🎯 এই অধ্যায় শেষে তুমি কী কী জানবে?
👉 সামান্তরিকের সংজ্ঞা বুঝতে পারবে
👉 সামান্তরিকের বিপরীত বাহু ও বিপরীত কোণের বৈশিষ্ট্য ব্যাখ্যা করতে পারবে
👉 সামান্তরিকের কর্ণদ্বয়ের বৈশিষ্ট্য বুঝতে পারবে
👉 একটি কর্ণের সাহায্যে সামান্তরিককে দুটি সর্বসম ত্রিভুজে ভাগ করার ধারণা বুঝতে পারবে
👉 চতুর্ভুজকে সামান্তরিক প্রমাণ করার নিয়মগুলি প্রয়োগ করতে পারবে
👉 জ্যামিতিক প্রমাণে সামান্তরিকের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করতে পারবে
আমরা আগের অধ্যায়ে চতুর্ভুজ সম্পর্কে জেনেছি। সামান্তরিক হলো চতুর্ভুজের একটি বিশেষ রূপ, যার দুই জোড়া বিপরীত বাহু পরস্পর সমান্তরাল।
অর্থাৎ, ABCD সামান্তরিকের AD || BC, এবং AB || DC হবে।
👉 এই অধ্যায়ে সামান্তরিকের বৈশিষ্ট্যগুলির ব্যাখ্যা ও প্রমাণ করা হলো।
সামান্তরিকের বৈশিষ্ট্য (Properties of a Parallelogram)
⭐ কোনো সামান্তরিকের প্রতিটি কর্ণ সামান্তরিককে দুটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে এবং সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলি ও কোণগুলি পরস্পর সমান।
| প্রদত্ত : | ধরি, ABCD সামান্তরিক। অর্থাৎ, AB || DC এবং AD || BC; AC কর্ণ সামান্তরিককে দুটি ত্রিভুজ △ABC ও △CDA-তে বিভক্ত করেছে। |
| প্রামাণ্য : | (1) △ABC ≅ △CDA |
(2) AB = DC ও BC = AD | |
(3) ∠ABC=∠ADC ও ∠BAD = ∠BCD | |
| প্রমাণ : | ⸪ AD || BC এবং AC তাদের ছেদক |
⸫ ∠ACB = একান্তর ∠CAD ---- (i) | |
| ⸪ AB || DC এবং AC তাদের ছেদক | |
⸫ ∠BAC = একান্তর ∠ACD ---- (ii) | |
| এবং, | △ABC ও △CDA-এর মধ্যে, |
∠ACB = ∠CAD [(i) নং অনুযায়ী ] | |
| AC সাধারণ বাহু | |
| এবং, | ∠BAC = ∠ACD [(ii) নং অনুযায়ী] |
∴ △ABC ≅ △CDA [⸪ সর্বসমতার A-S-A শর্তানুসারে] | |
∴ প্রতিটি কর্ণ সামান্তরিককে দুটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে (1) প্রমাণিত। | |
∴ AB = DC ও BC = AD [⸪ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু] | |
| ∴ সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলির দৈর্ঘ্য সমান (2) প্রমাণিত। | |
∠BAC + ∠CAD = ∠ACB + ∠ACD [⸪ (i) ও (ii) থেকে পেলাম] | |
| ⸫ ∠BAD = ∠BCD | |
| এবং, | ∠ABC = ∠ADC [⸪ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ] |
| ⸫ সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সমান (3) প্রমাণিত। |
⭐ সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে
| প্রদত্ত : | ধরি, ABCD সামান্তরিকের দুটি কর্ণ AC ও BD পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। |
| প্রামাণ্য : | AO = OC এবং BO = OD |
| প্রমাণ : | ⸪ AD || BC এবং AC তাদের ছেদক |
| ⸫ ∠ACB = একান্তর ∠CAD | |
| অর্থাৎ, | ∠OAD = ∠OCB ---- (i) |
| ⸪ AC ও BD কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করেছে। | |
| ∠AOD = বিপ্রতীপ ∠BOC ---- (ii) | |
| এবং, | △ AOD ও △ BOC-এর মধ্যে, |
∠OAD = ∠OCB [(i) নং অনুযায়ী ] | |
| AD = BC [⸪ সামান্তরিকের বিপরীত বাহু] | |
| এবং, | ∠AOD = ∠BOC [(ii) নং অনুযায়ী] |
∴ △ AOD ≅ △ BOC [⸪ সর্বসমতার A-S-A শর্তানুসারে] | |
∴ AO = OC ও DO = BO [⸪ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু] | |
∴ প্রমাণিত হল সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। |
⭐ কোনো চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলির দৈর্ঘ্য সমান হলে চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক হবে।
| প্রদত্ত: | ABCD চতুর্ভুজের AB=DC এবং AD=BC |
| প্রামাণ্য: | ABCD একটি সামান্তরিক। |
| অঙ্কন: | BD কর্ণ টানলাম। |
| প্রমাণ: | ∆ ABD ও ∆ CDB-এর মধ্যে, |
| ⸪ | AB=DC |
| এবং, | AD=BC [প্রদত্ত] |
| এবং, | BD সাধারণ বাহু |
| ⸫ | △ABD ≅ △CDB [⸪ সর্বসমতার S-S-S শর্তানুসারে] |
∠ADB = ∠CBD [⸪ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ] | |
| কিন্তু AD ও BC-কে BD ছেদ করায় | |
| ∠ADB = একান্তর ∠CBD | |
| ⸫ | AD || BC |
| আবার, | ∠ABD = ∠CDB [⸪ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ] |
| কিন্তু AB ও DC-কে BD ছেদ করায় | |
| ∠ABD = একান্তর ∠CDB | |
| ⸫ | AB || DC |
| ⸪ | ABCD চতুর্ভুজের |
| AD || BC | |
| এবং, | AB || DC |
| ⸫ | ABCD একটি সামান্তরিক (প্রমাণিত) |
⭐ কোনো চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সমান হলে চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক হবে।
| প্রদত্ত : | ABCD চতুর্ভুজের ∠BAD = ∠BCD এবং ∠ABC = ∠ADC |
| প্রামাণ্য : | ABCD একটি সামান্তরিক। |
| প্রমাণ : | একটি চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি 4 সমকোণ। |
| ⸫ | ∠BAD + ∠ABC + ∠BCD + ∠ADC = 4 সমকোণ |
| প্রদত্ত, | ∠BAD = ∠BCD এবং ∠ABC = ∠ADC |
| ∴ | ∠BAD + ∠ABC + ∠BAD + ∠ABC = 4 সমকোণ |
| বা, | 2 (∠BAD + ∠ABC) = 4 সমকোণ |
| ∴ | ∠BAD+ ∠ABC = 2 সমকোণ |
| ⸪ | AD ও BC সরলরেখাংশ দুটিকে AB সরলরেখাংশ ছেদ করায় ছেদকের একই পাশে উৎপন্ন অন্তঃস্থ কোণদুটির সমষ্টি 2 সমকোণ |
| ⸫ | AD || BC |
| একইভাবে প্রমাণ করতে পারি যে, | |
| AB || DC | |
| ⸪ | ABCD চতুর্ভুজের |
| AD || BC | |
| এবং | AB || DC |
| ⸫ | ABCD একটি সামান্তরিক (প্রমাণিত) |
⭐ চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল হলে চতুর্ভুজটি সামান্তরিক হবে।
| প্রদত্ত: | ABCD চতুর্ভুজের AB = DC এবং AB || DC |
| প্রামাণ্য: | ABCD একটি সামান্তরিক। |
| অঙ্কন: | AC কর্ণ অঙ্কন করলাম। |
| প্রমাণ: | ⸪ AB || DC এবং AC ছেদক |
| ∠BAC = একান্তর ∠ACD | |
| ∆ ABC ও ∆ CDA-এর মধ্যে, | |
| AB = DC [প্রদত্ত] | |
| ∠BAC = ∠ACD | |
| এবং AC তাদের সাধারণ বাহু। | |
| ⸫ | △ ABC ≅ △ CDA [⸪ সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে] |
| সুতরাং, | ∠ACB = ∠DAC [⸪ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ] |
কিন্তু BC ও AD সরলরেখাংশকে AC ছেদ করায় দুটি একান্তর কোণ সমান হয়েছে। | |
| ⸫ | BC || AD |
| যেহেতু, | ABCD চতুর্ভুজের |
| AB || DC | |
| এবং | BC || AD |
| ABCD একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত) |
⭐ চতুর্ভুজের দুটি কর্ণ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে চতুর্ভুজটি সামান্তরিক হবে।
| প্রদত্ত: | ABCD চতুর্ভুজের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। অর্থাৎ, AO = OC এবং BO = OD |
| প্রামাণ্য: | ABCD একটি সামান্তরিক। |
| প্রমাণ: | ∆ AOD ও ∆ BOC-এর মধ্যে, |
| AO = OC | |
∠AOD = ∠BOC [⸪ বিপ্রতীপ কোণ] | |
| BO = OD | |
∆ AOD ≅ ∆ BOC [⸪ সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে] | |
| ⸫ | AD = BC [⸪ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু] |
| এবং | ∠OAD = ∠OCB [⸪ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ] |
কিন্তু AD ও BC সরলরেখাংশকে AC ছেদ করার ফলে এই দুটি একান্তর কোণ সমান। | |
| ⸫ | AD || BC |
| ⸪ | ABCD চতুর্ভুজের |
| AD || BC | |
| এবং | AD = BC |
| ⸫ | ABCD একটি সামান্তরিক। [প্রমাণিত] |
📚 মনে রাখার মতো গুরুত্বপূর্ণ বিষয়
👉 সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলি সমান ও সমান্তরাল।
👉 সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলি সমান।
👉 সামান্তরিকের সন্নিহিত কোণদ্বয়ের সমষ্টি 180°।
👉 সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
👉 একটি কর্ণ সামান্তরিককে দুটি সর্বসম ত্রিভুজে ভাগ করে।