ত্রিভুজ (Triangle)
🎯 এই অধ্যায় শেষে তুমি কি কি জানবে?
👉 ত্রিভুজ কাকে বলে?
👉 ত্রিভুজের প্রকারভেদ, বাহু ও কোণ অনুযায়ী
👉 বিষমবাহু ত্রিভুজ, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, এবং সমবাহু ত্রিভুজ-এর বৈশিষ্ট্য।
👉 সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ, সমকোণী ত্রিভুজ, এবং স্থূলকোণী ত্রিভুজ-এর বৈশিষ্ট্য।
তিনটি অসমরেখ বিন্দুকে জোড়ায় জোড়ায় তিনটি রেখাংশ দিয়ে যুক্ত করলে যে বদ্ধ সমতল চিত্র তৈরি হয়, তাকে ত্রিভুজ (Triangle) বলে। অসমরেখ অর্থ হলো বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত নয়।
ত্রিভুজ (Triangle)
△ABC
ত্রিভুজের তিনটি বাহু ও তিনটি শীর্ষবিন্দু থাকে
△ABC-এর তিনটি শীর্ষবিন্দু হলো A, B ও C এবং তিনটি বাহু হলো AB, BC ও CA।
দুটি বাহু যে বিন্দুতে মিলিত হয়, তাকে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু (Vertex) বলে। প্রতিটি শীর্ষবিন্দুতে মিলিত বাহু দুটি ত্রিভুজের ভেতরের দিকে একটি অন্তঃকোণ তৈরি করে।
△ABC-এর তিনটি অন্তঃকোণ হলো ∠ABC, ∠BCA ও ∠CAB। এদের সমষ্টি 180° বা দুই সমকোণ।
📚 ∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180°
🔹 বাহু অনুসারে ত্রিভুজের প্রকারভেদ
বাহু অনুযায়ী ত্রিভুজ তিন প্রকার
বিষমবাহু ত্রিভুজ
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
সমবাহু ত্রিভুজ
বিষমবাহু ত্রিভুজ
(Scalene Triangle)
AB ≠ BC, BC ≠ CA এবং CA ≠ AB
∠A ≠ ∠B, ∠B ≠ ∠C এবং ∠C ≠ ∠A
যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর অসমান, তাকে বিষমবাহু ত্রিভুজ বলে।
এর তিনটি কোণের পরিমাপও পরস্পর অসমান।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
(Isosceles Triangle)
AB = AC এবং ∠ABC = ∠BCA
যে ত্রিভুজের অন্তত দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান, তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে।
সমান বাহু দুটির বিপরীত কোণ দুটি সমান হয়।
এখানে BC-কে ভূমি ধরলে ∠ABC ও ∠BCA হলো ভূমিসংলগ্ন কোণ।
সমবাহু ত্রিভুজ
(Equilateral Triangle)
AB = BC = CA
∠A = ∠B = ∠C = 60°
এই ত্রিভুজে প্রতিটি প্রতিটি বাহু এবং প্রতিটি কোণের মান সমান হয়।
🔹 কোণ অনুসারে ত্রিভুজের প্রকারভেদ
একটি ত্রিভুজে একটির বেশি সমকোণ বা স্থূলকোণ থাকতে পারে না। কারণ দুটি কোণই 90° বা তার বেশি হলে তাদের সমষ্টি অন্তত 180° হবে। তখন তৃতীয় কোণের জন্য কোনো ধনাত্মক পরিমাপ অবশিষ্ট থাকবে না।
সমকোণী ত্রিভুজের বাকি দুটি কোণের সমষ্টি 90°। তাই কোণ দুটি পরস্পরের পূরক।
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভুজ (Hypotenuse) বলে। এটি ত্রিভুজটির দীর্ঘতম বাহু।
কোণ অনুযায়ী ত্রিভুজ তিন প্রকার
সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
সমকোণী ত্রিভুজ
স্থূলকোণী ত্রিভুজ
সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
(Acute-angled Triangle)
∠A < 90°, ∠B < 90°, ∠C < 90°,
এই ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের মান 90° অপেক্ষা কম হয়।
সমকোণী ত্রিভুজ
(Right-angled Triangle)
∠A = 90°
এই ত্রিভুজের একটি কোণের মান 90° সমান হয়।
স্থূলকোণী ত্রিভুজ
(Obtuse-angled Triangle)
∠A > 90°
এই ত্রিভুজের একটি কোণের মান 90° অপেক্ষা বেশি হয়।
📚 দুটি ত্রিভুজের মধ্যে তুলনা করতে সদৃশ ত্রিভুজ (Similar Triangles) ও সর্বসম ত্রিভুজ (Congruent Triangles) ধারণা ব্যবহার করা হয়। সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ কোণগুলি সমান এবং অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক। সর্বসম ত্রিভুজের আকার ও মাপ উভয়ই এক হয়। এগুলি সম্পর্কে পরবর্তী পাঠে বিস্তারিত জানবে।
👉 একই ত্রিভুজের দুটি পরিচয়
একটি ত্রিভুজকে বাহুর দৈর্ঘ্য এবং কোণের পরিমাপ, এই দুটি ভিত্তিতে আলাদাভাবে চিহ্নিত করা যায়।
যেমন, 45°, 45° ও 90° কোণবিশিষ্ট ত্রিভুজটি কোণ অনুসারে সমকোণী। আবার দুটি কোণ সমান হওয়ায় তাদের বিপরীত বাহু দুটিও সমান। তাই বাহু অনুসারে এটি সমদ্বিবাহু।
অর্থাৎ এটি একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ।
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ 60° হওয়ায় প্রতিটি সমবাহু ত্রিভুজই সূক্ষ্মকোণী। তবে প্রতিটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ সমবাহু নয়।
✍ সহজ উদাহরণ
✏️ উদাহরণ 1: বাহু দেখে ত্রিভুজ চেনা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য 5 সেমি, 5 সেমি ও 8 সেমি। এটি বাহু অনুসারে কী ধরনের ত্রিভুজ?
সমাধান: দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান। তাই এটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
✏️ উদাহরণ 2: তৃতীয় কোণ নির্ণয়
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুটি কোণ 50° ও 60°। তৃতীয় কোণ কত? ত্রিভুজটি কোণ অনুসারে কী ধরনের?
সমাধান: তৃতীয় কোণ = 180° − (50° + 60°) = 70°।
তিনটি কোণই 90°-এর কম। তাই এটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।
✏️ উদাহরণ 3: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের কোণ
প্রশ্ন: △ABC-এ AB = AC এবং ∠A = 40°। ∠B ও ∠C নির্ণয় করো।
সমাধান: AB = AC হওয়ায় ∠B = ∠C।
আবার, ∠B + ∠C = 180° − 40° = 140°।
তাই ∠B = ∠C = 140° ÷ 2 = 70°।
✏️ উদাহরণ 4: সমবাহু ত্রিভুজের কোণ
প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ 60° কেন?
সমাধান: সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণ সমান এবং তাদের সমষ্টি 180°।
তাই প্রতিটি কোণ = 180° ÷ 3 = 60°।
🧠 দ্রুত রিভিশন (Quick Revision)
🔹 ত্রিভুজের তিনটি বাহু, তিনটি শীর্ষবিন্দু ও তিনটি অন্তঃকোণ থাকে।
🔹 ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃকোণের সমষ্টি 180°।
🔹 বিষমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর অসমান।
🔹 সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অন্তত দুটি বাহু সমান এবং সমান বাহুর বিপরীত কোণ দুটি সমান।
🔹 সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহু সমান এবং প্রতিটি কোণ 60°।
🔹 সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ 90°-এর কম।
🔹 সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ 90° এবং বাকি দুটি কোণের সমষ্টি 90°।
🔹 স্থূলকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ 90°-এর বেশি।
🔹 একটি ত্রিভুজে একটির বেশি সমকোণ বা স্থূলকোণ থাকতে পারে না।
🔹 একই ত্রিভুজকে বাহু ও কোণ অনুসারে আলাদাভাবে চিহ্নিত করা যায়।
