দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব এবং অন্তর্বিভাজন ও বহির্বিভাজন বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় (Distance Formula and Section Formula )

👉 দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র (Distance Formula)

🔹 দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয়

⭐ যে কোনো দুটি বিন্দু P(x₁, y₁) এবং Q(x₂, y₂)-এর মধ্যবর্তী দূরত্ব

🔹 মূল বিন্দু থেকে কোন বিন্দুর দূরত্ব

⭐ মূল বিন্দু P(0, 0) এবং যে কোনো একটি বিন্দু Q(x₁, y₁)-এর মধ্যবর্তী দূরত্ব

দূরত্ব সূত্র ব্যবহার করে নিচের সমস্যাগুলো সমাধান করো।

🔹 বিন্দু (3, -5) এবং (5, -1)-এর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় করো।

🔹 যদি বিন্দু (a, -2) এবং (0, 0)-এর মধ্যবর্তী দূরত্ব √29 একক হয়, তবে a-এর মান/মানগুলি নির্ণয় করো।

🔹 প্রমাণ করো যে, বিন্দু (7, 10), (-2, 5) এবং (3, -4) একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

🔹 একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের দুটি শীর্ষবিন্দু হলো (2, 0) এবং (2, 5)। যদি সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 3 একক হয়, তবে তৃতীয় শীর্ষবিন্দু নির্ণয় করো।

🔹 প্রমাণ করো যে, দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব a-এর মানের উপর নির্ভর করে না।

👉 প্রদত্ত অনুপাতে বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক

প্রদত্ত অনুপাতে অন্তর্বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক

⭐ এক্ষেত্রে একটি রেখাংশের A (x₁, y₁) এবং B (x₂, y₂) বিন্দুর অন্তর্বর্তী দূরত্বকে P(x, y) বিন্দু m : n অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করেছে।

∴ এবং

প্রদত্ত অনুপাতে বহির্বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক

⭐ এক্ষেত্রে একটি রেখাংশের A (x₁, y₁) এবং B (x₂, y₂) বিন্দুর অন্তর্বর্তী দূরত্বকে P(x, y) বিন্দু m : n অনুপাতে বহির্বিভক্ত করেছে।

∴ এবং

মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়

∴ এবং

🔹 এক্ষেত্রে একটি রেখাংশের A (x₁, y₁) এবং B (x₂, y₂) বিন্দুর অন্তর্বর্তী দূরত্বকে P(x, y) বিন্দু m : n = 1 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করেছে।

নিম্নলিখিত সমস্যাগুলি Section Formula ব্যবহার করে সমাধান করো।

🔹 যে বিন্দুটি (8, 9) এবং (–7, 4) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগরেখাকে অভ্যন্তরীণভাবে 2 : 3 অনুপাতে বিভাজন করে, তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

🔹 কোন অনুপাতে P(–1, –1) বিন্দুটি A(4, 4) এবং B(7, 7) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগরেখাকে বিভাজন করে?

🔹 x-অক্ষ (–2, 5) এবং (1, –9) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগরেখাকে কোন অনুপাতে বিভাজন করে?

🔹 (1, 2) এবং (11, 9) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগরেখার ত্রিখণ্ডনের বিন্দু/বিন্দুগুলি নির্ণয় করো।

👉 ত্রিভুজের স্থানাঙ্ক সম্পর্কিত কিছু গুরুত্বপূর্ণ বিষয় :

ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের (Centroid) স্থানাঙ্ক

⭐ এক্ষেত্রে একটি ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দু যথাক্রমে A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) এবং C (x₃, y₃) হলে। ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক G(x, y) বিন্দু। m : n = 1 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করেছে।

∴ এবং

📚 ত্রিভুজের মধ্যমাগুলি যে বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে তাকেই ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে।

📚 ভরকেন্দ্র ত্রিভুজের প্রতিটি মধ্যমাকে AG : GL = 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।

ত্রিভুজের আন্তঃকেন্দ্রের (Incenter) স্থানাঙ্ক

⭐ একটি ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দু যথাক্রমে A (x₁, y₁), B (x₂, y₂), এবং C (x₃, y₃), এবং শীর্ষবিন্দু গুলির বিপরীত বাহু যথাক্রমে a, b, এবং c হলে। আন্তঃকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক I(x, y) হয়।

∴ এবং

📚 ত্রিভুজের তিনটি কোণের অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক গুলি যে বিন্দুতে পরস্পর মিলিত হয় তাকে আন্তঃকেন্দ্র বলে।

👉 প্রদত্ত শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্কের ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

⭐ ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে A (x₁, y₁), B (x₂, y₂), এবং C (x₃, y₃) হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হয়।

∴

তিনটি বিন্দুর সমরৈখিক হবার শর্ত

🔹 যদি তিনটি বিন্দু একটি সরলরেখায় থাকে, তাহলে তাদের দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে।

∴

🧠 দ্রুত মনে রাখার সূত্র

📚 গুরুত্বপূর্ণ বিষয়

🔹 Distance Formula-তে x ও y-এর পার্থক্য একই ক্রমে নিলে হিসাব সহজ হয়, তবে বর্গ থাকার কারণে ক্রম বদলালেও দূরত্বের মান বদলায় না।

🔹 Internal Section Formula-তে হর m+n, কিন্তু External Section Formula-তে হর m-n। এই পার্থক্যটি বিশেষভাবে মনে রাখবে।

🔹 মধ্যবিন্দু হলো Section Formula-এর m:n = 1:1 বিশেষ ক্ষেত্র।

🔹 ভরকেন্দ্র প্রতিটি মধ্যমাকে শীর্ষবিন্দুর দিক থেকে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।

🔹 ক্ষেত্রফলের সূত্রে absolute value ব্যবহার করা হয়, তাই ক্ষেত্রফল ঋণাত্মক হয় না।

🔹 তিনটি বিন্দু সমরৈখিক হলে তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য।

✏️ সমাধানসহ উদাহরণ

উদাহরণ ১: দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব

A(2, 3) এবং B(8, 11)-এর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করো।

অতএব, AB = 10 একক।

উদাহরণ ২: অন্তর্বিভাজন

A(2, 4) এবং B(8, 10)-কে P বিন্দু 1:2 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। P-এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

অতএব, P(4, 6)।

উদাহরণ ৩: সমরৈখিকতা পরীক্ষা

A(1, 2), B(3, 6) এবং C(5, 10) বিন্দু তিনটি সমরৈখিক কি না পরীক্ষা করো।

অতএব, তিনটি বিন্দু সমরৈখিক।