∵ sin 23° = p

⇒ sin (90° − 67°) = p

⇒ cos 67° = p [∵ sin (90° − θ) = cos θ]

Again,

⇒

∵ cos²20° + cos²70°

= cos²20° + cos²(90° − 20°)

= cos²20° + sin²20° [∵ cos (90° − θ) = sin θ]

= 1 [∵ sin²θ + cos²θ = 1]

∵ tan 36° tan 54°

= tan 36° tan (90° − 36°)

= tan 36° cot 36° [∵ tan (90° − θ) = cot θ]

= 1 [∵ tan θ cot θ = 1]

L.H.S.,

∵

= sin A [∵ sin θ cosec θ = 1]

= sin (90° − B) [∵ ∠A + ∠B = 90°]

= cos B [∵ sin (90° − B) = cos B]

= R.H.S.

L.H.S.,

∵ cot (90° − A) cot A cos (90° − A) tan (90° − A)

= tan A cot A sin A cot A [∵ cot (90° − A) = tan A, cos (90° − A) = sin A and tan (90° − A) = cot A]

= 1 × sin A cot A [∵ tan θ cot θ = 1]

= [∵ ]

= cos A

= R.H.S.

L.H.S.,

∵ tan 1° tan 2° tan 3° ... tan 87° tan 88° tan 89°

There are 89 factors in total, and the middle factor is tan 45°.

= tan 1° tan 2° tan 3° ... tan 44° tan 45° tan 46° ... tan 87° tan 88° tan 89°

= tan 1° tan 2° tan 3° ... tan 44° tan 45° tan (90° − 44°) ... tan (90° − 3°) tan (90° − 2°) tan (90° − 1°)

= tan 1° tan 2° tan 3° ... tan 44° tan 45° cot 44° ... cot 3° cot 2° cot 1° [∵ tan (90° − θ) = cot θ]

= 1 [∵ tan θ cot θ = 1 and tan 45° = 1]

= R.H.S.

∵ sin 4θ = cos 5θ

⇒ sin 4θ = sin (90° − 5θ) [∵ cos θ = sin (90° − θ)]

⇒ 4θ = 90° − 5θ

⇒ 4θ + 5θ = 90°

⇒ 9θ = 90°

⇒ θ = 10°

∵ cos 1° cos 2° cos 3° ... cos 179° contains the factor cos 90°.

∵ cos 90° = 0

∴ If any factor of a product is zero, then the value of the whole product is zero.

Therefore, cos 1° cos 2° cos 3° ... cos 179° = 0.

L.H.S.,

∵ cos²73° − sin²17°

= cos²73° − sin²(90° − 73°)

= cos²73° − cos²73° [∵ sin (90° − θ) = cos θ]

= 0

= R.H.S.

∵ sec θ = cosec φ

⇒ sec θ = sec (90° − φ) [∵ cosec φ = sec (90° − φ)]

⇒ θ = 90° − φ

⇒ θ + φ = 90°

∴ sin (θ + φ)

= sin 90°

= 1