∵ sin 23° = p

⇒ sin (90 − 67°) = p

⇒ cos 67° = p [∵ sin (90 − θ) = cos θ]

আবার,

⇒

∵ cos²20° + cos²70°

= cos²20° + cos²(90 − 20°)

= cos²20° + sin²20° [∵ cos (90 − θ) = sin θ]

= 1 [∵ sin²θ + cos²θ = 1]

∵ tan 36° tan 54°

= tan 36° tan (90 − 36°)

= tan 36° cot 36° [∵ tan (90 − θ) = cot θ]

= 1 [∵ tan θ cot θ = 1]

বামপক্ষ,

∵

= sin A [∵ sin θ cosec θ = 1]

= sin (90° − B) [∵ ∠A + ∠B = 90°]

= cos B [∵ sin (90° − B) = cos B]

= ডানপক্ষ

বামপক্ষ,

∵ cot (90° − A) cot A cos (90° − A) tan (90° − A)

= tan A cot A sin A cot A [∵ cot (90° − A) = tan A and cos (90° − A) = sin A]

= 1 . sin A cot A [∵ tan θ cot θ = 1]

= [∵ ]

= 1

= ডানপক্ষ

বামপক্ষ,

∵ tan 1° tan 2° tan 3° ... tan 87° tan 88° tan 89°

এখানে মোট উৎপাদক সংখ্যা = 89 টি, এবং যার মধ্যেরটি হলো tan 45°

= tan 1° tan 2° tan 3° ... tan 45° ... tan 87° tan 88° tan 89°

= tan 1° tan 2° tan 3° ... tan 45° ... tan (90° − 3°) tan (90° − 2°) tan (90° − 1°)

= tan 1° tan 2° tan 3° ... tan 45° ... cot 3° cot 2° cot 1° [∵ tan (90° − θ) = cot θ ]

= tan 1° tan 2° tan 3° ... tan 45° ... cot 3° cot 2° cot 1° [∵ tan θ cot θ = 1 and tan 45° = 1]

= cos A

= ডানপক্ষ

∵ sin 4θ = cos 5θ

⇒ sin 4θ = sin (90° − 5θ) [∵ cos θ = sin (90° − θ) ]

⇒ 4θ = (90° − 5θ) [∵ 0° < θ < 90° ]

⇒ 4θ + 5θ = 90°

⇒ 9θ = 90°

⇒ θ = 10°

∵ cos 1° এবং cos 179° যার মধ্যে একটি উৎপাদক হলো cos 90°

∵ cos 90° = 0

∴ কোনো রাশির একটি উৎপাদক শূন্য হলে রাশিটির মান শূন্য হবে

বামপক্ষ,

∵ cos²73° − sin²17°

= cos²73° − sin²(90° − 73°)

= cos²73° − cos²73° [∵ sin (90° − θ) = cos θ ]

= 0

= ডানপক্ষ

∵ sec θ = cosec φ

= sec θ = sec (90° − φ) [∵ cosec (90° − θ) = sec θ ]

= θ = (90° − φ)

= θ + φ = 90°

∴ sin (θ + φ)

= sin 90°

= 1