বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems on Tangents to a Circle)
বৃত্তের স্পর্শক (Tangent) এমন একটি সরলরেখা যা বৃত্তকে কেবল একটি বিন্দুতে স্পর্শ করে। স্পর্শকের সঙ্গে বৃত্তের ব্যাসার্ধ, কেন্দ্র এবং স্পর্শবিন্দুর কয়েকটি খুব গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক আছে। এই সম্পর্কগুলি ব্যবহার করে স্পর্শক অঙ্কন, কোণ নির্ণয়, সমান দৈর্ঘ্য প্রমাণ এবং দুটি স্পর্শকারী বৃত্তের কেন্দ্রের অবস্থান সহজে নির্ণয় করা যায়।
এই page-এ স্পর্শক সংক্রান্ত তিনটি প্রধান উপপাদ্য এবং তাদের গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ ধাপে ধাপে আলোচনা করা হলো।
📚 স্পর্শক ও স্পর্শবিন্দু কী?
ধরি, O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তকে AB সরলরেখা কেবল P বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
👉 AB হলো বৃত্তের স্পর্শক (Tangent)।
👉 P হলো স্পর্শবিন্দু (Point of Contact)।
👉 OP হলো স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
👉 কোনো বিন্দু বৃত্তের বাইরে থাকলে তাকে বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু (External Point) বলা হয়।
⭐ উপপাদ্য 40: বৃত্তের কোনো বিন্দুতে স্পর্শক ও ওই স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত
| প্রদত্ত : | O কেন্দ্রীয় বৃত্তের P বিন্দুতে AB স্পর্শক এবং OP, P স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। |
| প্রামাণ্য : | প্রমাণ করতে হবে OP ⟂ AB। |
| অঙ্কন : | AB স্পর্শকের উপর P ছাড়া অপর যেকোনো একটি বিন্দু Q নিলাম এবং OQ যোগ করলাম। OQ বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করল। |
| প্রমাণ : | Q স্পর্শবিন্দু P ছাড়া স্পর্শক AB-এর অন্য একটি বিন্দু। তাই Q বৃত্তের বাইরে অবস্থিত। ফলে OQ বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করে এবং R, O ও Q-এর মধ্যে অবস্থিত। |
| ∴ | OR < OQ। [⸪ R বিন্দু O ও Q-এর মধ্যবর্তী] |
| আবার, | OR = OP। [⸪ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] |
| ∴ | OP < OQ। |
| কিন্তু, | Q হলো AB স্পর্শকের উপর P ছাড়া যেকোনো একটি বিন্দু। তাই কেন্দ্র O থেকে AB সরলরেখা পর্যন্ত অঙ্কিত সব সরলরেখাংশের মধ্যে OP-এর দৈর্ঘ্য ক্ষুদ্রতম। |
| ∴ | ক্ষুদ্রতম দূরত্বটি লম্ব দূরত্ব হওয়ায় OP ⟂ AB। [প্রমাণিত] |
📚 উপপাদ্যটির সরাসরি অর্থ
স্পর্শবিন্দুতে ব্যাসার্ধ ও স্পর্শকের মধ্যে কোণ সবসময় সমকোণ। অর্থাৎ,
∠OPA = ∠OPB = 90°।
এটি স্পর্শক সংক্রান্ত অধিকাংশ জ্যামিতিক প্রমাণের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ভিত্তি।
⭐ বিপরীত বিবৃতি: ব্যাসার্ধের প্রান্তবিন্দু দিয়ে ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত লম্ব সরলরেখা ওই বৃত্তের স্পর্শক
| প্রদত্ত : | O কেন্দ্রীয় বৃত্তের OP একটি ব্যাসার্ধ এবং P বিন্দুতে OP-এর উপর AB সরলরেখা লম্ব। অর্থাৎ OP ⟂ AB। |
| প্রামাণ্য : | AB সরলরেখা P বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শক। |
| অঙ্কন : | P বিন্দুতে বৃত্তের একটি স্পর্শক CD কল্পনা বা অঙ্কন করলাম। |
| প্রমাণ : | যেহেতু CD হলো P বিন্দুতে স্পর্শক এবং OP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ, তাই OP ⟂ CD। |
| ∴ | ∠OPD = 90°। |
| আবার, | প্রদত্ত অনুযায়ী OP ⟂ AB, তাই ∠OPB = 90°। |
| ∴ | ∠OPD = ∠OPB। |
| অতএব, | P বিন্দুতে OP-এর উপর অঙ্কিত লম্ব CD ও AB একই সরলরেখা। [⸪ একটি সরলরেখার উপর একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে একটিমাত্র লম্ব আঁকা যায়] |
| ∴ | AB সরলরেখা P বিন্দুতে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের স্পর্শক। [প্রমাণিত] |
📚 প্রয়োগ ১: বৃত্তের উপর অবস্থিত কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে একটি মাত্র স্পর্শক আঁকা যায়
ধরি, P বৃত্তের উপর একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং OP ওই বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য অনুযায়ী, P বিন্দুর স্পর্শকটি অবশ্যই OP-এর উপর লম্ব হবে। কিন্তু P বিন্দু দিয়ে OP-এর উপর একটি মাত্র লম্ব সরলরেখা আঁকা যায়।
অতএব, P বিন্দুতে বৃত্তের একটি মাত্র স্পর্শক আঁকা সম্ভব।
📚 প্রয়োগ ২: স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্ব বৃত্তের কেন্দ্রগামী
ধরি, AB একটি বৃত্তের P বিন্দুতে স্পর্শক। P বিন্দুতে AB-এর উপর PC লম্ব আঁকা হলো।
স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য অনুযায়ী স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ OP-ও AB-এর উপর লম্ব। অর্থাৎ,
OP ⟂ AB এবং PC ⟂ AB।
কিন্তু P বিন্দু দিয়ে AB-এর উপর একটিমাত্র লম্ব আঁকা যায়। তাই PC এবং PO একই সরলরেখা।
অতএব, স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্ব বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।
📚 প্রয়োগ ৩: স্পর্শক ও কেন্দ্রগামী রেখার সাহায্যে কোণ নির্ণয়
ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের A বিন্দুতে AT একটি স্পর্শক। B, O, T একই সরলরেখায় অবস্থিত এবং OA, OB একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ। দেওয়া আছে,
∠ATO = x° এবং ∠OAB = ∠OBA = y°।
প্রমাণ করতে হবে x = 90 - 2y।
| যেহেতু, | AT হলো A বিন্দুতে স্পর্শক এবং OA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ, |
| ∴ | ∠OAT = 90°। |
| আবার, | ∠ATO = x°। |
| ∴ | △AOT-এ, ∠AOT = 90° - x°। ...(i) |
| আবার, | OA = OB। [⸪ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] |
| ∴ | ∠OAB = ∠OBA = y°। |
| এখন, | △AOB-এর বহিঃস্থ কোণ ∠AOT = ∠OAB + ∠OBA = 2y°। ...(ii) |
| ∴ | (i) ও (ii) থেকে 2y° = 90° - x°। |
| অর্থাৎ, | x° = 90° - 2y°। |
| ∴ | x = 90 - 2y। |
💡 উদাহরণ
যদি y = 25° হয়, তবে
x = 90° - 2 × 25° = 40°।
📚 প্রয়োগ ৪: বৃত্তের বহিঃস্থ একটি বিন্দু থেকে একই বৃত্তে দুটি স্পর্শক আঁকা যায়
ধরি, O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু T। প্রমাণ করতে হবে যে T থেকে বৃত্তে দুটি স্পর্শক আঁকা যায়।
| অঙ্কন : | T ও O যোগ করলাম। TO-কে ব্যাস করে একটি বৃত্ত আঁকলাম। এই বৃত্তটি O কেন্দ্রীয় প্রদত্ত বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করল। TA, TB, OA ও OB যোগ করলাম। |
| প্রমাণ : | TO ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে ∠OAT এবং ∠OBT প্রত্যেকটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। |
| ∴ | ∠OAT = ∠OBT = 90°। |
| অর্থাৎ, | OA ⟂ AT এবং OB ⟂ BT। |
| আবার, | OA ও OB যথাক্রমে A ও B বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। |
| ∴ | বিপরীত উপপাদ্য অনুযায়ী TA ও TB যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে প্রদত্ত বৃত্তের স্পর্শক। |
| অতএব, | বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু T থেকে একই বৃত্তে দুটি স্পর্শক আঁকা যায়। [প্রমাণিত] |
⭐ উপপাদ্য 41: বৃত্তের বহিঃস্থ একটি বিন্দু থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সমান এবং কেন্দ্রের সঙ্গে সমান কোণ উৎপন্ন করে
| প্রদত্ত : | O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P থেকে PA ও PB দুটি স্পর্শক আঁকা হয়েছে। তাদের স্পর্শবিন্দু যথাক্রমে A ও B। OA, OB এবং OP যোগ করা হয়েছে। |
| প্রামাণ্য : | (i) PA = PB এবং (ii) ∠POA = ∠POB। |
| প্রমাণ : | PA ও PB স্পর্শক এবং OA, OB স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। |
| ∴ | OA ⟂ PA এবং OB ⟂ PB। |
| ∴ | ∠OAP = ∠OBP = 90°। |
| এখন, | সমকোণী ত্রিভুজ △PAO ও △PBO-এর মধ্যে, OP সাধারণ অতিভুজ এবং OA = OB। [⸪ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] |
| ∴ | △PAO ≅ △PBO। [RHS সর্বসমতার শর্তানুসারে] |
| ∴ | PA = PB। [⸪ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু] [(i) প্রমাণিত] |
| এবং, | ∠POA = ∠POB। [⸪ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ] [(ii) প্রমাণিত] |
📚 আরও একটি গুরুত্বপূর্ণ ফল
একই সর্বসমতা থেকে আরও পাই,
∠APO = ∠OPB।
অর্থাৎ, OP শুধু কেন্দ্রের কোণ ∠AOB-কেই সমদ্বিখণ্ডিত করে না, স্পর্শক দুটির মধ্যবর্তী কোণ ∠APB-কেও সমদ্বিখণ্ডিত করে।
💡 সহজ উদাহরণ
একটি বহিঃস্থ বিন্দু P থেকে বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক আঁকা হলো। যদি PA = 7 সেমি হয়, তবে উপপাদ্য অনুযায়ী,
PB = 7 সেমি।
আবার, যদি ∠POA = 35° হয়, তবে
∠POB = 35°।
⭐ উপপাদ্য 42: দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করলে স্পর্শবিন্দু কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখার উপর অবস্থিত
এই উপপাদ্য বহিঃস্পর্শ এবং অন্তঃস্পর্শ, উভয় ক্ষেত্রেই সত্য।
| প্রদত্ত : | A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। |
| প্রামাণ্য : | A, P ও B সমরেখ। |
| অঙ্কন : | A, P এবং B, P যোগ করলাম। P বিন্দুতে বৃত্ত দুটির সাধারণ স্পর্শক ST আঁকলাম। |
| প্রমাণ : | A কেন্দ্রীয় বৃত্তের ক্ষেত্রে ST হলো P বিন্দুতে স্পর্শক এবং AP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। |
| ∴ | AP ⟂ ST। |
| আবার, | B কেন্দ্রীয় বৃত্তের ক্ষেত্রেও ST হলো P বিন্দুতে স্পর্শক এবং BP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। |
| ∴ | BP ⟂ ST। |
| অতএব, | AP ও BP একই P বিন্দুতে ST সরলরেখার উপর লম্ব। কিন্তু একটি সরলরেখার উপর একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে একটিমাত্র লম্ব আঁকা যায়। |
| ∴ | AP ও BP একই সরলরেখায় অবস্থিত। অর্থাৎ A, P ও B সমরেখ। [প্রমাণিত] |
📚 বহিঃস্পর্শ ও অন্তঃস্পর্শে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব
ধরি, বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r₁ ও r₂।
👉 বহিঃস্পর্শের ক্ষেত্রে, স্পর্শবিন্দু P কেন্দ্রদ্বয়ের মাঝখানে থাকে। তাই,
AB = AP + PB = r₁ + r₂।
👉 অন্তঃস্পর্শের ক্ষেত্রে, কেন্দ্রদ্বয় স্পর্শবিন্দুর একই পাশে থাকে। বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ R এবং ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে,
AB = R - r।
⚠️ সাধারণ ভুল
👉 ভুল: স্পর্শক ও যেকোনো ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্ব।
সঠিক: স্পর্শকের সঙ্গে স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ লম্ব।
👉 ভুল: বৃত্তের ভিতরের কোনো বিন্দু থেকে স্পর্শক আঁকা যায়।
সঠিক: বৃত্তের ভিতরের বিন্দু থেকে বাস্তব স্পর্শক আঁকা যায় না। বৃত্তের উপর একটি বিন্দু থেকে একটি এবং বৃত্তের বাইরে একটি বিন্দু থেকে দুটি স্পর্শক আঁকা যায়।
👉 ভুল: একই বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত দুই স্পর্শকের দৈর্ঘ্য আলাদা হতে পারে।
সঠিক: একই বহিঃস্থ বিন্দু থেকে একই বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুটির দৈর্ঘ্য সমান।
👉 ভুল: উপপাদ্য 41-এ OA = OB থেকে সরাসরি PA = PB বলা।
সঠিক: প্রথমে সমকোণী ত্রিভুজ দুটিকে RHS শর্তে সর্বসম প্রমাণ করতে হবে।
👉 ভুল: দুটি বৃত্ত স্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয় ও স্পর্শবিন্দু সবসময় পাশাপাশি ক্রমে থাকে।
সঠিক: বহিঃস্পর্শে স্পর্শবিন্দু কেন্দ্রদ্বয়ের মাঝখানে থাকে, কিন্তু অন্তঃস্পর্শে কেন্দ্রদ্বয় স্পর্শবিন্দুর একই পাশে থাকতে পারে। তবে তিনটি বিন্দুই সবসময় সমরেখ।
📚 মনে রাখার মতো গুরুত্বপূর্ণ বিষয়
👉 স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব।
👉 ব্যাসার্ধের প্রান্তবিন্দুতে ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত লম্ব সরলরেখা বৃত্তের স্পর্শক।
👉 বৃত্তের উপর একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে একটিমাত্র স্পর্শক আঁকা যায়।
👉 বৃত্তের বহিঃস্থ একটি বিন্দু থেকে একই বৃত্তে দুটি স্পর্শক আঁকা যায়।
👉 একই বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সমান। অর্থাৎ PA = PB।
👉 বহিঃস্থ বিন্দু ও কেন্দ্রের সংযোজক রেখা স্পর্শবিন্দু দুটির কেন্দ্রীয় কোণ এবং স্পর্শক দুটির মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
👉 দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করলে বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্র ও স্পর্শবিন্দু একই সরলরেখায় অবস্থিত।
👉 দুটি বৃত্ত বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব = ব্যাসার্ধদ্বয়ের যোগফল।
👉 দুটি বৃত্ত অন্তঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব = ব্যাসার্ধদ্বয়ের পার্থক্য।