बीजगणित में द्विघात सर्वसमिकाएँ (Quadratic identity in algebra)
🔸
| (a + b)2 | = (a + b)×(a + b) |
| = (a + b)×a + (a + b)×b | |
| = a×a + b×a + a×b + b×b | |
| = a2 + ab + ab + b2 | |
| (a + b)2 | = a2 + 2ab + b2 |
1. को पूर्णवर्ग के रूप में व्यक्त करो।
समाधान:
| ∵ | |
| = | |
| = | |
| = |
2. को पूर्णवर्ग के रूप में व्यक्त करो।
समाधान:
| ∵ | |
| = | |
| = |
3. यदि यह व्यंजक पूर्णवर्ग हो, तो रिक्त स्थान भरों।
समाधान:
🔸
∵
या,
[ ∵ दोनों पक्षों से 2ab घटाते हैं ]
या,
या,
∴
1. होने पर, कितना होगा?
समाधान:
2. होने पर, कितना होगा?
समाधान:
🔸
| (a – b)2 | = (a – b)×(a – b) |
| = (a – b)×a – (a – b)×b | |
| = (a×a – b×a) – (a×b – b×b) | |
| = a×a – b×a – a×b + b×b | |
| = a2 – ab – ab + b2 | |
| (a – b)2 | = a2 – 2ab + b2 |
1. को पूर्णवर्ग के रूप में व्यक्त करो।
समाधान:
2. को सूत्र की सहायता से सरल करो।
समाधान:
3. यदि पूर्णवर्ग हो, तो t का मान क्या होगा?
समाधान:
🔸
∵
या,
[ ∵ दोनों पक्षों में 2ab जोड़ते हैं ]
या,
या,
∴
1. होने पर, कितना होगा?
2. होने पर, कितना होगा?
🔸
∵
या,
या,
∴
1. होने पर, कितना होगा?
2. होने पर, कितना होगा?
🔸
∵
या,
या,
∴
1. होने पर, कितना होगा?
2. होने पर, कितना होगा?
🔸
∵ ---(i)
∵ ---(ii)
(i) और (ii) समीकरणों को जोड़ने पर प्राप्त होता है:
या,
∴
1. होने पर, कितना होगा?
2. होने पर, कितना होगा?
🔸
∵ (a + b)(a – b) = (a + b) × (a – b)
= (a + b)×a – (a + b)×b
= (a×a + b×a) – (a×b + b×b)
= a×a + a×b – a×b – b×b
=
=
∴
या,
1. होने पर, कितना होगा?
2. होने पर, कितना होगा?
🔸
∵ ---(i)
∵ ---(ii)
(i) में से (ii) घटाने पर प्राप्त होता है:
या,
∴
1. होने पर, कितना होगा?
2. होने पर, कितना होगा?
🔸
∵
इस समीकरण के दोनों पक्षों को 4 से भाग देने पर प्राप्त होता है:
∴
1. होने पर, कितना होगा?
2. होने पर, कितना होगा?
🔸
∵
मान लो x = a + b तथा y = c। इन मानों को ऊपर दिए गए सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है:
∴
1. होने पर, कितना होगा?
2. होने पर, कितना होगा?
🔸
∵
[ ∵ दोनों पक्षों से घटाते हैं ]
या,
∴
1. होने पर, कितना होगा?
2. होने पर, कितना होगा?