দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় ও তার প্রকৃতি (Roots of a Quadratic Equation and their nature)

দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ কী?

⭐ ax² + bx + c = 0 হলো দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ আকার, যেখানে a ≠ 0 এবং a, b, c ধ্রুবক।

কোনো দ্বিঘাত সমীকরণে x-এর যে মান বসালে সমীকরণটি সত্য হয়, সেই মানকে ওই সমীকরণের বীজ (root) বলা হয়।

📌 সাধারণভাবে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সর্বোচ্চ দুইটি বীজ থাকে। দুইটি বীজ একই হতে পারে, আবার আলাদা হতে পারে।

✍ উদাহরণ

∵ x² − 5x + 6 = 0 সমীকরণে, x = 2 বসালে,

বা, 2² − 5 × 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0

তাই 2 একটি বীজ। আবার x = 3 বসালেও,

∴ 3² − 5 × 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0

তাই 3 আরেকটি বীজ। অর্থাৎ, সমীকরণটির বীজদ্বয় হলো 2 ও 3।

শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে বীজ নির্ণয়

⭐ ax² + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণে

📚 এখানে D = b² − 4ac-কে নিরূপক (discriminant) বলা হয়।

📚 এই সূত্রকে শ্রীধর আচার্যের সূত্র (Sridhar Acharya's Formula) বলা হয়।

🔹 বীজগণিতে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করে সরাসরি x-এর মান বের করার জন্যে এই সূত্রটি ব্যবহৃত হয়।

✍ উদাহরণ: সূত্র প্রয়োগ করে বীজ নির্ণয়

🔹 2x² − 7x + 3 = 0 সমীকরণের বীজ নির্ণয় করো।

এখানে, a = 2, b = −7, c = 3

∴ D = b² − 4ac = (−7)² − 4 × 2 × 3 = 49 − 24 = 25

শ্রীধর আচার্যের সূত্রে,

বা,

∴ x = 3 অথবা

তাই বীজদ্বয় হলো 3 ও ।

বীজদ্বয়ের যোগফল ও গুনফল

⭐ ax² + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুইটির একটি α এবং অপরটি β হলে

✍ উদাহরণ: যোগফল ও গুণফল নির্ণয়

∵ 3x² − 10x + 3 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β হলে,

এখানে, a = 3, b = −10, c = 3

এবং,

তাই বীজদ্বয়ের যোগফল এবং গুণফল 1।

বীজের মান জানা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করার পদ্ধতি

দুইটি বীজের মান জানা থাকলে দ্বিঘাত সমীকরণটি x² − (বীজদ্বয়ের যোগফল) x + (বীজদ্বয়ের গুনফল) = 0 হবে।

✍ উদাহরণ: পূর্ণসংখ্যা বীজ থেকে সমীকরণ গঠন

দুইটি বীজ 4 ও −1 হলে,

বীজদ্বয়ের যোগফল = 4 + (−1) = 3

বীজদ্বয়ের গুণফল = 4 × (−1) = −4

∴ সমীকরণ হবে,

✍ উদাহরণ: ভগ্নাংশ বীজ থেকে সমীকরণ গঠন

দুইটি বীজ ও 3 হলে,

∴ সমীকরণ হবে,

ভগ্নাংশ দূর করতে সমীকরণকে 2 দিয়ে গুণ করলে,

দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি [Nature of the Roots of a Quadratic Equation]

শ্রীধর আচার্যের সূত্রে

আমরা দুইটি বীজের যে মান পাই তার প্রকৃতি (b² − 4ac)-এর উপর নির্ভর করে।

এইজন্য D = b² − 4ac-কে নিরূপক (Discriminant) বলা হয়।

🔹 ax² + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের a (≠ 0), b, ও c-এর মান বাস্তব (real) ও মূলদ (rational), এবং বীজ দুইটির একটি α এবং অপরটি β হলে।

α ও β প্রকৃতি হবে :

⭐ (a) (b² − 4ac) > 0 হয় অর্থাৎ, নিরূপক ধনাত্মক হয়, তবে দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β বাস্তব (real) ও অসমান (unequal) হবে।

⭐ (b) (b² − 4ac) = 0 হয় অর্থাৎ, নিরূপকের মান শূন্য হয়, তবে দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β বাস্তব (real) ও সমান (equal) হবে।

⭐ (b) (b² − 4ac) < 0 হয় অর্থাৎ, যদি নিরূপকের মান ঋণাত্মক হয়, তবে দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β অবাস্তব (imaginary) ও অসমান (unequal) হবে।

⭐ (d) যদি নিরূপক ধনাত্মক ও পূর্ণবর্গ (perfect square) হয়, তবে দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β বাস্তব (real), মূলদ (rational) ও অসমান (unequal) হবে।

📚 মনে রাখো: সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব হবে যদি D ≥ 0 হয়।

📚 মূলদ সহগবিশিষ্ট কোন দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের একটি মূলদ ও অপরটি অমূলদ হতে পারে না; হয় উভয় বীজই মূলদ নতুবা উভয় বীজই অমূলদ হবে।

📚 বাস্তব সহগবিশিষ্ট কোন দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের একটি বাস্তব ও অপরটি কাল্পনিক হতে পারে না; হয় উভয় বীজই বাস্তব নতুবা, উভয় বীজই কাল্পনিক হবে।

✍ উদাহরণ: D > 0 এবং পূর্ণবর্গ

∵ x² − 5x + 6 = 0

এখানে, a = 1, b = −5, c = 6

∴ D = b² − 4ac = 25 − 24 = 1

যেহেতু D = 1 > 0 এবং 1 পূর্ণবর্গ, তাই বীজদ্বয় বাস্তব, মূলদ ও অসমান। বীজদ্বয় হলো 2 ও 3।

✍ উদাহরণ: D > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ নয়

∵ x² − 2x − 1 = 0

এখানে, a = 1, b = −2, c = −1

∴ D = b² − 4ac = 4 − 4 × 1 × (−1) = 8

যেহেতু D = 8 > 0, তাই বীজদ্বয় বাস্তব ও অসমান। কিন্তু 8 পূর্ণবর্গ নয়, তাই বীজদ্বয় অমূলদ।

✍ উদাহরণ: D = 0

∵ x² − 6x + 9 = 0

এখানে, a = 1, b = −6, c = 9

∴ D = b² − 4ac = 36 − 36 = 0

তাই বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান। দুইটি বীজই 3।

✍ উদাহরণ: D < 0

∵ x² + 4x + 5 = 0

এখানে, a = 1, b = 4, c = 5

∴ D = b² − 4ac = 16 − 20 = −4

তাই বাস্তব বীজ নেই। উচ্চতর গণিতে বীজদ্বয় হবে −2 + i এবং −2 − i।

দ্বিঘাত সমীকরণের কিছু গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য

💡 ax² + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ α হলে (x − α) রাশিটি ওই সমীকরণের একটি উৎপাদক হবে। বিপরীতভাবে, (x − α) যদি উৎপাদক হয়, তবে α সমীকরণটির একটি বীজ হবে।

💡 কোন দ্বিঘাত সমীকরণে দুটির অধিক বীজ থাকতে পারে না।

💡 মূলদ সহগবিশিষ্ট কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ হলে অপর বীজটি হবে ।

💡 বাস্তব সহগবিশিষ্ট কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ p + iq হলে অপর বীজটি হবে p − iq। এখানে ।

পরীক্ষার জন্য গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট

• দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ আকার: ax² + bx + c = 0, যেখানে a ≠ 0।

• বীজ নির্ণয়ের সূত্র:

• নিরূপক: D = b² − 4ac

• D > 0 হলে বীজদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

• D = 0 হলে বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান।

• D < 0 হলে বাস্তব বীজ নেই।

• বীজদ্বয়ের যোগফল:

• বীজদ্বয়ের গুণফল:

• বীজ α ও β হলে সমীকরণ: x² − (α + β)x + αβ = 0

💡 সাধারণ ভুল ধারণা Common Mistakes