ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য (Transversal and Midpoint Theorem)
⭐ কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।
| প্রদত্ত : | ধরি, △ ABC-এর AB বাহুর মধ্যবিন্দু D এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু E । অর্থাৎ, AD = BD এবং AE = CE; D ও E যুক্ত করা হলো। |
| প্রামাণ্য : | (1) DE || BC |
| এবং | (2) DE = BC |
| অঙ্কন : | ED কে F বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হলো, যেন ED = DF হয়। B ও F বিন্দুদ্বয় যোগ করা হলো। |
| প্রমাণ : | △ ADE এবং △ BDF-এর |
AD = BD [⸪ প্রদত্ত] | |
∠ADE = ∠BDF [⸪ বিপ্রতীপ কোণ] | |
DE = DF [⸪ অঙ্কনানুসারে] | |
| ⸫ | △ADE ≅ △BDF [⸪ S-A-S শর্তানুসারে] |
| ⸫ | AE = BF [⸪ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু] |
| কিন্তু, | AE = CE [⸪ প্রদত্ত] |
| ⸫ | BF = CE |
| এবং, | ∠DAE = ∠DBF [⸪ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ কিন্তু এরা আবার একান্তর কোণ] |
| ⸫ | BF || AE |
| অর্থাৎ, | BF || CE |
| ⸪ | BCEF চতুর্ভুজের |
| BF || CE | |
| এবং, | BF = CE |
| ⸫ | BCEF একটি সামান্তরিক [⸪ BCEF চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল] |
| ⸫ | FE || BC |
| অর্থাৎ, | DE || BC [(1) প্রমাণিত] |
| এবং, | BC = EF = DE + DF = DE + DE [⸪ DE = DF] |
| ⸫ | BC = 2DE |
| ⸫ | DE = BC [(2) প্রমাণিত] |
⭐ কোনো ত্রিভুজের যে কোনো একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দ্বিতীয় একটি বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে এবং ত্রিভুজের বাহুগুলির দ্বারা সমান্তরাল সরলরেখার খন্ডিতাংশ দ্বিতীয় বাহুর অর্ধেক হবে।
| প্রদত্ত : | ধরি, ∆ABC এর AB বাহুর মধ্যবিন্দু D দিয়ে BC এর সমান্তরাল DE টানা হল যা AC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করল। |
| প্রামাণ্য : | (1) AE = CE এবং, (2) DE = BC |
| অঙ্কন : | ED কে F বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হলো, যেন ED = DF হয়। B ও F বিন্দুদ্বয় যোগ করা হলো। |
| প্রমাণ : | △ ADE এবং △ BDF-এর |
AD = BD [⸪ প্রদত্ত] | |
∠ADE = ∠BDF [⸪ বিপ্রতীপ কোণ] | |
DE = DF [⸪ অঙ্কনানুসারে] | |
| ⸫ | △ADE ≅ △BDF [⸪ S-A-S শর্তানুসারে] |
| ⸫ | AE = BF [⸪ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু] |
| এবং, | ∠DAE = ∠DBF [⸪ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ, কিন্তু এরা আবার একান্তর কোণ] |
| ⸫ | AE || BF |
| অর্থাৎ, | CE || BF |
| অর্থাৎ, | DE || BC [⸪ প্রদত্ত] |
| ⸫ | FE || BC [⸪ অঙ্কনানুসারে F-এর DE-এর বর্ধিতাংশ ] |
| ⸪ | BCEF চতুর্ভুজের |
| CE || BF | |
| এবং, | FE || BC |
| ⸫ | BCEF একটি সামান্তরিক [⸪ BCEF চতুর্ভুজের দুই জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল] |
| ⸫ | BC = FE এবং, CE = BF |
| অর্থাৎ, | BF = AE |
| ⸫ | AE = CE [(1) প্রমাণিত] |
| আবার, | BC = EF = DE + DF = DE + DE [⸪ DE = DF] |
| ⸫ | BC = 2DE |
| ⸫ | DE = BC [(2) প্রমাণিত] |
⭐ যদি তিনটি বা তার বেশি সমান্তরাল সরলরেখা যেকোনো ভেদক থেকে সমান সমান অংশ খণ্ডিত করে তাহলে তারা অপর যেকোনো ভেদক থেকেও সমান সমান অংশ খণ্ডিত করবে।
| প্রদত্ত: | AB, CD এবং EF সমান্তরাল সরলরেখা তিনটি PQ ভেদক থেকে GH ও HI দুটি সমান অংশ খণ্ডিত করেছে অর্থাৎ GH = HI; ওই সমান্তরাল সরলরেখা তিনটি অপর একটি ভেদক XY থেকেও JK ও KL দুটি অংশ খণ্ডিত করেছে। |
| প্রামাণ্য: | JK = KL |
| অঙ্কন: | G ও L বিন্দু দুটি যোগ করলাম যা CD সরলরেখাকে T বিন্দুতে ছেদ করল। |
| প্রমাণ : | △GIL-এর, H, GI-এর মধ্যবিন্দু [⸪ GH = HI, প্রদত্ত] |
| এবং, | HT || IL [⸪ প্রদত্ত] |
| ⸫ | T, GL-এর মধ্যবিন্দু। |
| আবার, | ∆GLJ-এর T, GL-এর মধ্যবিন্দু এবং TK || GJ [প্রদত্ত] |
| ⸫ | K, JL-এর মধ্যবিন্দু। |
| ⸫ | JK = KL (প্রমাণিত) |
📚 মনে রাখার মতো গুরুত্বপূর্ণ বিষয়
👉 মধ্যবিন্দু মানে কোনো রেখাংশকে দুইটি সমান অংশে ভাগ করা বিন্দু।
👉 ত্রিভুজের দুটি বাহুর মধ্যবিন্দু যোগ করলে পাওয়া রেখাংশটি তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল হয়।
👉 সেই রেখাংশের দৈর্ঘ্য তৃতীয় বাহুর অর্ধেক হয়।
👉 একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অন্য বাহুর সমান্তরাল রেখা টানলে, তা তৃতীয় বাহুকেও সমদ্বিখণ্ডিত করে।
👉 সমান্তরাল সরলরেখাগুলি একটি ভেদকে সমান অংশে ভাগ করলে, অন্য ভেদকেও সমান অংশে ভাগ করে।