ত্রিভুজ ও সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems of Areas)
ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্যগুলিতে মূল ধারণা হলো ভূমি, উচ্চতা এবং সমান্তরাল সরলরেখা। একই ভূমি ও একই সমান্তরাল রেখার মধ্যে কোনো চিত্র থাকলে তাদের উচ্চতা একই হয়। তাই ক্ষেত্রফলের মধ্যে সহজ সম্পর্ক তৈরি হয়।
🔎 এক নজরে গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য
| উপপাদ্য 1 : | একই ভূমি ও একই সমান্তরাল সরলরেখা যুগলের মধ্যে অবস্থিত সামান্তরিকগুলির ক্ষেত্রফল সমান। |
| উপপাদ্য 2 : | ত্রিভুজ ও সামান্তরিক একই ভূমি ও একই সমান্তরাল রেখার মধ্যে থাকলে, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক। |
| উপপাদ্য 3 : | একই ভূমি ও একই সমান্তরাল সরলরেখা যুগলের মধ্যে অবস্থিত ত্রিভুজগুলির ক্ষেত্রফল সমান। |
| উপপাদ্য 4 : | সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজগুলি একই ভূমির উপর ও ভূমির একই পার্শ্বে থাকলে, তারা একই সমান্তরাল রেখার মধ্যে অবস্থিত হয়। |
⭐ যে সকল সামান্তরিক একই ভূমি ও একই সমান্তরাল সরলরেখা যুগলের মধ্যে অবস্থিত, তাদের ক্ষেত্রফল সমান।
| প্রদত্ত : | ধরি, সামান্তরিক ABCD এবং সামান্তরিক EBCF একই ভূমি BC-এর উপর এবং একই সমান্তরাল সরলরেখা যুগল BC ও AF-এর মধ্যে অবস্থিত। |
| প্রামাণ্য : | সামান্তরিক ABCD-এর ক্ষেত্রফল = সামান্তরিক EBCF-এর ক্ষেত্রফল। |
| প্রমাণ : | সামান্তরিক ABCD-তে AB || DC এবং AF একটি ভেদক। |
| ⸫ | ∠BAE = ∠CDF [⸪ অনুরূপ কোণ] |
| আবার, | সামান্তরিক EBCF-তে EB || FC। |
| ⸫ | ∠ABE = ∠DCF [⸪ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে উৎপন্ন কোণ] |
| এবং, | AB = DC [⸪ সামান্তরিকের বিপরীত বাহু সমান] |
| ⸪ | △ABE এবং △DCF-এর মধ্যে, |
| ∠BAE = ∠CDF | |
| AB = DC | |
| ∠ABE = ∠DCF | |
| ⸫ | △ABE ≅ △DCF [⸪ A-S-A শর্তানুসারে] |
| ⸫ | △ABE-এর ক্ষেত্রফল = △DCF-এর ক্ষেত্রফল। |
| এখন, | সামান্তরিক ABCD-এর ক্ষেত্রফল = চতুর্ভুজ ABCF-এর ক্ষেত্রফল − △DCF-এর ক্ষেত্রফল। |
| এবং, | সামান্তরিক EBCF-এর ক্ষেত্রফল = চতুর্ভুজ ABCF-এর ক্ষেত্রফল − △ABE-এর ক্ষেত্রফল। |
| যেহেতু, | △ABE-এর ক্ষেত্রফল = △DCF-এর ক্ষেত্রফল। |
| ⸫ | সামান্তরিক ABCD-এর ক্ষেত্রফল = সামান্তরিক EBCF-এর ক্ষেত্রফল। [প্রমাণিত] |
⭐ কোনো ত্রিভুজ ও কোনো সামান্তরিক একই ভূমি ও একই সমান্তরাল সরলরেখা যুগলের মধ্যে অবস্থিত হলে, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক হবে।
| প্রদত্ত : | ধরি, △ABC এবং সামান্তরিক ABDE একই ভূমি AB-এর উপর এবং একই সমান্তরাল সরলরেখা যুগল AB ও DE-এর মধ্যে অবস্থিত। |
| প্রামাণ্য : | △ABC-এর ক্ষেত্রফল = × সামান্তরিক ABDE-এর ক্ষেত্রফল। |
| অঙ্কন : | A বিন্দু দিয়ে BC-এর সমান্তরাল সরলরেখা অঙ্কন করলাম, যা DE সরলরেখা বা তার বর্ধিতাংশকে F বিন্দুতে ছেদ করল। |
| প্রমাণ : | ABCF চতুর্ভুজে AB || FC [⸪ প্রদত্ত] |
| এবং, | AF || BC [⸪ অঙ্কনানুসারে] |
| ⸫ | ABCF একটি সামান্তরিক। [⸪ দুই জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল] |
| আবার, | সামান্তরিক ABCF এবং সামান্তরিক ABDE একই ভূমি AB ও একই সমান্তরাল সরলরেখা যুগলের মধ্যে অবস্থিত। |
| ⸫ | সামান্তরিক ABCF-এর ক্ষেত্রফল = সামান্তরিক ABDE-এর ক্ষেত্রফল। [⸪ পূর্বের উপপাদ্য অনুযায়ী] |
| এখন, | সামান্তরিক ABCF-এর কর্ণ AC সামান্তরিকটিকে দুইটি সর্বসম ত্রিভুজে ভাগ করে। |
| ⸫ | △ABC-এর ক্ষেত্রফল = × সামান্তরিক ABCF-এর ক্ষেত্রফল। |
| কিন্তু, | সামান্তরিক ABCF-এর ক্ষেত্রফল = সামান্তরিক ABDE-এর ক্ষেত্রফল। |
| ⸫ | △ABC-এর ক্ষেত্রফল = × সামান্তরিক ABDE-এর ক্ষেত্রফল। [প্রমাণিত] |
⭐ একই ভূমি ও একই সমান্তরাল সরলরেখা যুগলের মধ্যে অবস্থিত ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রগুলির ক্ষেত্রফল সমান।
| প্রদত্ত : | ধরি, △ABC এবং △ABD একই ভূমি AB-এর উপর এবং একই সমান্তরাল সরলরেখা যুগল AB ও CD-এর মধ্যে অবস্থিত। |
| প্রামাণ্য : | △ABC-এর ক্ষেত্রফল = △ABD-এর ক্ষেত্রফল। |
| অঙ্কন : | AB-কে ভূমি করে এবং AB ও CD সমান্তরাল সরলরেখা যুগলের মধ্যে ABPQ একটি সামান্তরিক অঙ্কন করলাম। |
| প্রমাণ : | △ABC এবং সামান্তরিক ABPQ একই ভূমি AB ও একই সমান্তরাল সরলরেখা যুগলের মধ্যে অবস্থিত। |
| ⸫ | △ABC-এর ক্ষেত্রফল = × সামান্তরিক ABPQ-এর ক্ষেত্রফল। |
| অনুরূপে, | △ABD-এর ক্ষেত্রফল = × সামান্তরিক ABPQ-এর ক্ষেত্রফল। |
| ⸫ | △ABC-এর ক্ষেত্রফল = △ABD-এর ক্ষেত্রফল। [প্রমাণিত] |
⭐ সমান সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রগুলি একই ভূমির উপর এবং ভূমির একই পার্শ্বে অবস্থিত হলে, তারা একই সমান্তরাল সরলরেখা যুগলের মধ্যে অবস্থিত হবে।
| প্রদত্ত : | ধরি, △ABC এবং △ADC একই ভূমি AC-এর উপর এবং AC-এর একই পার্শ্বে অবস্থিত। এদের ক্ষেত্রফল সমান। B ও D বিন্দু দুটি যোগ করা হলো। |
| প্রামাণ্য : | BD || AC। |
| অঙ্কন : | B ও D বিন্দু থেকে AC সরলরেখার উপর যথাক্রমে BP ও DQ লম্ব অঙ্কন করলাম। BP ও DQ, AC বা AC-এর বর্ধিতাংশকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করল। |
| প্রমাণ : | △ABC-এর ক্ষেত্রফল = × AC × BP। |
| এবং, | △ADC-এর ক্ষেত্রফল = × AC × DQ। |
| যেহেতু, | △ABC-এর ক্ষেত্রফল = △ADC-এর ক্ষেত্রফল [⸪ প্রদত্ত] |
| ⸫ | × AC × BP = × AC × DQ। |
| ⸫ | BP = DQ। |
| আবার, | BP || DQ [⸪ একই সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল] |
| ⸫ | BPQD একটি সামান্তরিক। [⸪ একজোড়া বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল] |
| ⸫ | BD || PQ [⸪ সামান্তরিকের বিপরীত বাহু সমান্তরাল] |
| কিন্তু, | P ও Q, AC সরলরেখার উপর অবস্থিত। তাই PQ একই সরলরেখা AC-এর অংশ। |
| ⸫ | BD || AC। [প্রমাণিত] |
📚 মনে রাখার মতো গুরুত্বপূর্ণ বিষয়
👉 একই সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যে থাকা চিত্রগুলির উচ্চতা সমান হয়।
👉 একই ভূমি ও একই উচ্চতা হলে সামান্তরিকগুলির ক্ষেত্রফল সমান হয়।
👉 একই ভূমি ও একই সমান্তরাল রেখার মধ্যে থাকা ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক।
👉 একই ভূমি ও একই সমান্তরাল রেখার মধ্যে থাকা দুইটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান।
👉 সামান্তরিকের কর্ণ সামান্তরিককে দুইটি সর্বসম ত্রিভুজে ভাগ করে। তাই প্রতিটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক।
👉 ক্ষেত্রফল সমান হলেই সবসময় চিত্রগুলি সর্বসম হবে না। ক্ষেত্রফল সমান মানে শুধু জায়গার পরিমাণ সমান।
👉 প্রমাণ লেখার সময় “△ABC = △ABD” না লিখে “△ABC-এর ক্ষেত্রফল = △ABD-এর ক্ষেত্রফল” লেখা বেশি পরিষ্কার।