উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization)
🎯 এই অধ্যায় শেষে তুমি কি কি শিখবে?
👉 উৎপাদক (Factor) কাকে বলে
👉 বীজগাণিতিক রাশির উৎপাদক নির্ণয়
👉 সাধারণ উৎপাদক পদ্ধতি
👉 অভেদের সূত্র ব্যবহার করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ
👉 মধ্য সহগ পদ্ধতিতে উৎপাদকে বিশ্লেষণ
উৎপাদক কাকে বলে?
কোন সংখ্যা বা গাণিতিক রাশিকে যেসব ক্ষুদ্র-সংখ্যায় বা রাশির গুণফল আকারে প্রকাশ করা যায়, সেই ক্ষুদ্র সংখ্যা বা রাশিগুলোকে ঐ সংখ্যা বা রাশির উৎপাদক বলা হয়।
যেমন : 21 কে আমরা 21=1×3×7 আকারে লিখতে পারি।
অতএব, 1, 3 এবং 7 — প্রতিটি সংখ্যাই 21-এর উৎপাদক।
📚 লক্ষ্যণীয় : কোনো সংখ্যার উৎপাদক দ্বারা সেই সংখ্যাটিকে ভাগ করলে ভাগশেষ শূন্য হবে।
যেমন :
21 ÷ 3 = 7 → সম্পূর্ণ বিভাজ্য অর্থাৎ, ভাগশেষ শূন্য হবে।
21 ÷ 6 → সম্পূর্ণ বিভাজ্য নয় অর্থাৎ, ভাগশেষ অবশিষ্ট থাকবে।
অতএব, 6 সংখ্যাটি 21-এর উৎপাদক নয়।
বীজগাণিতিক রাশির উৎপাদক
আমরা ab রাশিটিকে a×b আকারে লিখতে পারি, এক্ষেত্রে a, এবং b উভয়ই ab-এর উৎপাদক।
বর্গ এবং ঘন এর সূত্র প্রয়োগ করে উৎপাদক।
🔸 x2 − y2 রাশিটিকে আমরা (x + y)(x − y) আকারে লিখতে পারি, এক্ষেত্রে (x + y), এবং (x − y) উভয়ই x2 − y2 -এর উৎপাদক।
🔸 x3 − y3 রাশিটিকে আমরা (x − y) (x2 + xy + y2) আকারে লিখতে পারি, এক্ষেত্রে (x − y), এবং (x2 + xy + y2) উভয়ই x3 − y3 -এর উৎপাদক।
🔸 x2 + y3 রাশিটিকে আমরা (x + y) (x2 − xy + y2) আকারে লিখতে পারি, এক্ষেত্রে (x + y), এবং (x2 − xy + y2) উভয়ই x3 + y3 -এর উৎপাদক।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization)
বীজগণিতে কোনো জটিল রাশিকে দুই বা ততোধিক ক্ষুদ্র-গাণিতিক রাশির গুণফল আকারে প্রকাশ করাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ বা Factorization বলা হয়।
এটি মূলত গুণ করার বিপরীত প্রক্রিয়া। অর্থাৎ, কোনো রাশির উৎপাদক গুলিকে গুণ করলে পুনরায় ওই রাশিটি ফিরে পাওয়া যাবে। উৎপাদকে বিশ্লেষণের সাধারণ পদ্ধতিসমূহ:
সাধারণ উৎপাদক নেওয়া (Common Factor Method):
সবগুলো পদের মধ্যে সাধারণ (Common) উৎপাদকে বাইরে বের করে এনে, আমরা কোনো রাশির পদ সমষ্টির উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারি।
🔹 ax + ay
= a(x + y)
🔹 x2 + xy + 7x + 7y
= x(x + y) + 7(x + y)
= (x + y)(x + 7)
🔹 15pq + 15 + 9q + 25p
= 15pq + 25p + 9q + 15
= 5p(3q + 5) + 3(3q + 5)
= (3q + 5)(5p + 3)
অনুশীলনী (উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো)
🔸 xy + y + 3x + 3
🔸 pq − q + 2p − 2
🔸 6xy + 3y + 4x + 2
🔸 10xy + 2y + 5x + 1
অভেদের সূত্র ব্যবহার করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ
👉 সূত্র সংক্রান্ত উৎপাদকে বিশ্লেষণ
🔹 x² − 4y²
= x² − (2y)²
= (x + 2y)(x − 2y)
🔹
=
=
=
=
🔹
=
=
=
=
অনুশীলনী (উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো)
🔸
🔸
🔸
🔸
👉 সূত্র সংক্রান্ত উৎপাদকে বিশ্লেষণ
🔹
=
=
=
🔹 63m3 + 6m2 − 12m + 8
= 64m3 − m3 + 6m2 − 12m + 8
= (4m)3 − {m3 − 3.m2.2 + 2.m.22 − 23}
= (4m)3 − (m − 2)3
= {4m − (m − 2)} {(4m)2 + 4m(m − 2)+(m − 2)2}
= (4m − m + 2) (16m2 + 4m2 − 8m + m2 − 2.m.2 + 22)
= (3m + 2) (21m2 − 8m − 4m + 4)
= (3m + 2) (21m2 − 12m + 4)
🔹 a3 − 9b3 + (a + b)3
= a3 − b3 + (a + b)3 − 8b3
= a3 − b3 + (a + b)3 − (2b)3
= (a − b) (a2 + ab + b2) + {(a + b) − 2b}{(a + b)2 + (a + b).2b + (2b)2}
= (a − b)(a2 + ab + b2) + (a + b − 2b)(a2 + 2ab + b2 + 2ab + 2b2 + 4b2)
= (a − b)(a2 + ab + b2) + (a − b)(a2 + 4ab + 7b2)
= (a − b){(a2 + ab + b2)+(a2 + 4ab + 7b2)}
= (a − b)(a2 + ab + b2 + a2 + 4ab + 7b2)
= (a − b)(2a2 + 5ab + 8b2)
🔹 32x⁴ − 500x
= 4x(8x³ − 125)
= 4x{(2x)³ − (5)³}
= 4x(2x − 5){(2x)² + (2x).5 + 5²}
= 4x(2x − 5)(4x² + 10x + 25)
= 4x(2x − 5)(4x² + 10x + 25)
অনুশীলনী (উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো)
🔸 t⁹ − 512
🔸 a³ + 3a²b + 3ab² + b³ − 8
🔸 x³ − 6x² + 12x − 35
🔸 AX³ − Ax³ + AX²h − Ax²h
👉 x³ + y³ = (x + y) (x² − xy + y²) সূত্র সংক্রান্ত উৎপাদকে বিশ্লেষণ
🔹 27a³ + b³
= (3a)³ + (b)³
= (3a + b) {(3a)² − (3a)b + (b)²}
= (3a + b) (9a² − 3ab + b²)
👉 মধ্য সহগ পদ্ধতি (Middle Term Factorization)
ax² + bx + c আকারের রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার জন্য:
প্রথম পদের সহগ (a) ও শেষ পদের (c) গুণফল নির্ণয় করতে হবে।
এরপর ঐ প্রাপ্ত গুণফলকে (ac) এমন দুটি অংশে ভাঙ্গতে হবে, যেন ঐ অংশ দুটির যোগ বা বিয়োগ করলে মধ্য পদের সহগ (b) পাওয়া যায়।
তারপর সাধারণ উৎপাদক (Common Factor) নিয়ে বিশ্লেষণ করতে হবে।
🔹 3x² + 14x + 8
প্রথম পদের সহগ 3 ও শেষ পদ 8-এর গুণফল 24 হবে। 24 কে আমরা 4×6, 3×8, এবং 2×12 এই ভাবে দুটি অংশে ভেঙে লিখতে পারি। এর মধ্যে (12 + 2)-এর যোগফল 14 হয়, মধ্য পদের সহগ 14-এর পরিবর্তে (12 + 2)-বসিয়ে পাই।
= 3x² + (12 + 2)x + 8
= 3x² + 12x + 2x + 8
= 3x(x + 4) + 2(x + 4)
= (x + 4)(3x + 2)
🔹 6x² − x − 15
প্রথম পদের সহগ 6 ও শেষ পদ 15-এর গুণফল 90 হবে। 90 কে আমরা 9×10, 6×15, 5×18, 3×30, এবং 2×45 এই ভাবে দুটি অংশে ভেঙে লিখতে পারি। এর মধ্যে (10 − 9)-এর বিয়োগফল 1 হয়, মধ্য পদের সহগ 1-এর পরিবর্তে (10 − 9) বসিয়ে পাই।
= 6x² − (10 − 9)x − 15
= 6x² − 10x + 9x −15
= 2x(3x − 5) + 3(3x − 5)
= (3x − 5)(2x + 3)
🔹 x² − x − 6
প্রথম পদের সহগ 1 ও শেষ পদ 6-এর গুণফল 6 হবে। 6 কে আমরা 2×3, এবং 1×6 এই ভাবে দুটি অংশে ভেঙে লিখতে পারি। এর মধ্যে (3-2)-এর বিয়োগফল 1 হয়, মধ্য পদের সহগ 1-এর পরিবর্তে (10-9) বসিয়ে পাই।
= x² − (3 − 2)x − 6
= x² − 3x + 2x − 6
= x(x − 3) + 2(x - 3)
= (x − 3)(x + 2)
🔹 x² − 2ax + (a + b)(a − b)
প্রথম পদের সহগ 1 ও শেষ পদ (a + b)(a − b)-এর গুণফল (a + b)(a − b) হবে। (a + b)(a − b)। এর মধ্যে {(a + b)+(a − b)}-এর যোগফল 2a হয়, মধ্য পদের সহগ 1-এর পরিবর্তে {(a + b)+(a − b)} বসিয়ে পাই।
= x² − {(a + b) + (a − b)} x + (a + b)(a − b)
= x² − (a+b)x − (a − b)x + (a + b)(a − b)
= x{x − (a + b)} − (a − b){x − (a + b)}
= {x − (a + b)}{x − (a − b)}
= (x − a − b)(x − a + b)
অনুশীলনী (উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো)
🔸 (a + b)² − 5a − 5b + 6
🔸 (p² − 3q²)² − 16(p² − 3q²) − 63
🔸 x⁴ + 4x² − 5
🔸 x² − bx − (a + 3b)(a + 2b)
👉 শূন্য বা পরীক্ষা পদ্ধতি (Vanishing or Trial Method)
ax³ + bx + c আকারের রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার জন্য
রাশিটিকে f(x) = ax³ + bx + c ধরে তাতে x-এর কোন মানের জন্য f(x) -এর মান 0 (শূন্য) হবে তা নির্ণয় করতে হবে।
X = m হলে রাশিটার ম্যান শূন্য হয় তবে (x – m) রাশিটির একটি উৎপাদক হবে।
x³ – 7x – 6ধরি, f(x) = x³ – 7x – 6 এই অপেক্ষকটিতে x= – 1 বসিয়ে
f( – 1) = ( – 1)³ – 7( – 1) – 6 = 0এটি অপেক্ষকটির মান হবে 0 (শূন্য) হবে।
x= – 1বা, (x – 1) = 0
🔹 x³ – 7x – 6
= x³ + x² – x² – x – 6x – 6
= x²(x + 1) – x(x + 1) – 6(x + 1)
= (x + 1) (x² – x – 6)
= (x + 1){x² – 3x + 2x – 6}
= (x + 1){x(x – 3) + 2(x – 3)}
= (x + 1)(x – 3)(x + 2)