একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equation in One Variable)
🎯 এই অধ্যায় শেষে তুমি কি কি জানবে?
👉 দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ আকার ax² + bx + c = 0,
👉 দ্বিঘাত সমীকরণের বৈশিষ্ট্য
👉 দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান করার উপায়
👉 দ্বিঘাত সমীকরণের কিছু সমস্যা ও তার সমাধান
দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ আকার হলো ax2 + bx + c = 0, যেখানে x একটি যার কোনো নির্দিষ্ট মান থাকে না বা অজানা সংখ্যা। বা চলক, এবং a (≠ 0), b, ও c ধ্রুবক, একেই একচলবিশিষ্ট 2 ডিগ্রি সমীকরণ বলা হয়।
📚 x2-এ x কে নিধান (Base) ও 2 কে সূচক (Power) বলা হয়।
📚 ax2 + bx + c = 0-এ a ও b কে যথাক্রমে x2 ও x সহগ (Coefficient) বলা হয়।
প্রধান বৈশিষ্ট্য (Key Characteristics) :
🔸 সাধারণ আকার (Standard Form) : ax2 + bx + c = 0
🔸 চলকের সর্বোচ্চ সূচক : 2 (অর্থাৎ x2-এর সূচক)।
সহগসমূহ (Coefficients) :
🔸 a : প্রধান সহগ বা x2-এর সহগ (a ≠ 0)।
🔸 b : x পদের সহগ।
🔸 c : ধ্রুবক পদ।
📚 দ্বিঘাত সমীকরণ চেনার সহজ নিয়ম
কোনো সমীকরণ সরাসরি দ্বিঘাত দেখালেই হবে না। প্রথমে সমীকরণটিকে সরল করে সাধারণ আকারে আনতে হবে।
ax² + bx + c = 0 আকারে আনার পর যদি x² পদের সহগ শূন্য না হয়, তবে সেটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান (Solution of a Quadratic Equation) :
🔸 যদি কোনো বাস্তব সংখ্যা α কে দ্বিঘাত সমীকরণ ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0-এর একটি মূল বলা হয়, তবে তাকে অবশ্যই শর্ত aα2 + bα + c = 0 পূরণ করতে হবে।
🔸 এক্ষেত্রে আমরা আরও বলি যে x = α হলো দ্বিঘাত সমীকরণের একটি সমাধান, অথবা α-এর মান দ্বিঘাত সমীকরণকে Satisfied the value করে।
🔸 দ্বিঘাত সমীকরণ ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0-এর একটি বীজ α হয়, তবে (x-α) সমীকরণটির একটি উৎপাদক (Factor) হবে। বিপরীতক্রমেও এটি সত্য হবে।
🔸 যেহেতু ax2 + bx + c = 0-এর চলকের সর্বোচ্চ সূচক 2, তাই সহগগুলির মানের উপর নির্ভর করে এর সর্বাধিক দুইটি সমাধান থাকতে পারে, যেগুলিকে মূল (roots) বলা হয়।
📚 f(x)=ax2 + bx + c-এর শূন্যগুলো (zeroes) এবং ax2 + bx + c = 0-এর বীজ (roots) একই হবে।
👇 নিচের সমীকরণগুলি দ্বিঘাত সমীকরণ কি না পরীক্ষা করো :
🔹 1. (x – 2)2 + 1 = 2x – 3
🔹 2. x(x + 1) + 8 = (x + 2) (x – 2)
🔹 3. x(2x + 3) = x2 + 1
🔹 4. (x + 2)3 = x3 – 4
🔹 5. (2x – 1)(x – 3) = (x + 5)(x – 1)
🔹 6. x2 + 3x + 1 = (x – 2)2
🔹 7. (x + 2)3 = 2x (x2 – 1)
🔹 8. x3 – 4x2 – x + 1 = (x – 2)3
👇 নিচের পরিস্থিতিগুলিকে দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করো :
🔹 1. একটি আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল 528 m2। জমিটির দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের দ্বিগুণের চেয়ে 1 বেশি। জমিটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করতে হবে।
🔹 2. পরপর দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণফল 306। পূর্ণসংখ্যাগুলি নির্ণয় করতে হবে।
🔹 3. রোহানের মায়ের বয়স তার থেকে 26 years বেশি। এখন থেকে 3 years পরে তাদের বয়সের গুণফল হবে 360। রোহানের বর্তমান বয়স নির্ণয় করতে হবে।
🔹 4. একটি ট্রেন সমবেগে 480 km দূরত্ব অতিক্রম করে। যদি তার গতি 8 km/h কম হতো, তবে একই দূরত্ব অতিক্রম করতে 3 hours বেশি সময় লাগত। ট্রেনটির গতি নির্ণয় করতে হবে।
👇 চলো সমাধান করি :
🔹 1.
🔹 2. , x ≠ 0
🔹 3. , x ≠ 3, −5
👉 Click for more solved problems
💡 সাধারণ ভুল ধারণা Common Mistakes
| ভুল ধারণা | সঠিক ধারণা |
|---|---|
| x² থাকলেই সমীকরণ দ্বিঘাত হবে। | সরল করার পর x² পদ থাকতে হবে। |
| a = 0 হলেও দ্বিঘাত সমীকরণ হবে। | a = 0 হলে সমীকরণ দ্বিঘাত থাকে না। |
| সব দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি ভিন্ন মূল থাকে। | দুটি ভিন্ন, দুটি সমান বা বাস্তব মূল নাও থাকতে পারে। |
| মূল ও উৎপাদক একই জিনিস। | মূল হলো x-এর মান, উৎপাদক হলো রাশির গুণনীয় অংশ। |
💡 Quick Revision
🔹 দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ আকার: ax² + bx + c = 0
🔹 এখানে a ≠ 0
🔹 চলকের সর্বোচ্চ ঘাত 2
🔹 a হলো x²-এর সহগ
🔹 b হলো x-এর সহগ
🔹 c হলো ধ্রুবক পদ
🔹 দ্বিঘাত সমীকরণের সর্বোচ্চ দুটি মূল থাকতে পারে
💡 প্রশ্নোত্তর (FAQ)
যে একচলবিশিষ্ট সমীকরণে চলকের সর্বোচ্চ ঘাত 2 এবং যাকে ax² + bx + c = 0 আকারে লেখা যায়, তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলা হয়। এখানে a ≠ 0।
দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ আকার হলো ax² + bx + c = 0, যেখানে a, b ও c ধ্রুবক এবং a ≠ 0।
এখানে a হলো x²-এর সহগ, b হলো x-এর সহগ এবং c হলো ধ্রুবক পদ।
না। a = 0 হলে x² পদটি থাকবে না এবং সমীকরণটি দ্বিঘাত থাকবে না। তাই দ্বিঘাত সমীকরণে a ≠ 0 হতে হবে।
চলকের যে মান বসালে দ্বিঘাত সমীকরণটি সিদ্ধ হয়, সেই মানকে দ্বিঘাত সমীকরণের মূল বা solution বলা হয়।
সাধারণভাবে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সর্বোচ্চ দুটি মূল থাকতে পারে।
বীজগণিত, উৎপাদকে বিশ্লেষণ, সমীকরণ সমাধান, গ্রাফ, পদার্থবিজ্ঞানের সমস্যা এবং উচ্চতর গণিত বোঝার জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ খুব গুরুত্বপূর্ণ।
দ্বিঘাত সমীকরণ সাধারণত উৎপাদকে বিশ্লেষণ, পূর্ণবর্গ পদ্ধতি, সূত্র প্রয়োগ এবং কখনও গ্রাফের সাহায্যে সমাধান করা যায়।