,∠B = ∠Q, এবং AC = PR।
এখানে AC এবং PR, দেওয়া দুটি সমান কোণের মধ্যবর্তী বাহু নয়।
অতএব,
△ABC ≅ △PQR (AAS)✏️ উদাহরণ 7: সর্বসমতা থেকে দুটি কোণের সমতা
প্রশ্ন: △ABC-এ AB = AC। BC বাহুর মধ্যবিন্দু D। প্রমাণ করো, ∠BAD = ∠DAC।
সমাধান: △ABD ও △ACD-এর ক্ষেত্রে,
- AB = AC, প্রদত্ত।
- BD = CD, কারণ D হলো BC-এর মধ্যবিন্দু।
- AD = AD, সাধারণ বাহু।
অতএব, SSS শর্তে △ABD ≅ △ACD।
এখন CPCT থেকে ∠BAD = ∠DAC।
সুতরাং AD, ∠BAC-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
🧩 অনুশীলনী প্রশ্ন
✍️ 01. △ABC এবং △PQR-এ AB = PQ, BC = QR এবং AC = PR। কোন সর্বসমতার শর্ত প্রযোজ্য?
✍️ 02. △ABC এবং △DEF-এ AB = DE, AC = DF এবং ∠A = ∠D। কোন শর্ত প্রযোজ্য?
✍️ 03. দুটি ত্রিভুজে দুই জোড়া কোণ সমান এবং ওই কোণগুলোর মধ্যবর্তী বাহুও সমান। কোন শর্ত প্রযোজ্য?
✍️ 04. দুটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ সমান এবং এক জোড়া অনুরূপ বাহুও সমান। কোন শর্ত প্রযোজ্য?
✍️ 05. যদি △ABC ≅ △PQR এবং AB = 5.4 cm, তবে PQ-এর মান কত?
✍️ 06. যদি △XYZ ≅ △LMN, তবে ∠Y-এর অনুরূপ কোণ কোনটি?
✍️ 07. তিন জোড়া অনুরূপ কোণ সমান হলে কি দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হবে? কারণ লেখো।
✍️ 08. নিচের কোনটি সাধারণভাবে সর্বসমতা প্রমাণের জন্য যথেষ্ট নয়: SSS, SAS, ASA, SSA, RHS?
✍️ 09. △ABC এবং △PQR-এ ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q এবং AC = PR। কোন শর্ত প্রযোজ্য?
✍️ 10. যদি △ABC ≅ △PQR এবং ∠C = 72°, তবে ∠R-এর মান কত?
1. SSS
2. SAS
3. ASA
4. RHS
5. PQ = 5.4 cm
6. ∠Y = ∠M
7. না। AAA থেকে একই আকৃতি পাওয়া যেতে পারে, কিন্তু মাপ ভিন্ন হতে পারে।
8. SSA
9. AAS
10. ∠R = 72°
🎯 মিল খুঁজে দেখো
⚠️ সাধারণ ভুল ধারণা
🔹 SAS-এ যে-কোনো সমান কোণ ব্যবহার করা যায়।
ভুল। SAS-এ সমান কোণটি অবশ্যই সমান দুই জোড়া বাহুর মধ্যবর্তী কোণ হতে হবে।
🔹 ASA এবং AAS একই তথ্য দেয়।
দুটিই সর্বসমতা প্রমাণ করতে পারে, কিন্তু ASA-তে সমান বাহুটি দুই সমান কোণের মধ্যবর্তী; AAS-এ তা নয়।
🔹 AAA থেকে দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হয়।
ভুল। AAA সাধারণভাবে একই আকৃতি নির্দেশ করে, একই মাপ নয়।
🔹 RHS যে-কোনো ত্রিভুজে প্রযোজ্য।
ভুল। RHS কেবল সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।
🔹 △ABC ≅ △PQR-এ অক্ষরের ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়।
ভুল। এই ক্রম থেকেই অনুরূপ vertex, বাহু এবং কোণ নির্ধারিত হয়।
🔹 দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হলে CPCT ব্যবহার করার আগে আলাদা করে অনুরূপ অংশ চিনতে হয় না।
ভুল। CPCT সঠিকভাবে ব্যবহার করতে হলে প্রথমে correspondence সঠিকভাবে বুঝতে হবে।
🧠 দ্রুত রিভিশন (Quick Revision)
🔹 সর্বসম ত্রিভুজের আকার ও মাপ উভয়ই একই।
🔹 সর্বসমতার প্রতীক ≅।
🔹 SSS: তিন জোড়া অনুরূপ বাহু সমান।
🔹 SAS: দুই জোড়া বাহু এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ সমান।
🔹 ASA: দুই জোড়া কোণ এবং তাদের মধ্যবর্তী বাহু সমান।
🔹 AAS: দুই জোড়া কোণ এবং একটি non-included অনুরূপ বাহু সমান।
🔹 RHS: সমকোণ + অতিভুজ + একটি অনুরূপ বাহু।
🔹 সর্বসমতা প্রমাণের পরে CPCT থেকে অনুরূপ অংশ সমান লেখা যায়।
🔹 AAA সর্বসমতার শর্ত নয়।
🔹 SSA সাধারণভাবে সর্বসমতার শর্ত নয়।
🔹 Congruence statement লেখার সময় vertex-এর সঠিক ক্রম খুব গুরুত্বপূর্ণ।
