ত্রিকোণমিতিক কোণানুপাতসমূহ Trigonometrical Ratios
ত্রিভুজের তিনটি কোণ, তিনটি বাহু এবং তাদের পারস্পরিক সম্পর্ক নিয়ে যে আলোচনা করা হয়, তা ত্রিকোণমিতির একটি প্রধান অংশ। এই সম্পর্কগুলো ভালোভাবে বোঝার জন্য ত্রিকোণমিতিক কোণানুপাতের সংজ্ঞা দেওয়া হয়।
এই পাঠে আমরা ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণের ছয়টি ত্রিকোণমিতিক কোণানুপাত এবং তাদের পারস্পরিক সম্পর্ক সহজভাবে শিখব।
ত্রিকোণমিতিক কোণানুপাতের ধারণা
🔹 ত্রিকোণমিতিক কোণানুপাত
মনে করো, OB একটি যে রেখা রশ্মির প্রাথমিক বিন্দুকে স্থির রেখে চারিদিকে ঘুরতে পারে।। এটি O বিন্দুকে কেন্দ্র করে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে (Anticlockwise) ঘুরে OA অবস্থান থেকে OB অবস্থানে এসেছে। এর ফলে ∠AOB উৎপন্ন হয়েছে।
ধরা যাক, ∠AOB = θ এবং θ একটি সূক্ষ্মকোণ।
θ একটি গ্রিক অক্ষর, এর উচ্চারণ “থিটা” (Theta)।
এখন OB রশ্মির উপর যেকোনো একটি বিন্দু P নেওয়া হলো। P বিন্দু থেকে OA-এর উপর PM লম্ব আঁকা হলো। তাহলে △POM একটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে।
△POM-এর OP-কে অতিভুজ, θ-কোণের বিপরীতবাহু PM-কে লম্ব এবং θ-কোণের সংলগ্নবাহু OM-কে ভূমি বলা হয়।
সহজভাবে লিখলে:
অতিভুজ (Hypotenuse) = OP = h
লম্ব (Perpendicular) = PM = p
ভূমি (Base) = OM = b
কোণানুপাতসমূহের পরিচয়
সমকোণী ত্রিভুজের θ কোণের সাপেক্ষে লম্ব এবং অতিভুজ অনুপাতকে sin θ বলা হয়।
অর্থাৎ,
∴ sin θ =
অনুরূপভাবে বাকি 5টিকে আমরা ব্যাখ্যা করতে পারি -
ছয়টি ত্রিকোণমিতিক কোণানুপাত হলো:
| sin θ = ---- (i) | cosec θ = ---- (iv) |
| cos θ = ---- (ii) | sec θ = ---- (v) |
| tan θ = ---- (iii) | cot θ = ---- (vi) |
💡 মনে রাখার সহজ উপায়
প্রথম তিনটি অনুপাত মনে রাখার জন্য একটি সহজ ও প্রচলিত হলো:
Some People Have Curly Brown Hair Turn Permanently Black🔹 Some People Have → sin θ =
🔹 Curly Brown Hair → cos θ =
🔹 Turn Permanently Black → tan θ =
এরপর বাকি তিনটি অনুপাত সহজেই পাওয়া যায়, কারণ এগুলো প্রথম তিনটির বিপরীত অনুপাত।
🔹 sin θ বিপরীত অনুপাত → cosec θ =
🔹 cos θ বিপরীত অনুপাত → sec θ =
🔹 tan θ বিপরীত অনুপাত → cot θ =
বিপরীত সম্পর্ক বা Reciprocal Relations
∵ sin θ = , এবং cosec θ =
∴
⇒
⇒
∵ cos θ = , এবং sec θ =
∴
⇒
⇒
∵ tan θ = , এবং cot θ =
∴
⇒
⇒
📚 গুরুত্বপূর্ণ বিষয়
👉 sin θ, cos θ, tan θ ইত্যাদি হলো দুইটি দৈর্ঘ্যের অনুপাত। তাই এদের কোনো একক নেই।
👉 sin θ বলতে sin × θ বোঝায় না। এটি θ কোণের সাপেক্ষে লম্ব ও অতিভুজের অনুপাত বোঝায়।
👉 সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভুজ বলা হয়। θ কোণের বিপরীত বাহুকে লম্ব এবং θ কোণের সংলগ্ন বাহুকে ভূমি বলা হয়।
👉 একটি নির্দিষ্ট কোণের ত্রিকোণমিতিক কোণানুপাত শুধুমাত্র ঐ কোণের মানের উপর নির্ভর করে। ত্রিভুজের আকার বড় বা ছোট হলেও কোণ অপরিবর্তিত থাকলে অনুপাতের মান অপরিবর্তিত থাকে।
👉 ত্রিকোণমিতিতে শুধু sin, cos বা tan লিখলে তার সম্পূর্ণ অর্থ হয় না। এগুলো কোনো নির্দিষ্ট কোণের সঙ্গে লিখতে হয়, যেমন sin θ, cos θ, tan θ।
👉 sin² θ বলতে (sin θ)² বোঝায়। কিন্তু sin θ² বলতে sin(θ²) বোঝায়। তাই sin² θ এবং sin θ² একই নয়।
👉 একইভাবে, (cos θ)⁵ = cos⁵ θ এবং (tan θ)⁷ = tan⁷ θ লেখা যায়।
সমকোণী ত্রিভুজের সূত্র থেকে
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজে লম্বের বর্গ ও ভূমির বর্গের যোগফল অতিভুজের বর্গের সমান।
অর্থাৎ, p² + b² = h²
এর উভয় পক্ষকে h² দিয়ে ভাগ করলে আমরা পাই।
∴
⇒
⇒ (∵ sin θ = এবং cos θ = )
আবার, p² + b² = h²
এর উভয় পক্ষকে b² দিয়ে ভাগ করলে আমরা পাই।
∴
⇒
⇒
⇒ (∵ tan θ = এবং sec θ = )
⇒
এবং, p² + b² = h²
এর উভয় পক্ষকে p² দিয়ে ভাগ করলে আমরা পাই।
∴
⇒
⇒
⇒ (∵ cot θ = এবং cosec θ = )
⇒
📚 দ্রুত রিভিশন (Quick Revision)
✅ অতিভুজ = h, লম্ব = p, এবং ভূমি = b
⭐ sin θ =
⭐ cos θ =
⭐ tan θ =
⭐ cosec θ =
⭐ sec θ =
⭐ cot θ =
⭐ sin θ × cosec θ = 1
⭐ cos θ × sec θ = 1
⭐ tan θ × cot θ = 1
⭐ sin² θ + cos² θ = 1
⭐ 1 + tan² θ = sec² θ
⭐ 1 + cot² θ = cosec² θ