Here,

= sin²θ (cosec²θ) [ ∵ cosec²θ = 1 + cot²θ ]

= [∵ ]

= 1

∵ sec⁴θ − tan⁴θ

= (sec²θ + tan²θ) (sec²θ − tan²θ) [ ∵ a² − b² = (a − b)(a + b)]

= (sec²θ + tan²θ) [∵ sec²θ − tan²θ = 1]

= [∵ ]

∵ 1 + 4 cosec²θ cot²θ

= (cosec²θ − cot²θ)² + 4 cosec²θ cot²θ [ ∵ cosec²θ − cot²θ = 1]

= cosec⁴θ + cot⁴θ − 2 cosec²θ cot²θ + 4 cosec²θ cot²θ

= cosec⁴θ + cot⁴θ + 2 cosec²θ cot²θ

= (cosec²θ + cot²θ)²

∵ sin α = x and tan α = y

⇒ -------(i) [ ∵ ]

and

⇒ -------(ii) [ ∵ ]

Squaring equations (i) and (ii), then subtracting, we get

∴

⇒ [ ∵ cosec²α − cot²α = 1]

⇒ (Proved)

∵

⇒ [ ∵ Squaring both sides. ]

⇒

⇒ (x² + y²) cos²θ = x²

⇒ x² = (x² + y²) cos²θ

⇒ x² = x² cos²θ + y² cos²θ

⇒ x² − x² cos²θ = y² cos²θ

⇒ x²(1 − cos²θ) = y² cos²θ [∵ sin²θ + cos²θ = 1]

⇒ x² sin²θ = y² cos²θ

⇒ x sin θ = y cos θ (Proved)

∵ x = 3 cos θ and y = 3 sin θ

Let,

and

Squaring equations (i) and (ii), then adding, we get

∴ x² + y² = (3 cos θ)² + (3 sin θ)²

⇒ x² + y² = 9 cos²θ + 9 sin²θ

⇒ x² + y² = 9 ( sin²θ + cos²θ )

⇒ x² + y² = 9 × 1 [∵ sin²θ + cos²θ = 1]

⇒ x² + y² = 9

∵ (sin A + cos A)² + (sin A − cos A)²

⇒ 2(sin²A + cos²A) [∵ (a + b)² + (a − b)² = 2(a² + b²)]

⇒ 2 × 1 [∵ sin²A + cos²A = 1]

⇒ 2