ত্রিভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল
ত্রিভুজাকার একটি বাগানের চারদিকে বেড়া দিতে কতটা বেড়া লাগবে? জানতে হবে তার পরিসীমা (Perimeter)। আবার বাগানটির কতটা জায়গায় ঘাস লাগানো যাবে, তা জানতে হবে তার ক্ষেত্রফল (Area)।
এই পাঠে ত্রিভুজের পরিসীমা, ভূমি ও উচ্চতা থেকে ক্ষেত্রফল, হেরনের সূত্র এবং সমবাহু ও সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সূত্র শিখব।
👉 ত্রিভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফলের সাধারণ সূত্র
⭐ পরিসীমা (Perimeter)
ত্রিভুজের 3টি বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফলকে তার পরিসীমা বলে।
বাহুগুলির দৈর্ঘ্য a, b, c হলে—
একক: সেমি, মিটার ইত্যাদি।
⭐ ভূমি ও উচ্চতা (Base and Height)
ত্রিভুজের যেকোনো বাহুকে ভূমি ধরা যায়। বিপরীত শীর্ষবিন্দু থেকে ওই বাহু বা তার বর্ধিত অংশের উপর অঙ্কিত লম্ব রেখাংশের দৈর্ঘ্য হলো সেই ভূমির সংশ্লিষ্ট উচ্চতা।
মনে রাখো: উচ্চতা সব সময় নির্বাচিত ভূমির সঙ্গে সমকোণ তৈরি করে। যেকোনো তির্যক বাহুকে উচ্চতা ধরে নেওয়া যায় না।
⭐ ক্ষেত্রফল (Area)
ভূমির দৈর্ঘ্য b এবং সংশ্লিষ্ট উচ্চতা h হলে—
অর্থাৎ, ক্ষেত্রফল = × ভূমি × উচ্চতা।
এই সূত্র সব ধরনের ত্রিভুজের জন্য প্রযোজ্য।
একক: বর্গ সেমি, বর্গ মিটার ইত্যাদি।
✏️ উদাহরণ 1: ভূমি ও উচ্চতা থেকে ক্ষেত্রফল
একটি ত্রিভুজের ভূমি 8 সেমি এবং সংশ্লিষ্ট উচ্চতা 5 সেমি। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান:
উত্তর: ক্ষেত্রফল 20 বর্গ সেমি।
শুধু ভূমি ও উচ্চতা থেকে সাধারণভাবে ত্রিভুজের পরিসীমা নির্ণয় করা যায় না। তার জন্য বাকি বাহুগুলির দৈর্ঘ্য বা অতিরিক্ত তথ্য দরকার।
👉 বিষমবাহু ত্রিভুজ (Scalene Triangle)
যে ত্রিভুজের 3টি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর অসমান, তাকে বিষমবাহু ত্রিভুজ বলে।
অর্থাৎ, AB ≠ BC, BC ≠ CA এবং CA ≠ AB।
ত্রিভুজের ভূমি ও সংশ্লিষ্ট উচ্চতা
বিষমবাহু ত্রিভুজ সূক্ষ্মকোণী, স্থূলকোণী বা সমকোণী হতে পারে।
- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজে প্রতিটি উচ্চতা ত্রিভুজের ভিতরে থাকে।
- স্থূলকোণী ত্রিভুজে কিছু উচ্চতা আঁকতে বাহুকে বর্ধিত করতে হয়।
- সমকোণী ত্রিভুজে পরস্পর লম্ব বাহু দুটির একটিকে ভূমি ধরলে অন্যটি উচ্চতা হয়।
ভূমি AB এবং সংশ্লিষ্ট উচ্চতা h হলে—
👉 হেরনের সূত্র (Heron's Formula)
ত্রিভুজের 3টি বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে উচ্চতা আলাদাভাবে নির্ণয় না করেও হেরনের সূত্র দিয়ে ক্ষেত্রফল বের করা যায়।
হেরনের সূত্রে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
বাহুগুলির দৈর্ঘ্য a, b, c এবং অর্ধ-পরিসীমা s
বাহুগুলির দৈর্ঘ্য a, b, c হলে—
পরিসীমা:
অর্ধ-পরিসীমা (Semiperimeter):
ক্ষেত্রফল:
মনে রাখো: হেরনের সূত্র শুধু বিষমবাহু ত্রিভুজের জন্য নয়, সব ধরনের ত্রিভুজের জন্য প্রযোজ্য।
তবে প্রদত্ত বাহুগুলি দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব হতে হবে। অর্থাৎ, প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ধনাত্মক এবং যেকোনো 2টি বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল বাকি বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে বড় হতে হবে।
✏️ উদাহরণ 2: হেরনের সূত্রে ক্ষেত্রফল
একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য 5 সেমি, 5 সেমি ও 6 সেমি। এর পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান:
পরিসীমা = 5 + 5 + 6 = 16 সেমি।
অর্ধ-পরিসীমা—
হেরনের সূত্র অনুযায়ী—
উত্তর: পরিসীমা 16 সেমি এবং ক্ষেত্রফল 12 বর্গ সেমি।
এটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হলেও হেরনের সূত্র ব্যবহার করা যায়।
👉 ক্ষেত্রফল থেকে ত্রিভুজের উচ্চতা নির্ণয়
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল A এবং নির্বাচিত ভূমির দৈর্ঘ্য b হলে—
আবার, 3টি বাহু জানা থাকলে প্রথমে হেরনের সূত্রে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়। তারপর নির্বাচিত ভূমি দিয়ে উচ্চতা বের করা যায়।
যেমন, c বাহুকে ভূমি ধরলে—
এখানে একই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলকে 2টি ভিন্ন সূত্রে প্রকাশ করা হয়েছে।
✏️ উদাহরণ 3: ক্ষেত্রফল থেকে উচ্চতা
একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 30 বর্গ সেমি এবং ভূমি 10 সেমি। সংশ্লিষ্ট উচ্চতা কত?
সমাধান:
উত্তর: উচ্চতা 6 সেমি।
সমবাহু ত্রিভুজ (Equilateral Triangle)
যে ত্রিভুজের 3টি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান, তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে।
সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা ও ক্ষেত্রফল
ধরি, AB = BC = CA = a।
পরিসীমা:
উচ্চতা:
ক্ষেত্রফল:
📚 উচ্চতা ও ক্ষেত্রফলের সূত্র কীভাবে আসে?
সমবাহু ত্রিভুজের একটি শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব ওই বাহুকে সমান 2টি অংশে ভাগ করে।
তাই পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে—
সুতরাং—
এবার ভূমি ও উচ্চতার সূত্রে—
✏️ উদাহরণ 4: সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা, উচ্চতা ও ক্ষেত্রফল
একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সেমি। এর পরিসীমা, উচ্চতা ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান:
পরিসীমা = 3 × 4 = 12 সেমি।
উচ্চতা—
ক্ষেত্রফল—
উত্তর: পরিসীমা 12 সেমি, উচ্চতা সেমি এবং ক্ষেত্রফল বর্গ সেমি।
📚 অতিরিক্ত ধারণা: ভিতরের একটি বিন্দু থেকে বাহুগুলির দূরত্ব
সমবাহু ত্রিভুজের ভিতরের বিন্দু থেকে বাহুগুলির লম্ব দূরত্ব
সমবাহু ত্রিভুজ ABC-এর ভিতরে যেকোনো একটি বিন্দু O নাও।
O থেকে AB, BC, CA বাহুগুলির লম্ব দূরত্ব যথাক্রমে p, q, r। ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং উচ্চতা h।
OA, OB, OC যোগ করলে মূল ত্রিভুজটি 3টি ছোট ত্রিভুজে বিভক্ত হয়।
ছোট 3টি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের যোগফল = মূল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল।
তাই—
উভয় পক্ষকে দিয়ে ভাগ করলে—
অর্থাৎ, সমবাহু ত্রিভুজের ভিতরের যেকোনো বিন্দু থেকে বাহুগুলির লম্ব দূরত্বের যোগফল ত্রিভুজের উচ্চতার সমান।
যেমন, উচ্চতা 9 সেমি এবং 2টি লম্ব দূরত্ব 2 সেমি ও 3 সেমি হলে বাকি দূরত্ব = 9 − 2 − 3 = 4 সেমি।
👉 সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (Isosceles Triangle)
যে ত্রিভুজের অন্তত 2টি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান, তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে।
এখানে সমান বাহু দুটির প্রতিটির দৈর্ঘ্য a এবং ভূমির দৈর্ঘ্য b ধরা হয়েছে।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা, উচ্চতা ও ক্ষেত্রফল
ধরি, AB = AC = a এবং BC = b।
পরিসীমা:
ভূমির উপর উচ্চতা:
ক্ষেত্রফল:
এখানে a ও b ধনাত্মক এবং b-এর মান 2a-এর চেয়ে ছোট হতে হবে।
একক খেয়াল করো: উচ্চতা সাধারণ এককে এবং ক্ষেত্রফল বর্গ এককে প্রকাশ করতে হবে।
📚 উচ্চতার সূত্র কীভাবে আসে?
সমান বাহু দুটির সংযোগস্থল থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্ব ভূমিকে সমান 2টি অংশে ভাগ করে। প্রতিটি অংশের দৈর্ঘ্য ।
তাই পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী—
এখান থেকেই উচ্চতার সূত্রটি পাওয়া যায়।
✏️ উদাহরণ 5: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা ও ক্ষেত্রফল
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুটির প্রতিটির দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং ভূমি 6 সেমি। এর পরিসীমা, উচ্চতা ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান:
পরিসীমা = 2 × 5 + 6 = 16 সেমি।
উচ্চতা ভূমিকে সমান 2টি অংশে ভাগ করে। প্রতিটি অংশ = 6 ÷ 2 = 3 সেমি।
তাই—
ক্ষেত্রফল—
উত্তর: পরিসীমা 16 সেমি, উচ্চতা 4 সেমি এবং ক্ষেত্রফল 12 বর্গ সেমি।
উদাহরণ 2-এ একই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হেরনের সূত্রে নির্ণয় করেছিলাম। উভয় পদ্ধতিতে একই উত্তর পাওয়া গেল।
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল (Right Triangle Area)
সমকোণী ত্রিভুজের পরস্পর লম্ব বাহু দুটির একটিকে ভূমি ধরলে অন্যটি উচ্চতা হয়।
লম্ব বাহু দুটির দৈর্ঘ্য p ও q হলে—
খেয়াল রাখো: অতিভুজকে ভূমি ধরলে তার সংশ্লিষ্ট উচ্চতা আলাদা হবে।
✏️ উদাহরণ 6: সমকোণী ত্রিভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল
একটি সমকোণী ত্রিভুজের পরস্পর লম্ব বাহু দুটির দৈর্ঘ্য 3 সেমি ও 4 সেমি এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্য 5 সেমি। এর পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান:
পরিসীমা = 3 + 4 + 5 = 12 সেমি।
ক্ষেত্রফল—
উত্তর: পরিসীমা 12 সেমি এবং ক্ষেত্রফল 6 বর্গ সেমি।
👉 কোন তথ্য থাকলে কোন সূত্র ব্যবহার করবে?
| দেওয়া তথ্য | ব্যবহারযোগ্য সূত্র |
|---|---|
| বাহুগুলির দৈর্ঘ্য a, b, c; পরিসীমা চাই | P = a + b + c |
| ভূমি b ও সংশ্লিষ্ট উচ্চতা h | |
| 3টি বাহুর দৈর্ঘ্য; ক্ষেত্রফল চাই | হেরনের সূত্র |
| সমবাহু ত্রিভুজের বাহু a | |
| সমদ্বিবাহুর সমান বাহু a ও ভূমি b | |
| সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব বাহু p, q | |
| ক্ষেত্রফল A ও ভূমি b; উচ্চতা চাই |
🧠 মনে রাখার মতো গুরুত্বপূর্ণ বিষয়
⭐ পরিসীমা হলো চারপাশের মোট দৈর্ঘ্য; ক্ষেত্রফল হলো ভিতরের সমতল অঞ্চলের পরিমাপ।
⭐ সূত্রে মান বসানোর আগে সব দৈর্ঘ্য একই এককে প্রকাশ করো।
⭐ পরিসীমা ও উচ্চতার একক সেমি বা মিটার; ক্ষেত্রফলের একক বর্গ সেমি বা বর্গ মিটার।
⭐ ক্ষেত্রফলের সূত্রে নির্বাচিত ভূমির সংশ্লিষ্ট লম্ব উচ্চতা নিতে হবে।
⭐ হেরনের সূত্রে s হলো অর্ধ-পরিসীমা, পূর্ণ পরিসীমা নয়।
⭐ যেকোনো 3টি ধনাত্মক দৈর্ঘ্য দিয়ে ত্রিভুজ তৈরি হয় না। যেমন, 2 সেমি, 3 সেমি ও 5 সেমি দিয়ে ত্রিভুজ তৈরি হয় না, কারণ 2 + 3 = 5।
⭐ সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা তার বাহুর সমান নয়।
⭐ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে সমান বাহু দুটির সংযোগস্থল থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বই ভূমিকে সমান 2টি অংশে ভাগ করে।
✍️ নিজে চেষ্টা করো
🔹 1. একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য 4 সেমি, 5 সেমি ও 6 সেমি। পরিসীমা নির্ণয় করো।
🔹 2. একটি ত্রিভুজের ভূমি 12 সেমি ও সংশ্লিষ্ট উচ্চতা 7 সেমি। ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
🔹 3. একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য 13 সেমি, 14 সেমি ও 15 সেমি। হেরনের সূত্রে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
🔹 4. একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সেমি। পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
🔹 5. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুটির প্রতিটির দৈর্ঘ্য 10 সেমি এবং ভূমি 12 সেমি। উচ্চতা ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
🔹 6. একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 36 বর্গ সেমি এবং ভূমি 9 সেমি। সংশ্লিষ্ট উচ্চতা নির্ণয় করো।
উত্তর মিলিয়ে নাও
🔸 1. পরিসীমা = 15 সেমি।
🔸 2. ক্ষেত্রফল = 42 বর্গ সেমি।
🔸 3. অর্ধ-পরিসীমা = 21 সেমি; ক্ষেত্রফল = 84 বর্গ সেমি।
🔸 4. পরিসীমা = 18 সেমি; ক্ষেত্রফল = বর্গ সেমি।
🔸 5. উচ্চতা = 8 সেমি; ক্ষেত্রফল = 48 বর্গ সেমি।
🔸 6. উচ্চতা = 8 সেমি।
💡 দ্রুত রিভিশন
🔹 পরিসীমা: P = a + b + c।
🔹 সাধারণ ক্ষেত্রফল: ।
🔹 অর্ধ-পরিসীমা: ।
🔹 হেরনের সূত্র: ।
🔹 সমবাহুর ক্ষেত্রফল: ।
🔹 সমদ্বিবাহুর ক্ষেত্রফল: ।
🔹 ক্ষেত্রফল থেকে উচ্চতা: ।
