ত্রিভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Triangle theorems)
🎯 এই অধ্যায় শেষে তুমি কী কী জানবে?
👉 ত্রিভুজের দুটি বাহু ও তাদের বিপরীত কোণগুলির মধ্যে সম্পর্ক।
👉 ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ ও অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুটির মধ্যে সম্পর্ক।
👉 ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি।
👉 ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য মধ্যে তুলনা।
⭐ একটি ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হলে তাদের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সমান হবে।
📚 △ABC যার AB = AC হলে, ∠ABC = ∠ACB হবে।
| প্রদত্ত : | △ABC একটি ত্রিভুজ যার AB = AC |
| প্রামাণ্য : | △ ABC-এর দুইটি বাহু AB = AC হলে এর বিপরীত কোণগুলির পরিমাপ সমান অর্থাৎ ∠ABC = ∠ACB হবে। |
| অঙ্কন : | ∆ABC-এর ∠BAC-এর সমদ্বিখণ্ডক AD অঙ্কন করলাম যা BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করল। |
| প্রমাণ : | ∵ △ABD এবং △ACD-এর |
| AB = AC (∵ প্রদত্ত) | |
| ∵∠BAD = ∠CAD | |
| [∵ অঙ্কনানুযায়ী, AD, ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক] | |
| এবং, | AD ত্রিভুজ দুটির সাধারণ বাহু। |
| ∴ | △ABD ≅ △ACD |
| [∵ ত্রিভুজের বাহু-কোণ-বাহু বা S-A-S সর্বসমতার শর্তানুসারে] | |
| ∠ABD = ∠ACD [∵ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ] | |
| ∴ | ∠ABC = ∠ACB (প্রমাণিত) |
⭐ একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাপ সমান হলে তাদের বিপরীত বাহুগুলির দৈর্ঘ্য সমান হবে।
📚 △ABC যার ∠ABC = ∠ACB হলে, AB = AC হবে।
| প্রদত্ত : | △ABC একটি ত্রিভুজ যার ∠ABC = ∠ACB |
| প্রামাণ্য : | △ ABC-এর দুইটি কোণ ∠ABC = ∠ACB হলে এর বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য সমান অর্থাৎ AB = AC হবে। |
| অঙ্কন : | ∆ABC-এর ∠BAC-এর সমদ্বিখণ্ডক AD অঙ্কন করলাম যা BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করল। |
| প্রমাণ : | ∵ △ABD এবং △ACD-এর |
| ∵∠BAD = ∠CAD | |
| [∵ অঙ্কনানুযায়ী, AD, ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক] | |
| AD ত্রিভুজ দুটির সাধারণ বাহু। | |
| এবং, | ∠ABD = ∠ACD (∵ প্রদত্ত, ∠ABC = ∠ACB) |
| ∴ | △ABD ≅ △ACD |
| [∵ ত্রিভুজের বাহু-কোণ-বাহু বা A-A-S সর্বসমতার শর্তানুসারে] | |
| ∴ | AB = AC [∵ সর্বসম ত্রিভুজদের অনুরূপ বাহু] (প্রমাণিত) |
⭐ ত্রিভুজের কোনো একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় সেটির পরিমাপ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুটির পরিমাপের যোগফলের সমান।
📚 △ABC এর বর্ধিত BC যে বহিঃস্থ কোণ ∠ACD উৎপন্ন করে, সেই কোণ ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC হয়।
| প্রদত্ত : | একটি যেকোনো △ABC এর BC বাহুকে D বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম। এরফলে যে বহিঃস্থ কোণ ∠ACD এবং অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুটি ∠ABC ও ∠BAC উৎপন্ন হলো। |
| প্রামাণ্য : | প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC |
| অঙ্কন : | △ABC-এর C বিন্দু দিয়ে AB বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ CP অঙ্কন করলাম। |
| প্রমাণ : | AB।। CP এবং BD ছেদক |
| ∠PCD = অনুরূপ ∠ABC -----(i) | |
| আবার, | AB।। CP এবং AC ছেদক |
| ∠ACP = একান্তর ∠BAC -----(ii) | |
| (i) ও (ii) যোগ করে পাই | |
| ∠PCD + ∠ACP = ∠ABC + ∠BAC | |
| ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC | |
| △ABC-এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করায় যে বহিঃস্থ কোণ ∠ACD উৎপন্ন হয়েছে তার পরিমাপ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদুটি ∠ABC ও ∠BAC-এর পরিমাপের সমষ্টির সমান। (প্রমাণিত) |
⭐ ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাপের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180°।
📚 △ABC এর ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°।
| প্রদত্ত : | △ABC একটি যেকোনো ত্রিভুজ। |
| প্রামাণ্য : | প্রমাণ করতে হবে যে, △ABC এর তিনটি কোণের পরিমাপের সমষ্টি 2 সমকোণের সমান। |
| অর্থাৎ, | ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180° |
| অঙ্কন : | ∆ABC-এর A বিন্দু থেকে BC সমান্তরাল করে EF অঙ্কন করা হলো। |
| প্রমাণ : | ∵ BC || EF এর AB ছেদক বা ভেদক |
| ∠CBA = ∠EAB (∵ একান্তর কোণ) -----(i) | |
| আবার, | ∵ BC || EF এর AC ছেদক বা ভেদক |
| ∠BCA = ∠CAF (∵ একান্তর কোণ) -----(ii) | |
| (i) ও (ii) যোগ করে পাই | |
| ∠CBA + ∠BCA = ∠CAF + ∠EAB | |
| ∠CBA + ∠BCA + ∠BAC = ∠CAF + ∠EAB + ∠BAC | |
| [∵ উভয় পাশে ∠BAC যোগ করে পাই] | |
| ∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠CAF = ∠EAF = 180° | |
| [∵ AE ও AF বিপরীত রশ্মি এবং কোণ তিনটি মিলে সরলকোণ ∠EAF গঠন করে।] | |
| ∴ ∠CBA + ∠BCA + ∠BAC = 180° বা 2 সমকোণের সমান (প্রমাণিত) |
| প্রদত্ত : | △ABC একটি যেকোনো ত্রিভুজ। |
| প্রামাণ্য : | প্রমাণ করতে হবে যে, △ABC এর তিনটি কোণের পরিমাপের সমষ্টি 2 সমকোণের সমান। |
| অর্থাৎ, | ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180° |
| অঙ্কন : | ∆ABC-এর BC বাহুকে D বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম। |
| প্রমাণ : | △ABC-এর ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC |
| [∵ ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদুটির পরিমাপের সমষ্টির সমান] | |
| আবার, | ∠ACD + ∠ACB = ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB |
| [∵ উভয় পাশে ∠ACB যোগ করে পাই] | |
| ∠ACD+ ∠ACB = 180° | |
| [∵ BD সরলরেখাংশের উপর C বিন্দুতে CA সরলরেখাংশ দণ্ডায়মান] | |
| ∴ | ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180° বা 2 সমকোণের সমান (প্রমাণিত) |
⭐ একটি ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর অসমান হলে বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণের পরিমাপ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণের পরিমাপ অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
📚 △ABC এর যদি AC>AB হয়, তবে ∠ABC > ∠ACB।
| প্রদত্ত : | একটি যেকোনো △ ABC যার AC বাহুর দৈর্ঘ্য AB বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর অর্থাৎ AC>AB। |
| প্রামাণ্য : | AC বাহুর বিপরীত কোণ ∠ABC-এর পরিমাপ AB বাহুর বিপরীত কোণ ∠ACB-এর পরিমাপ অপেক্ষা বৃহত্তর অর্থাৎ ∠ABC > ∠ACB |
| অঙ্কন : | AC বাহু থেকে AB বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান করে AD অংশ কেটে নিলাম। B ও D বিন্দু দুটি যোগ করলাম। |
| প্রমাণ : | ∵ ΔΑBD -এর AB=AD (অঙ্কন অনুসারে) |
| ∴ ∠ABD = ∠ADB | |
| [∵ ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হলে তাদের বিপরীত কোণগুলির পরিমাপ সমান হবে] | |
| ΔDCB এর বহিঃস্থ ∠ADB = ∠DCB+∠DBC | |
| [∵ ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের পরিমাপের সমষ্টির সমান] | |
| অর্থাৎ, | ∠ADB > ∠DCB বা ∠ACB |
| কিন্তু, | ∠ADB = ∠ABD |
| ∴ ∠ABD > ∠ACB | |
| ∠ABD, ∠ABC এর অংশ। | |
| ∴ ∠ABC > ∠ABD | |
| আবার, | ∠ABD > ∠ACB |
| ∴ ∠ABC > ∠ACB (প্রমাণিত) |
⭐ একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাপ পরস্পর অসমান হলে বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য ক্ষুদ্রতর কোণটির বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
📚 △ABC এর যদি ∠ABC > ∠ACB হয়, তবে AC>AB।
| প্রদত্ত : | একটি যেকোনো △ ABC যার ∠ABC এর পরিমাপ ∠ACB এর পরিমাপ অপেক্ষা বৃহত্তর, অর্থাৎ ∠ABC > ∠ACB। |
| প্রামাণ্য : | ∠ABC এর বিপরীত বাহু AC-এর দৈর্ঘ্য, ∠ACB এর বিপরীত বাহু AB-এর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর, অর্থাৎ AC > AB। |
| প্রমাণ : | AC বাহুর দৈর্ঘ্য যদি AB বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর না হয় তবে |
| হয়, | (i) AC = AB |
| অথবা, | (ii) AC < AB হবে। |
| এখন, | (i) AC = AB হলে, |
| ∠ABC = ∠ACB হবে। | |
| [∵ ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হলে তাদের বিপরীত কোণের পরিমাপও সমান হয়] | |
| আবার, | (ii) AC < AB হলে |
| ∠ABC < ∠ACB হবে। | |
| [ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের পরিমাপ অসমান হলে বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণের পরিমাপ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণের পরিমাপ অপেক্ষা বৃহত্তর হয়] | |
| (i) ও (ii) উভয় শর্তই হতে পারে না। | |
| কারণ দেওয়া আছে, ∠ABC > ∠ACB | |
| AC > AB (প্রমাণিত) |
⭐ ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।
📚 △ABC এর AB + AC > BC হবে।
| প্রদত্ত : | ধরি ∆ABC -এর বৃহত্তম বাহু BC |
| প্রামাণ্য : | যদি AB + AC > BC প্রমাণ করি তাহলে প্রমাণিত হবে যে ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর। |
| অঙ্কন : | ∆ABC এর শীর্ষবিন্দু A থেকে BC এর উপর AD লম্ব টানলাম যা BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করল। অর্থাৎ AD⟂BC |
| প্রমাণ : | ∆ADB এর ∠ADB = 1 সমকোণ [∵ অঙ্কনানুসারে AD⟂BC] |
| ∴ | ∠ADB সমকোণ ও ∠BAD সূক্ষ্মকোণ |
| অর্থাৎ, | ∠ADB > ∠BAD [∵ সূক্ষ্মকোণের পরিমাপ < সমকোণের পরিমাপ] |
| ∴ | (i) AB > BD ----(i) |
| [∵ ত্রিভুজের বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর] | |
| আবার : | △ADC-এর ∠ADC = 1 সমকোণ [∵ অঙ্কনানুসারে AD⟂BC] |
| ∠ADC সমকোণ ও ∠DAC সূক্ষ্মকোণ | |
| অর্থাৎ, | ∠ADC > ∠DAC [∵ সূক্ষ্মকোণের পরিমাপ < সমকোণের পরিমাপ] |
| ∴ | (i) AC > DC ----(ii) |
| [∵ ত্রিভুজের বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর] | |
| আবার, | (i) ও (ii) যোগ করে পাই |
| AB+ AC > BD+DC | |
| অর্থাৎ, | AB + AC > BC (প্রমাণিত) |
✍️ সহজ উদাহরণ
✏️ উদাহরণ 1: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের কোণ
প্রশ্ন: △ABC-এ AB = AC এবং ∠A = 40°। ∠B ও ∠C নির্ণয় করো।
সমাধান: AB = AC হওয়ায় ∠B = ∠C।
আবার, ∠B + ∠C = 180° − 40° = 140°।
অতএব, ∠B = ∠C = 70°।
✏️ উদাহরণ 2: বহিঃস্থ কোণ
প্রশ্ন: △ABC-এর BC বাহুকে C-এর বাইরে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠A = 45° এবং ∠B = 65° হলে ∠ACD কত?
সমাধান: বহিঃস্থ কোণ উপপাদ্য থেকে,
∠ACD = ∠A + ∠B = 45° + 65° = 110°।
✏️ উদাহরণ 3: বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণ
প্রশ্ন: △ABC-এ AB = 5 সেমি, BC = 7 সেমি এবং CA = 6 সেমি। বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণ চিহ্নিত করো।
সমাধান: বৃহত্তম বাহু BC-এর বিপরীত কোণ ∠A। তাই ∠A বৃহত্তম।
ক্ষুদ্রতম বাহু AB-এর বিপরীত কোণ ∠C। তাই ∠C ক্ষুদ্রতম।
সম্পূর্ণ ক্রম হলো ∠A > ∠B > ∠C।
✏️ উদাহরণ 4: ত্রিভুজ গঠন সম্ভব কি?
প্রশ্ন: 3 সেমি, 4 সেমি ও 7 সেমি দৈর্ঘ্যের তিনটি রেখাংশ দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে কি?
সমাধান: 3 + 4 = 7।
ত্রিভুজের দুটি বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহুর চেয়ে অবশ্যই বড় হতে হবে। এখানে সমান হয়েছে। তাই এই দৈর্ঘ্যগুলি দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না।
🧠 দ্রুত রিভিশন (Quick Revision)
🔹 △ABC যার AB = AC হলে, ∠ABC = ∠ACB হবে।
🔹 △ABC যার ∠ABC = ∠ACB হলে, AB = AC হবে।
🔹 △ABC এর বর্ধিত BC যে বহিঃস্থ কোণ ∠ACD উৎপন্ন করে, সেই কোণ ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC হয়।
🔹 △ABC এর ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°।
🔹 △ABC এর যদি AC>AB হয়, তবে ∠ABC > ∠ACB।
🔹 △ABC এর যদি ∠ABC > ∠ACB হয়, তবে AC>AB।
🔹 △ABC-এর ক্ষেত্রে
(i) AB + AC > BC,
(ii) AB + BC > AC,
(iii) AC + BC > AB হবে।
