একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equation in One Variable)

দ্বিঘাত 2 ডিগ্রি সমীকরণের সাধারণ আকার হলো ax² + bx + c = 0, যেখানে x একটি অজ্ঞাত পরিবর্তনশীল রাশি যার কোনো নির্দিষ্ট মান থাকে না বা অজানা। বা চলক, এবং a (≠ 0), b, ও c ধ্রুবক, একেই একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ বলা হয়।

📚 x²-এ x কে নিধান (Base) ও 2 কে সূচক (Power) বলা হয়।

📚 ax² + bx + c = 0-এ a ও b কে যথাক্রমে x² ও x সহগ (Coefficient) বলা হয়।

প্রধান বৈশিষ্ট্য (Key Characteristics) :

🔸 সাধারণ আকার (Standard Form) : ax² + bx + c = 0

🔸 চলকের সর্বোচ্চ সূচক : 2 (অর্থাৎ x²-এর সূচক)।

সহগসমূহ (Coefficients) :

🔸 a : প্রধান সহগ বা x²-এর সহগ (a ≠ 0)।

🔸 b : x পদের সহগ।

🔸 c : ধ্রুবক পদ।

দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান (Solution of a Quadratic Equation) :

🔸 যদি কোনো বাস্তব সংখ্যা α কে দ্বিঘাত সমীকরণ ax² + bx + c = 0, a ≠ 0-এর একটি মূল বলা হয়, তবে তাকে অবশ্যই শর্ত aα² + bα + c = 0 পূরণ করতে হবে।

🔸 এক্ষেত্রে আমরা আরও বলি যে x = α হলো দ্বিঘাত সমীকরণের একটি সমাধান, অথবা α-এর মান দ্বিঘাত সমীকরণকে সিদ্ধSatisfied the value করে।

🔸 দ্বিঘাত সমীকরণ ax² + bx + c = 0, a ≠ 0-এর একটি বীজ α হয়, তবে (x-α) সমীকরণটির একটি উৎপাদক (Factor) হবে। বিপরীতক্রমেও এটি সত্য হবে।

🔸 যেহেতু ax² + bx + c = 0-এর চলকের সর্বোচ্চ সূচক 2, তাই সহগগুলির মানের উপর নির্ভর করে এর সর্বাধিক দুইটি সমাধান থাকতে পারে, যেগুলিকে মূল (roots) বলা হয়।

📚 f(x)=ax² + bx + c-এর শূন্যগুলো (zeroes) এবং ax² + bx + c = 0-এর বীজ (roots) একই হবে।

👉 নিচের সমীকরণগুলি দ্বিঘাত সমীকরণ কি না পরীক্ষা করো :

🔹 1. (x – 2)² + 1 = 2x – 3

🔹 2. x(x + 1) + 8 = (x + 2) (x – 2)

🔹 3. x (2x + 3) = x² + 1

🔹 4. (x + 2)³ = x³ – 4

🔹 5. (2x – 1)(x – 3) = (x + 5)(x – 1)

🔹 6. x² + 3x + 1 = (x – 2)²

🔹 7. (x + 2)³ = 2x (x² – 1)

🔹 8. x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³

👉 নিচের পরিস্থিতিগুলিকে দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করো :

🔹 1. একটি আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল 528 m²। জমিটির দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের দ্বিগুণের চেয়ে 1 বেশি। জমিটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করতে হবে।

🔹 2. পরপর দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণফল 306। পূর্ণসংখ্যাগুলি নির্ণয় করতে হবে।

🔹 3. রোহানের মায়ের বয়স তার থেকে 26 years বেশি। এখন থেকে 3 years পরে তাদের বয়সের গুণফল হবে 360। রোহানের বর্তমান বয়স নির্ণয় করতে হবে।

🔹 4. একটি ট্রেন সমবেগে 480 km দূরত্ব অতিক্রম করে। যদি তার গতি 8 km/h কম হতো, তবে একই দূরত্ব অতিক্রম করতে 3 hours বেশি সময় লাগত। ট্রেনটির গতি নির্ণয় করতে হবে।

👉 চলো সমাধান করি :

🔹 1.

🔹 2.

🔹 3. , a ≠ 0

🔹 4. , a ≠ 0

🔹 5. , a ≠ 3, -5