বৃত্তের সমীকরণ (Equation of a Circle)
একটি সমতলে এমন একটি চলমান বিন্দুর সঞ্চারপথকে বৃত্ত (Circle) বলা হয়, যে বিন্দুটি সমতলের একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সর্বদা সমান দূরত্বে থাকে।
নির্দিষ্ট বিন্দুটিকে বৃত্তের কেন্দ্র (Centre) এবং ধ্রুব দূরত্বটিকে বৃত্তের ব্যাসার্ধ (Radius) বলা হয়।
ধরা যাক, বৃত্তের কেন্দ্র O এবং ব্যাসার্ধ r। বৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু P-এর জন্য,
OP = r
এই জ্যামিতিক শর্তটিকেই স্থানাঙ্কের সাহায্যে প্রকাশ করলে বৃত্তের সমীকরণ পাওয়া যায়।
👉 মূলবিন্দু কেন্দ্রিক বৃত্তের সমীকরণ
ধরা যাক, কার্তেসীয় সমতলে বৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দু O(0, 0) এবং বৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু P(x, y)। বৃত্তের ব্যাসার্ধ = a।
তাহলে দূরত্ব সূত্র অনুযায়ী,
OP = √(x² + y²)আবার, OP = a।
অতএব,
√(x² + y²) = aউভয়পক্ষের বর্গ করে পাই,
x² + y² = a²
এটি মূলবিন্দু কেন্দ্রিক এবং a ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের প্রমিত বা Standard Equation।
উদাহরণ
যদি কোনো বৃত্তের কেন্দ্র (0, 0) এবং ব্যাসার্ধ 5 একক হয়, তবে তার সমীকরণ,
x² + y² = 5²অর্থাৎ,
x² + y² = 25
👉 কেন্দ্র (α, β) হলে বৃত্তের সমীকরণ
ধরা যাক, বৃত্তের কেন্দ্র Q(α, β), বৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু P(x, y) এবং ব্যাসার্ধ a।
তাহলে,
QP = aদূরত্ব সূত্র থেকে,
√((x - α)² + (y - β)²) = aউভয়পক্ষের বর্গ করে পাই,
(x - α)² + (y - β)² = a²
এটি কেন্দ্র (α, β) এবং ব্যাসার্ধ a বিশিষ্ট বৃত্তের Standard Form।
মনে রাখবে
(x - α)² + (y - β)² = a² সমীকরণ থেকে সরাসরি পাওয়া যায়:
- কেন্দ্র (Centre) = (α, β)
- ব্যাসার্ধ (Radius) = a
উদাহরণ
(x - 3)² + (y + 2)² = 16এখানে,
- কেন্দ্র = (3, -2)
- ব্যাসার্ধ = 4
কারণ (y + 2) = (y - (-2))।
👉 বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ (General Equation of a Circle)
বৃত্তের standard equation,
(x - α)² + (y - β)² = a²সম্প্রসারণ করলে পাই,
x² + y² - 2αx - 2βy + α² + β² - a² = 0এটি সাধারণভাবে লেখা হয়,
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
এখানে তুলনা করে পাই,
g = -α এবং f = -β
অতএব বৃত্তের কেন্দ্র,
(-g, -f)
এবং ব্যাসার্ধ,
r = √(g² + f² - c)
বাস্তব বৃত্ত হওয়ার জন্য অবশ্যই,
g² + f² - c > 0হতে হবে।
উদাহরণ
বৃত্তটির সমীকরণ,
x² + y² - 6x + 4y - 3 = 0এখানে,
2g = -6 ⇒ g = -3 2f = 4 ⇒ f = 2এবং c = -3।
সুতরাং কেন্দ্র,
(-g, -f) = (3, -2)এবং ব্যাসার্ধ,
r = √(g² + f² - c) = √(9 + 4 + 3) = 4অতএব বৃত্তটির কেন্দ্র (3, -2) এবং ব্যাসার্ধ 4 একক।
👉 পূর্ণবর্গের সাহায্যে কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয়
কোনো বৃত্তের general equation দেওয়া থাকলে completing the square পদ্ধতিতেও standard form-এ রূপান্তর করা যায়।
উদাহরণস্বরূপ,
x² + y² - 6x + 4y - 3 = 0তাহলে,
(x² - 6x) + (y² + 4y) = 3পূর্ণবর্গ সম্পন্ন করে,
(x - 3)² - 9 + (y + 2)² - 4 = 3অর্থাৎ,
(x - 3)² + (y + 2)² = 16
সুতরাং কেন্দ্র (3, -2) এবং ব্যাসার্ধ 4।
👉 বৃত্তের Parametric Equation
ধরা যাক, মূলবিন্দু O(0, 0) বৃত্তের কেন্দ্র, ব্যাসার্ধ a এবং বৃত্তের উপর একটি বিন্দু P(x, y)। যদি OP ধনাত্মক x-অক্ষের সঙ্গে θ কোণ উৎপন্ন করে, তবে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত থেকে,
cosθ = x/aএবং
sinθ = y/aঅতএব,
x = a cosθ এবং y = a sinθ
এগুলো মূলবিন্দু কেন্দ্রিক বৃত্তের Parametric Equations।
যদি বৃত্তের কেন্দ্র (α, β) হয়, তবে parametric equations হবে,
x = α + a cosθ
y = β + a sinθ
👉 ব্যাসের দুই প্রান্তবিন্দু দেওয়া থাকলে বৃত্তের সমীকরণ
যদি কোনো বৃত্তের ব্যাসের দুই প্রান্তবিন্দু A(x₁, y₁) এবং B(x₂, y₂) হয়, তবে বৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু P(x, y)-এর জন্য ∠APB = 90°।
এই শর্ত থেকে বৃত্তের সমীকরণ,
(x - x₁)(x - x₂) + (y - y₁)(y - y₂) = 0
উদাহরণ
ব্যাসের দুই প্রান্তবিন্দু A(2, 0) এবং B(6, 0) হলে,
(x - 2)(x - 6) + y² = 0অর্থাৎ,
x² - 8x + 12 + y² = 0সুতরাং,
x² + y² - 8x + 12 = 0
এখানে কেন্দ্র (4, 0) এবং ব্যাসার্ধ 2।
👉 দ্রুত মনে রাখার সূত্র
| বৃত্তের ধরন | সমীকরণ |
|---|---|
| কেন্দ্র (0, 0), ব্যাসার্ধ a | x² + y² = a² |
| কেন্দ্র (α, β), ব্যাসার্ধ a | (x - α)² + (y - β)² = a² |
| সাধারণ রূপ | x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 |
| সাধারণ রূপ থেকে কেন্দ্র | (-g, -f) |
| সাধারণ রূপ থেকে ব্যাসার্ধ | √(g² + f² - c) |
| Parametric form, কেন্দ্র (0,0) | x = a cosθ, y = a sinθ |
👉 গুরুত্বপূর্ণ বিষয়
- বৃত্তের সমীকরণে x² এবং y²-এর সহগ সমান হয়।
- সাধারণ বৃত্তের সমীকরণে xy পদ থাকে না।
- Standard form দেখে কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ সরাসরি নির্ণয় করা যায়।
- General form থেকে কেন্দ্র (-g, -f) এবং ব্যাসার্ধ √(g² + f² - c)।
- Parametric form বৃত্তের উপর একটি চলমান বিন্দুর স্থানাঙ্ক প্রকাশ করতে বিশেষভাবে উপযোগী।
এই সূত্রগুলি পরিষ্কারভাবে বুঝে নিলে বৃত্তের সমীকরণ গঠন, কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় এবং স্থানাঙ্ক জ্যামিতির বহু সমস্যা সহজে সমাধান করা যায়।
