চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা (Area and Perimeter of Quadrilaterals)
🎯 এই অধ্যায় শেষে তুমি কি কি জানবে?
👉 চতুর্ভুজ ও তার বিভিন্ন প্রকার চিনতে।
👉 ক্ষেত্রফল ও পরিসীমার মধ্যে পার্থক্য বুঝতে।
👉 চতুর্ভুজের বিভিন্ন সূত্র মনে রাখার সহজ পদ্ধতি।
👉 বর্গক্ষেত্র, আয়তক্ষেত্র, সামান্তরিক, রম্বস, ট্রাপিজিয়াম ও ঘুড়ি আকৃতির ক্ষেত্রফল বের করতে।
👉 সমস্যা সমাধানে সঠিক সূত্র নির্বাচন করতে।
চতুর্ভুজ কাকে বলে?
চারটি বাহু দিয়ে এক্ষেত্রে চারটি বাহু দিয়ে বন্ধ সমতল আকৃতিকে চতুর্ভুজ বলা হয়। উপরের দুটি চিত্রেই ABCD চতুর্ভুজ।
চতুর্ভুজের চারটি কোণ, চারটি শীর্ষবিন্দু, চারটি বাহু এবং দুটি কর্ণ (উপরের দুটি চিত্রে AC ও BD কর্ণ) থাকে।
সপ্তম শ্রেণীতে চতুর্ভুজ অধ্যায়ে, চতুর্ভুজের সাধারণ ধর্ম সম্পর্কে বিস্তারিত জেনেছি। এখানে আমরা চতুর্ভুজের বিশেষ কয়েকটি আকারের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল পরিমাপ করতে শিখব।
যেমন: বর্গক্ষেত্র, আয়তক্ষেত্র, সামান্তরিক, রম্বস, ট্রাপিজিয়াম ইত্যাদি।
পরিসীমা (Perimeter)
পরিসীমা হলো কোনো আকৃতির চারদিকে মোট দৈর্ঘ্য।
পরিসীমা = AB + BC + CD + DA
একক সাধারণত দৈর্ঘ্যের একক হয়, যেমন cm, m ইত্যাদি।
ক্ষেত্রফল (Area)
ক্ষেত্রফল হলো কোনো আবদ্ধ সমতলের ভিতরের ক্ষেত্র বা জায়গার পরিমাণ।
ক্ষেত্রফল = ABCD দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্র।
একক সাধারণত বর্গ একক হয়, যেমন cm², m² ইত্যাদি।
বর্গক্ষেত্র (Square)
বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান
বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক, হলে
🔸 পরিসীমা (Perimeter) = 4 × দৈর্ঘ্য একক = 4a unit
🔸 কর্ণ (diagonal) =√2 × বাহুর দৈর্ঘ্য একক = √2a unit
🔸 ক্ষেত্রফল (Area) = (দৈর্ঘ্য)2 বর্গ একক = a2 sq. unit
📚 বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = × (কর্ণ)2 বর্গ একক
🔸 বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা বরাবর ভিতরের দিকে d একক চওড়া একটি রাস্তা থাকলে ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল = 4d × (a − d) বর্গ একক
💡 উপরোক্ত শর্তটির ব্যাখ্যা।
ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল = (বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল) − (রাস্তা বাদে বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল)
= {a2 − (a − 2d)2} বর্গ একক
= {a2 − (a2 − 4ad + 4d2)} বর্গ একক
= {a2 − a2 + 4ad − 4d2} বর্গ একক
= (4ad − 4d2) বর্গ একক
= 4d × (a − d) বর্গ একক
🔸 বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা বরাবর বাইরের দিকে d একক চওড়া একটি রাস্তা থাকলে ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল = 4d × (a + d) বর্গ একক
💡 উপরোক্ত শর্তটির ব্যাখ্যা।
ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল = (রাস্তাসহ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল) − (বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল)
= {(a + 2d)2 − a2} বর্গ একক
= {(a2 + 4ad + 4d2) − a2} বর্গ একক
= {a2 + 4ad + 4d2 − a2} বর্গ একক
= (4ad + 4d2) বর্গ একক
= 4d × (a + d) বর্গ একক
🔹 1. একটি বর্গক্ষেত্রের বাহু 9 cm হলে ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা নির্ণয় করো।
🔹 2. একটি বর্গাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 2√2 মিটার। বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?
🔹 3. একটি বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 169 বর্গমিটার। এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
🔹 4. একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল 225 বর্গমিটার। প্রতি মিটার 3.50 টাকা দরে বাগানটিতে বেড়া দিতে কত খরচ হবে?
🔹 5. দুটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি 325 বর্গমিটার। যদি একটি বাগানের বাহুর দৈর্ঘ্য অন্যটির বাহুর দৈর্ঘ্যের 2/3 অংশ হয়, তবে দুটি বাগানের পরিসীমার সমষ্টি কত?
🔹 6. একটি বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 সেমি করে কমালে ক্ষেত্রফল 60 বর্গসেমি কমে যায়। বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?
আয়তক্ষেত্র (Rectangle)
আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুগুলির দৈর্ঘ্য সমান
দৈর্ঘ্য (Length) = a একক এবং প্রস্থ (Width) = b একক হলে
🔸 পরিসীমা = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক = 2(a + b) unit
🔸 ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক = ab sq. unit
🔸 🔸 কর্ণ একক
🔸 যদি আয়তক্ষেত্রটির ভিতরের দিকে d একক চওড়া একটি রাস্তা থাকলে ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল = 2d × (a + b − 2d) বর্গ একক
💡 উপরোক্ত শর্তটির ব্যাখ্যা।
ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল = (আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল) − (রাস্তা বাদে আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল)
= ab − {(a − 2d)(b − 2d)} বর্গ একক
= ab − {ab − 2d(a + b) + 4d2} বর্গ একক
= ab − ab + 2d(a + b) − 4d2 বর্গ একক
= 2d(a + b) − 4d2 বর্গ একক
= 2d × (a + b − 2d) বর্গ একক
🔸 যদি আয়তক্ষেত্রটির বাইরের দিকে d একক চওড়া একটি রাস্তা থাকলে ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল = 2d × (a + b + 2d) বর্গ একক
💡 উপরোক্ত শর্তটির ব্যাখ্যা।
ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল = (রাস্তাসহ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল) − (আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল)
= {(a + 2d)(b + 2d) − ab} বর্গ একক
= {ab + 2d(a + b) + 4d2} − ab বর্গ একক
= ab + 2d(a + b) + 4d2 − ab বর্গ একক
= 2d(a + b) + 4d2 বর্গ একক
= 2d × (a + b + 2d) বর্গ একক
🔹 1. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 18 cm এবং প্রস্থ 11 cm। ক্ষেত্রফল কত?
🔹 2. একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং একটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৩ সেমি ও ১২ সেমি। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?
🔹 3. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 8:5। যদি আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৩৬০ বর্গমিটার হয়, তবে এর পরিসীমা কত?
🔹 4. একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণ এমন একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের সমান, যার দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
সামান্তরিক (Parallelogram)
সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলির দৈর্ঘ্য সমান
দৈর্ঘ্য = a একক, প্রস্থ = b একক, এবং উচ্চতা = h হলে
🔸 পরিসীমা = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক = 2(a + b) unit
🔸 ক্ষেত্রফল = (প্রস্থ × উচ্চতা) বর্গ একক = bh sq. unit
রম্বস (Rhombus)
রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান
দৈর্ঘ্য = a একক, এবং উচ্চতা = h হলে
🔸 পরিসীমা = 4 × দৈর্ঘ্য একক = 4a unit
🔸 ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × উচ্চতা) বর্গ একক = ah sq. unit
ট্রাপিজিয়াম (Trapezium)
ট্রাপিজিয়ামের দুটি বহু সমান্তরাল
সমান্তরাল বহু দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a এবং b, এবং উচ্চতা = h হলে
🔸 ক্ষেত্রফল = 1/2 (a + b)h বর্গ একক