बीजगणित में घन सर्वसमिकाएँ (Cubed Identities in Algebra)
🎯 इस अध्याय के अंत में आप क्या-क्या सीखेंगे?
👉 (a + b)³ और (a − b)³ से संबंधित सूत्र तथा उनकी व्याख्या।
👉 (a + b)³ और (a − b)³ के सूत्रों का उपयोग करके प्रश्न हल करना।
👉 (a + b)³ और (a − b)³ से प्राप्त अन्य महत्वपूर्ण सूत्र।
👉 बीजगणित की घन सर्वसमिकाओं की व्युत्पत्ति और प्रमाण।
🔹 बीजगणित में जिन सर्वसमिकाओं की उच्चतम घात 3 होती है, उन्हें घन सर्वसमिकाएँ कहा जाता है।
🔹 सर्वसमिका ऐसी समानता है जो चरों के सभी अनुमत मानों के लिए सत्य रहती है। यहाँ a और b चर हैं।
🔹 इन सर्वसमिकाओं का बीजगणित तथा गणित की विभिन्न शाखाओं में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
🔹 सामान्यतः इनका उपयोग बीजीय व्यंजकों को सरल करने और गुणनखंड करने में किया जाता है।
✍ ऊपर दी गई सर्वसमिकाओं पर आधारित कुछ प्रश्न
🔹 01. का मान कितना है?
🔹 02. (2x + 3y)3 + 3(2x + 3y)2(y − 2x) + 3(2x + 3y)(y − 2x)2 + (y − 2x)3 को सूत्र की सहायता से सरल कीजिए।
🔹 03. हो, तो कितना है?
🔹 04. हो, तो कितना है?
🔹 05. x + y = 1 हो, तो x3 + y3 + 3xy का मान कितना है?
🔹 06. हो, तो x3 + 27 का मान ज्ञात कीजिए।
🔹 07. हो, तो का मान कितना है?
🔹 08. a + b = 0 हो, तो a3 + b3 का मान कितना है?
🔹 09. (a + b){(2a − b)2 + (2a − b)(a − 2b) + (a − 2b)2} को सूत्र की सहायता से विस्तारित कीजिए।
🔹 10. हो, तो कितना है?
🔹 11. m + n = − 2 हो, तो m3 + n3 − 6mn का मान कितना है?
👉 इन प्रश्नों के चरण-दर-चरण हल देखने के लिए यहाँ क्लिक करें।
✍ ऊपर दी गई सर्वसमिकाओं पर आधारित कुछ प्रश्न
🔹 12. (x + y)3 + (x − y)3 का मान कितना है?
🔹 13. x2 − 2x − 1 = 0 हो, तो का मान कितना है?
🔹 14. का सरलतम मान कितना है?
🔹 15. x3 + 3x2 + 3x = 7 हो, तो x3 − 3x2 + 3x का मान कितना है?
🔹 16. यदि हो, तो कितना है?
🔹 17. a = b + c हो, तो सिद्ध कीजिए कि a3 − b3 − c3 = 3abc
🔹 18. यदि a − b = 1 तथा a3 − b3 = 61 हो, तो ab का मान कितना है?
🔹 19. यदि a + b = 5, ab = 4 तथा a > b हो, तो (a2 + b2)(a3 − b3) का मान कितना है?
🔹 20. यदि x = 0.25 हो, तो सूत्र की सहायता से 64x3 + 144x2 + 108x + 30 का मान कितना है?
🔹 21. यदि a − b = 8 हो, तो सूत्र की सहायता से a3 − b3 − 24ab का मान कितना है?
🔹 22. हो, तो का मान ज्ञात कीजिए।
🧠 जल्दी याद करें (Quick Revision)
⭐ (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
⭐ (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
⭐ a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
⭐ a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
⭐ (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
⭐ (a - b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b)
⭐ a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)
⭐ a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
