बीजगणित में द्विघात सर्वसमिकाएँ (Quadratic Identities)
🎯 इस अध्याय के अंत में आप क्या-क्या सीखेंगे?
👉 (a + b)² और (a − b)² से संबंधित सूत्र तथा उनकी व्याख्या।
👉 (a + b)² और (a − b)² के सूत्रों का उपयोग करके प्रश्न हल करना।
👉 (a + b)² और (a − b)² से प्राप्त अन्य महत्वपूर्ण सूत्र।
👉 बीजगणित की द्विघात सर्वसमिकाओं की व्युत्पत्ति और प्रमाण।
🔹 बीजगणित में जिस सर्वसमिका की उच्चतम घात 2 होती है, उसे द्विघात सर्वसमिका कहा जाता है।
🔹 सर्वसमिका ऐसी समानता है जो चरों के सभी अनुमत मानों के लिए सत्य रहती है। यहाँ a और b चर हैं।
🔹 इन सर्वसमिकाओं का बीजगणित तथा गणित की विभिन्न शाखाओं में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
🔹 इनका उपयोग सामान्यतः बीजीय व्यंजकों को सरल करने, उनका मान ज्ञात करने और गुणनखंड करने में किया जाता है।
| (a + b)2 | = (a + b)×(a + b) |
| = (a + b)×a + (a + b)×b | |
| = a×a + b×a + a×b + b×b | |
| = a2 + ab + ab + b2 | |
| (a + b)2 | = a2 + 2ab + b2 |
| (a – b)2 | = (a – b)×(a – b) |
| = (a – b)×a – (a – b)×b | |
| = (a×a – b×a) – (a×b – b×b) | |
| = a×a – b×a – a×b + b×b | |
| = a2 – ab – ab + b2 | |
| (a – b)2 | = a2 – 2ab + b2 |
✍ ऊपर दी गई सर्वसमिकाओं पर आधारित कुछ प्रश्न
🔹 01. को पूर्ण वर्ग के रूप में व्यक्त कीजिए।
🔹 02. 4x2 + 12xy + 9y2 को पूर्ण वर्ग के रूप में व्यक्त कीजिए।
🔹 03. यदि एक पूर्ण वर्ग है, तो रिक्त पद भरिए।
🔹 04. यदि हो, तो ज्ञात कीजिए।
🔹 05. यदि हो, तो ज्ञात कीजिए।
🔹 06. को पूर्ण वर्ग के रूप में व्यक्त कीजिए।
🔹 07. को सर्वसमिका की सहायता से सरल कीजिए।
🔹 08. यदि एक पूर्ण वर्ग है, तो t का मान ज्ञात कीजिए।
🔹 09. यदि हो, तो ज्ञात कीजिए।
🔹 10. यदि हो, तो ज्ञात कीजिए।
🔹 11. यदि हो, तो ज्ञात कीजिए।
👉 इन प्रश्नों के चरण-दर-चरण हल देखने के लिए यहाँ क्लिक करें।
✍ ऊपर दी गई सर्वसमिकाओं पर आधारित कुछ प्रश्न
🔹 12. को सरल कीजिए।
🔹 13. यदि a + b = 5 और a − b = 3 हो, तो a2 + b2 ज्ञात कीजिए।
🔹 14. सर्वसमिका की सहायता से 1216 × 1184 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
🔹 15. यदि सर्वसमिका (x − 3)(x + p) = x2 − 9 सभी x के लिए सत्य हो, तो p का मान ज्ञात कीजिए।
🔹 16. (a + 2b − 3c)2 − (a − 2b + 3c)2 को सरल कीजिए।
🔹 17. यदि और हो, तो x2 - y2 का मान ज्ञात कीजिए।
👉 इन प्रश्नों के चरण-दर-चरण हल देखने के लिए यहाँ क्लिक करें।
✍ ऊपर दी गई सर्वसमिकाओं पर आधारित कुछ प्रश्न
🔹 18. यदि a − b = 7, ab = 8 और a, b > 0 हो, तो a + b का मान ज्ञात कीजिए।
🔹 19. यदि a + b = 5, ab = 4 और a > b हो, तो a − b का मान ज्ञात कीजिए।
🔹 20. यदि a + b = 7 और a − b = 3 हो, तो 8ab(a2 + b2) का मान ज्ञात कीजिए।
🔹 21. 265 को दो वर्गों के अंतर के रूप में व्यक्त कीजिए।
🔹 22. x2 + 5x + 6 को दो वर्गों के अंतर के रूप में व्यक्त कीजिए।
✍ ऊपर दी गई सर्वसमिकाओं पर आधारित कुछ प्रश्न
🔹 23. यदि a + b + c = 15 और a2 + b2 + c2 = 77 हो, तो ab + bc + ca का मान ज्ञात कीजिए।
🔹 24. यदि a + b + c = 7 और ab + bc + ca = 12 हो, तो (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 का मान ज्ञात कीजिए।
🔹 25. यदि x + y + z = 8 और xy + yz + xz = 18 हो, तो x2 + y2 + z2 का मान ज्ञात कीजिए।
🧠 जल्दी याद करें (Quick Revision)
⭐ (a + b)² = a² + 2ab + b²
⭐ (a + b)² = (a − b)² + 4ab
⭐ (a − b)² = a² − 2ab + b²
⭐ (a − b)² = (a + b)² − 4ab
⭐ a² + b² = (a − b)² + 2ab
⭐ a² + b² = (a + b)² − 2ab
⭐ a² − b² = (a + b)(a − b)
⭐ (a + b)² + (a − b)² = 2(a² + b²)
⭐ 4ab = (a + b)² − (a − b)²
⭐ (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
⭐ a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca)
