বৃত্তের পরিধি, ক্ষেত্রফল ও বৃত্তের ক্ষেত্রাংশ

বৃত্তাকার বাগানের চারদিকে বেড়া দিতে কতটা বেড়া লাগবে? তা জানতে বৃত্তের পরিধি (Circumference) নির্ণয় করতে হয়। আর বাগানের ভিতরে ঘাস লাগানোর জায়গা জানতে দরকার বৃত্তের ক্ষেত্রফল (Area of a Circle)। পিৎজার একটি টুকরোর মতো অংশের হিসাব করতে কাজে লাগে বৃত্তের ক্ষেত্রাংশ (Sector)।

এই পাঠে বৃত্ত, অর্ধবৃত্ত, বৃত্তাকার বলয় ও ক্ষেত্রাংশের সূত্র, সহজ অঙ্ক এবং বর্গক্ষেত্র ও সমবাহু ত্রিভুজের সঙ্গে বৃত্তের সম্পর্ক শিখব।

👉 বৃত্ত (Circle)

সমতলে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে নির্দিষ্ট ধনাত্মক দূরত্বে অবস্থিত সব বিন্দুর সমষ্টিকে বৃত্ত বলে। নির্দিষ্ট বিন্দুটি হলো কেন্দ্র (Centre) এবং দূরত্বটি হলো ব্যাসার্ধ (Radius)।

কেন্দ্র দিয়ে যাওয়া এবং বৃত্তের উপর অবস্থিত দুটি বিন্দুকে যুক্ত করা রেখাংশকে ব্যাস (Diameter) বলে। ব্যাসের দৈর্ঘ্য ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ।

খেয়াল রাখো: বৃত্তের পরিধি হলো তার সীমারেখার দৈর্ঘ্য। “বৃত্তের ক্ষেত্রফল” বলতে ওই সীমারেখার ভিতরের সমতল অঞ্চলের ক্ষেত্রফল বোঝায়।

যেকোনো বৃত্তে, পরিধিব্যাস = ধ্রুবক।

এই ধ্রুবককে π (পাই) বলে। π একটি অমূলদ সংখ্যা; এর দশমিক বিস্তার অসীম ও অনাবৃত্ত।

সহজ হিসাবের জন্য প্রশ্ন অনুযায়ী অথবা π ≈ 3.14 নেওয়া হয়। 227 ও 3.14 আসন্ন মান, π-এর নির্ভুল মান নয়।

বৃত্ত

ধরি, ব্যাস = AB = d এবং ব্যাসার্ধ = OB = r

🔹 বৃত্তের ব্যাসার্ধ = × বৃত্তের ব্যাস ( ∴ )

🔹 বৃত্তের পরিধি = π × ব্যাস = πd = 2πr (∵ d = 2r)

🔹 বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × (ব্যাসার্ধ)² = πr²

👉 অর্ধবৃত্ত (Semicircle)

একটি ব্যাস বৃত্তের ভিতরের অঞ্চলকে সমান 2টি অর্ধবৃত্তাকার অঞ্চলে ভাগ করে। প্রতিটির সীমানায় একটি অর্ধবৃত্তাকার চাপ ও একটি ব্যাস থাকে।

অর্ধবৃত্ত

🔹 অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল = × বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

🔹 অর্ধবৃত্তাকার চাপের দৈর্ঘ্য বা পূর্ণ বৃত্তের অর্ধেক পরিধি = πr

🔹 অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = অর্ধবৃত্তাকার চাপের দৈর্ঘ্য + ব্যাস = πr + 2r = r(π + 2)

👉 বৃত্তাকার বলয় (Circular Ring or Annulus)

একই কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি ভিন্ন ব্যাসার্ধের বৃত্তের মধ্যবর্তী অঞ্চলকে বৃত্তাকার বলয় বলে। এখানে বাইরের ব্যাসার্ধ ভিতরের ব্যাসার্ধের চেয়ে বড়: R > r > 0।

বৃত্তাকার বলয়

ধরা যাক, বাইরের ব্যাসার্ধ = R এবং ভেতরের ব্যাসার্ধ = r।

🔹 বলয়ের প্রস্থ = R − r

🔹 বলয়ের ক্ষেত্রফল = বাইরের বৃত্তের ক্ষেত্রফল − ভেতরের বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πR² − πr² = π(R + r)(R − r)

👉 অর্ধ-বৃত্তাকার বলয় (Semicircular Ring)

পূর্ণ বলয়কে কেন্দ্র দিয়ে যাওয়া একটি সরলরেখা বরাবর সমান 2টি ভাগে ভাগ করলে প্রতিটি অংশ অর্ধ-বৃত্তাকার বলয় হয়। এর সীমানায় 2টি অর্ধবৃত্তাকার চাপ এবং 2টি সরল রেখাংশ থাকে।

অর্ধ-বৃত্তাকার বলয়

ধরা যাক, বাইরের ব্যাসার্ধ = R এবং ভেতরের ব্যাসার্ধ = r।

🔹 প্রস্থ = R − r

🔹 অর্ধ-বৃত্তাকার বলয়ের ক্ষেত্রফল = ।

🔹 অর্ধ-বৃত্তাকার বলয়ের পরিসীমা = বাইরের অর্ধপরিধি + ভেতরের অর্ধপরিধি + 2 × প্রস্থ

🔹 অর্ধ-বৃত্তাকার বলয়ের পরিসীমার সূত্র = πR + πr + 2(R − r) = π(R + r) + 2(R − r)

👉 বৃত্তের ক্ষেত্রাংশ (Sector of Circle)

বৃত্তের ক্ষেত্রাংশ

বৃত্তের দুটি ব্যাসার্ধ ও তাদের প্রান্তবিন্দুর মধ্যবর্তী একটি চাপ দ্বারা সীমাবদ্ধ অঞ্চলকে ক্ষেত্রাংশ (Sector) বলে। সংশ্লিষ্ট চাপ অনুযায়ী লঘু বা গুরু ক্ষেত্রাংশ হতে পারে।

ধরি, কেন্দ্র O, ব্যাসার্ধ r এবং ক্ষেত্রাংশের কেন্দ্রীয় কোণ θ°। সংশ্লিষ্ট চাপের দৈর্ঘ্যকে l দিয়ে প্রকাশ করি।

চাপ ও জ্যা আলাদা: চাপ হলো বৃত্ত বরাবর বাঁকা অংশ; জ্যা হলো তার দুই প্রান্তবিন্দুকে যুক্ত করা সরল রেখাংশ। নিচের সূত্রে চাপের দৈর্ঘ্য নিতে হবে।

⭐ ডিগ্রিতে কেন্দ্রীয় কোণ দেওয়া থাকলে

পূর্ণ বৃত্তের কেন্দ্রীয় কোণ 360°। তাই θ° কোণের ক্ষেত্রাংশ পূর্ণ বৃত্তের অংশ।

🔹 চাপের দৈর্ঘ্য:

🔹 ক্ষেত্রাংশের ক্ষেত্রফল:

🔹 চাপের দৈর্ঘ্য জানা থাকলে:

🔹 ক্ষেত্রাংশের পরিসীমা = চাপের দৈর্ঘ্য + 2টি ব্যাসার্ধ:

পরিসীমার এই সূত্রটি 0°-এর বেশি ও 360°-এর কম কোণের ক্ষেত্রাংশের জন্য। পূর্ণ বৃত্তের পরিধিতে অতিরিক্ত 2টি ব্যাসার্ধ যোগ করা হয় না।

⭐ অতিরিক্ত ধারণা: কোণ রেডিয়ানে দেওয়া থাকলে

একই কোণের ডিগ্রি-মান θ এবং রেডিয়ান-মান φ হলে—

তখন—

মনে রাখো: l = rφ সূত্রে কোণ অবশ্যই রেডিয়ানে নিতে হবে। ডিগ্রি-মান সরাসরি বসানো যাবে না।

👉 বৃত্তের ভিতরে অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র (Square inscribed in the circle)

বৃত্তের ভিতরে অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র

বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের 4টি শীর্ষবিন্দুই বৃত্তের উপর থাকে।

🔹 বৃত্তের ভিতরে অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস = 2r।

🔹 বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = = = 2r²

🔹 বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × √2 × r = 4 √2 r

👉 বৃত্তকে ঘিরে অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র (Square circumscribing the circle)

বৃত্তকে ঘিরে অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র

যে বর্গক্ষেত্রের 4টি বাহুই বৃত্তকে স্পর্শ করে এবং বৃত্তটি যার ভিতরে থাকে, সেই পরিবেষ্টনকারী বর্গক্ষেত্রের বাহু = বৃত্তের ব্যাস = 2r।

🔹 বৃত্তকে ঘিরে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (2r)² = 4r²

🔹 বৃত্তকে ঘিরে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × 2r = 8r

👉 বর্গক্ষেত্রের অন্তর্বৃত্ত (Incircle of a Square)

বর্গক্ষেত্রের ভিতরে অবস্থিত যে বৃত্ত তার 4টি বাহুকেই স্পর্শ করে, তাকে অন্তর্বৃত্ত বলে।

ধরা যাক, বর্গক্ষেত্রের বাহু = a।

বর্গক্ষেত্রের অন্তর্বৃত্ত

🔹 অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ r =

🔹 পরিধি = πa

🔹 ক্ষেত্রফল =

👉 বর্গক্ষেত্রের পরিবৃত্ত (Circumcircle of a Square)

বর্গক্ষেত্রের 4টি শীর্ষবিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া বৃত্তকে পরিবৃত্ত বলে। এখানেও বর্গক্ষেত্রের বাহু a।

বর্গক্ষেত্রের পরিবৃত্ত

🔹 বর্গক্ষেত্রের পরিবৃত্তের ব্যাস = বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = a × √2

🔹 বর্গক্ষেত্রের পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল = =

🔹 বর্গক্ষেত্রের পরিবৃত্তের পরিধি = 2π × = πa × √2 = √2πa

👉 সমবাহু ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত (Incircle of an Equilateral Triangle)

ধরা যাক, ABC সমবাহু ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r।

সমবাহু ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত

সমবাহু ত্রিভুজে অন্তঃকেন্দ্র, পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র একই বিন্দুতে থাকে। ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে শীর্ষের দিক থেকে 2 : 1 অনুপাতে ভাগ করে। এখানে উচ্চতাও মধ্যমা, তাই উচ্চতা h হলে অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = h/3।

🔹 সমবাহু ত্রিভুজটির উচ্চতা AD = h = 3r।

🔹 সমবাহু ত্রিভুজটির বাহু = a =

🔹 ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =

🔹 ত্রিভুজের পরিসীমা

👉 সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্ত (Circumcircle of an Equilateral Triangle)

পরিকেন্দ্র থেকে শীর্ষবিন্দুর দূরত্ব উচ্চতার অংশ। তাই R = 2h/3 এবং r = h/3 থেকে—

🔹 সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ R = 2r।

🔹 পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল = πR² = 4πr²

👉 সহজ সমাধানসহ উদাহরণ

হিসাবের নিয়ম: নিচের যেসব উদাহরণে π-এর বদলে 22/7 নেওয়া হয়েছে, সেগুলির সংখ্যামান সেই আসন্ন মান অনুযায়ী। প্রশ্নে π-এর মান দেওয়া থাকলে সেটিই ব্যবহার করবে; না থাকলে π-যুক্ত নির্ভুল উত্তরও রাখা যায়।

✏️ উদাহরণ 1: বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল

একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সেমি। পরিধি ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো। হিসাবের জন্য নাও।

সমাধান:

পরিধি = 2π × 7 = 14π সেমি।

সেমি।

ক্ষেত্রফল = π × 7² = 49π বর্গ সেমি।

বর্গ সেমি।

উত্তর: পরিধি প্রায় 44 সেমি এবং ক্ষেত্রফল প্রায় 154 বর্গ সেমি।

✏️ উদাহরণ 2: ব্যাস থেকে বৃত্তের ক্ষেত্রফল

একটি বৃত্তের ব্যাস 10 সেমি। ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান: ব্যাসার্ধ = 10 ÷ 2 = 5 সেমি।

ক্ষেত্রফল = π × 5² = 25π বর্গ সেমি।

উত্তর: 25π বর্গ সেমি। π ≈ 3.14 নিলে ক্ষেত্রফল প্রায় 78.5 বর্গ সেমি।

খেয়াল করো: ক্ষেত্রফলের সূত্রে ব্যাস 10 নয়, ব্যাসার্ধ 5 বসাতে হবে।

✏️ উদাহরণ 3: অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা

একটি অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সেমি। ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা নির্ণয় করো। হিসাবের জন্য নাও।

সমাধান:

ক্ষেত্রফল = বর্গ সেমি।

অর্ধবৃত্তাকার চাপের দৈর্ঘ্য = 7π ≈ 22 সেমি।

পরিসীমা = চাপের দৈর্ঘ্য + ব্যাস = 7π + 14 ≈ 36 সেমি।

উত্তর: ক্ষেত্রফল প্রায় 77 বর্গ সেমি এবং পরিসীমা প্রায় 36 সেমি। শুধু বাঁকা অংশের দৈর্ঘ্য প্রায় 22 সেমি।

✏️ উদাহরণ 4: বৃত্তাকার বলয়ের ক্ষেত্রফল

একই কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্তের বাইরের ব্যাসার্ধ 7 সেমি এবং ভিতরের ব্যাসার্ধ 3 সেমি। বলয়ের প্রস্থ ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান: প্রস্থ = 7 − 3 = 4 সেমি।

ক্ষেত্রফল = π(7² − 3²) = π(49 − 9) = 40π বর্গ সেমি।

উত্তর: প্রস্থ 4 সেমি, ক্ষেত্রফল 40π বর্গ সেমি।

মনে রাখো: ক্ষেত্রফল π(R − r)² নয়; সঠিক সূত্র π(R² − r²)।

✏️ উদাহরণ 5: অর্ধ-বৃত্তাকার বলয়ের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা

একটি অর্ধ-বৃত্তাকার বলয়ের বাইরের ব্যাসার্ধ 5 সেমি এবং ভিতরের ব্যাসার্ধ 3 সেমি। ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা নির্ণয় করো।

সমাধান:

ক্ষেত্রফল = বর্গ সেমি।

পরিসীমা = π(5 + 3) + 2(5 − 3) = 8π + 4 সেমি।

উত্তর: ক্ষেত্রফল 8π বর্গ সেমি, পরিসীমা (8π + 4) সেমি।

✏️ উদাহরণ 6: ক্ষেত্রাংশের চাপের দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা

একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 14 সেমি। 90° কেন্দ্রীয় কোণবিশিষ্ট ক্ষেত্রাংশের চাপের দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা নির্ণয় করো। হিসাবের জন্য নাও।

সমাধান: ক্ষেত্রাংশটি পূর্ণ বৃত্তের 90/360 = 1/4 অংশ।

চাপের দৈর্ঘ্য—

সেমি।

ক্ষেত্রফল—

বর্গ সেমি।

পরিসীমা = l + 2r = 7π + 28 ≈ 50 সেমি।

উত্তর: চাপের দৈর্ঘ্য প্রায় 22 সেমি, ক্ষেত্রফল প্রায় 154 বর্গ সেমি এবং পরিসীমা প্রায় 50 সেমি।

✏️ উদাহরণ 7: বৃত্তের ভিতরের ও বাইরের বর্গক্ষেত্র

একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 সেমি। বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্র এবং বৃত্তকে পরিবেষ্টনকারী বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান:

অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 2r² = 2 × 5² = 50 বর্গ সেমি।

পরিবেষ্টনকারী বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 4r² = 4 × 5² = 100 বর্গ সেমি।

উত্তর: ভিতরের বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 50 বর্গ সেমি এবং বাইরেরটির 100 বর্গ সেমি।

✏️ উদাহরণ 8: সমবাহু ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত ও পরিবৃত্ত

একটি সমবাহু ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ 2 সেমি। ত্রিভুজটির উচ্চতা, বাহু এবং পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।

সমাধান:

উচ্চতা = 3r = 3 × 2 = 6 সেমি।

বাহু = সেমি।

পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ = R = 2r = 4 সেমি।

উত্তর: উচ্চতা 6 সেমি, বাহু সেমি, পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 সেমি।

🧠 মনে রাখার মতো গুরুত্বপূর্ণ বিষয়

⭐ ব্যাস ও ব্যাসার্ধ: d = 2r। ক্ষেত্রফলের সূত্রে ব্যাসার্ধ বসাবে।

⭐ একক: পরিধি, চাপের দৈর্ঘ্য ও পরিসীমা সেমি বা মিটারে; ক্ষেত্রফল বর্গ সেমি বা বর্গ মিটারে প্রকাশ করবে।

⭐ একই একক: সূত্রে বসানোর আগে সব দৈর্ঘ্য একই এককে আনবে।

⭐ π-এর মান: 22/7 ও 3.14 আসন্ন মান। নির্ভুল উত্তর চাইলে π রেখেই উত্তর দিতে পারো।

⭐ অর্ধবৃত্তের পরিসীমা: বাঁকা অংশের সঙ্গে ব্যাস যোগ করতে হবে।

⭐ বলয়ের ক্ষেত্রফল: বাইরের বৃত্তের ক্ষেত্রফল থেকে ভিতরের বৃত্তের ক্ষেত্রফল বিয়োগ করবে।

⭐ ক্ষেত্রাংশের পরিসীমা: চাপের দৈর্ঘ্যের সঙ্গে 2টি ব্যাসার্ধ যোগ করবে; চাপের দৈর্ঘ্য একাই পরিসীমা নয়।

⭐ ডিগ্রি ও রেডিয়ান: ডিগ্রির সূত্রে θ এবং রেডিয়ানের সূত্রে φ ব্যবহার করা হয়েছে। তাদের মান সরাসরি অদলবদল করবে না।

⭐ সমবাহু ত্রিভুজ: R = 2r সম্পর্কটি সমবাহু ত্রিভুজের জন্য; যেকোনো ত্রিভুজে এই সমতা ধরে নেওয়া যাবে না।

✍️ নিজে চেষ্টা করো

π-যুক্ত নির্ভুল মানে উত্তর দাও; দশমিক মান বের করার দরকার নেই।

🔹 1. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 সেমি। পরিধি ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

🔹 2. একটি অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 সেমি। ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা নির্ণয় করো।

🔹 3. একটি বৃত্তাকার বলয়ের বাইরের ব্যাসার্ধ 6 সেমি ও ভিতরের ব্যাসার্ধ 4 সেমি। প্রস্থ ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

🔹 4. একটি ক্ষেত্রাংশের ব্যাসার্ধ 6 সেমি ও কেন্দ্রীয় কোণ 60°। চাপের দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা নির্ণয় করো।

🔹 5. একটি বর্গক্ষেত্রের বাহু 8 সেমি। তার অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

🔹 6. একটি সমবাহু ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 সেমি। পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

উত্তর মিলিয়ে নাও

🔸 1. পরিধি 6π সেমি; ক্ষেত্রফল 9π বর্গ সেমি।

🔸 2. ক্ষেত্রফল 8π বর্গ সেমি; পরিসীমা (4π + 8) সেমি।

🔸 3. প্রস্থ 2 সেমি; ক্ষেত্রফল 20π বর্গ সেমি।

🔸 4. চাপের দৈর্ঘ্য 2π সেমি; ক্ষেত্রফল 6π বর্গ সেমি; পরিসীমা (2π + 12) সেমি।

🔸 5. ব্যাসার্ধ 4 সেমি; ক্ষেত্রফল 16π বর্গ সেমি।

🔸 6. পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ 6 সেমি; ক্ষেত্রফল 36π বর্গ সেমি।

💡 দ্রুত রিভিশন

⭐ বৃত্তের পরিধি = 2πr

⭐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

⭐ অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = πr + 2r

⭐ বলয়ের ক্ষেত্রফল = π(R + r)(R − r)

⭐ ক্ষেত্রাংশের চাপের দৈর্ঘ্য = × 2πr

⭐ ক্ষেত্রাংশের ক্ষেত্রফল = × πr²

⭐ বৃত্তের ভিতরের বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 2r²

⭐ বৃত্তকে ঘিরে থাকা বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 4r²

⭐ ক্ষেত্রাংশের পরিসীমা = l + 2r (কেন্দ্রীয় কোণ 0°-এর বেশি ও 360°-এর কম)।

⭐ সমবাহু ত্রিভুজে পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ R = 2r, যেখানে r অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ।