ত্রিকোণমিতিক কোণানুপাতসমূহ - গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান
এখানে,
∵ sin2θ (1 + cot2θ) = 1
= sin2θ (cosec2θ) = 1 [ ∵ cosec2θ = 1 + cot2θ ]
= [∵ ]
= 1
∵ sec4θ − tan4θ
= (sec2θ + tan2θ) (sec2θ − tan2θ) [ ∵ a2 − b2 = (a − b)(a + b)]
= (sec2θ + tan2θ) [∵ sec2θ − tan2θ = 1]
= [∵ ]
∵ 1 + 4 cosec2θ cot2θ
= (cosec2θ − cot2θ)2 + 4 cosec2θ cot2θ [ ∵ cosec2θ − cot2θ = 1]
= cosec4θ + cot4θ − 2 cosec2θ cot2θ + 4 cosec2θ cot2θ
= cosec4θ + cot4θ + 2 cosec2θ cot2θ
= (cosec2θ + cot2θ)2
∵ sin α = x এবং tan α = y
⇒ -------(i) [ ∵ ]
এবং
⇒ -------(ii) [ ∵ ]
(i) ও (ii) নং সমীকরণ বর্গকরে যোগ করে পাই
∴
⇒ [ ∵ cosec2θ − cot2θ = 1]
⇒ (প্রমাণিত)
∵
⇒ [ ∵ উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই। ]
⇒
⇒ (x2 + y2) cos2θ = x2
⇒ x2 = (x2 + y2) cos2θ
⇒ x2 = x2 cos2θ + y2 cos2θ
⇒ x2 − x2 cos2θ = y2 cos2θ
⇒ x2(1 − cos2θ) = y2 cos2θ [∵ sin2θ + cos2θ = 1]
⇒ x2 sin2θ = y2 cos2θ
⇒ x sin θ = y cos θ (প্রমাণিত)
∵ x = 3 cos θ এবং y = 3 sin θ
ধরি,
x = 3 cos θ -------(i)এবং
y = 3 sin θ -------(ii)(i) ও (ii) নং সমীকরণ বর্গকরে যোগ করে পাই
∴ x2 + y2 = (3 sin θ)2 + (3 cos θ)2
⇒ x2 + y2 = 9 sin2θ + 9 cos2θ
⇒ x2 + y2 = 9 ( sin2θ + cos2θ )
⇒ x2 + y2 = 9 × 1 [∵ sin2θ + cos2θ = 1]
⇒ x2 + y2 = 9
∵ (sin A + cos A)2 + (sin A − cos A)2
⇒ 2(sin2A + cos2A) [∵ (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)]
⇒ 2 × 1 [∵ sin2θ + cos2θ = 1]
⇒ 2
🔹 08. cot θ = 2 হলে, দেখাও যে 1 + tan2 θ = sec2 θ
🔹 09. হলে, দেখাও যে
🔹 10. cos θ = 0.6 হলে, দেখাও যে 5 sin θ − 3 tan θ = 0
🔹 11. cot α = হলে, cosec α এর মান কত?
🔹 12. যদি x এবং y দুটি বাস্তব সংখ্যা হয় তবে সম্পর্কটি সত্য হতে পারে কি ?
🔹 13. sec θ < 1 কেন অসম্ভব তার কারণ দেখাও।
🔹 14. যদি sin θ + cosec θ = 2 হয়, প্রমান করো sin7θ + cosec7θ = 2
🔹 15. যদি sec θ − tan θ = p হয়, sec θ এর মান নির্ণয় করো।
