সদৃশতা ও সদৃশ ত্রিভুজের উপপাদ্য (Similarity Theorems)
একই আকৃতির কিন্তু ভিন্ন আকারের চিত্র আমাদের চারপাশে অনেক দেখা যায়। যেমন কোনো ছবি না কেটে তার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ একই অনুপাতে ছোট বা বড় করলে পাওয়া ছবিগুলি। এগুলির আকার (Size) আলাদা হলেও আকৃতি (Shape) একই থাকে। এই ধরনের চিত্রকে সদৃশ (Similar) বলা হয়।
সদৃশতা অধ্যায়ের মূল উদ্দেশ্য হলো দুটি চিত্র, বিশেষ করে দুটি ত্রিভুজ, কখন সদৃশ হবে এবং সদৃশতা থেকে কী কী অনুপাত ও জ্যামিতিক সম্পর্ক পাওয়া যায় তা বোঝা।
📚 সদৃশ চিত্রের প্রাথমিক ধারণা
👉 দুটি সর্বসম চিত্র সর্বদা সদৃশ।
👉 কিন্তু দুটি সদৃশ চিত্র সর্বসম নাও হতে পারে।
👉 সকল বর্গক্ষেত্র পরস্পর সদৃশ।
👉 সকল বৃত্ত পরস্পর সদৃশ।
👉 সকল সমবাহু ত্রিভুজ পরস্পর সদৃশ।
👉 একটি বর্গক্ষেত্র ও একটি রম্বস সর্বদা সদৃশ নয়, কারণ তাদের অনুরূপ কোণ সবসময় সমান নাও হতে পারে।
📚 সদৃশতার চিহ্ন
দুটি ত্রিভুজ সদৃশ হলে সর্বসমতার ≅ চিহ্নের পরিবর্তে ~ চিহ্ন ব্যবহার করা হয়। যেমন,
△ABC ~ △DEF।
এখানে অক্ষরের ক্রম খুব গুরুত্বপূর্ণ। A ↔ D, B ↔ E এবং C ↔ F অনুরূপ শীর্ষবিন্দু বোঝায়।
📚 সদৃশ বহুভুজের শর্ত
একই সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট দুটি বহুভুজ সদৃশ হবে যদি,
🔹 তাদের অনুরূপ কোণগুলি সমান হয় এবং
🔹 তাদের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
ধরি, ABCD এবং A'B'C'D' দুটি সদৃশ চতুর্ভুজ। তবে,
∠A = ∠A', ∠B = ∠B', ∠C = ∠C', ∠D = ∠D'এবং
📚 সদৃশ ত্রিভুজ
সদৃশ ত্রিভুজ
দুটি ত্রিভুজ সদৃশ হলে,
👉 তাদের অনুরূপ কোণগুলি সমান হয়।
👉 তাদের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
ধরি, △ABC ~ △DEF। তাহলে,
∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠Fএবং
📚 একটি রেখাংশকে নির্দিষ্ট অনুপাতে বিভক্ত করা
ধরি, P বিন্দু AB রেখাংশের A ও B-এর মধ্যে অবস্থিত। তখন P বিন্দু AB-কে AP : PB অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
👉 P যদি AB-এর মধ্যবিন্দু হয়, তবে ।
👉 P যদি B-এর তুলনায় A-এর কাছে থাকে, তবে ।
👉 P যদি A-এর তুলনায় B-এর কাছে থাকে, তবে ।
P বিন্দু AB-এর বর্ধিতাংশে থাকলে সেটি রেখাংশটিকে বহির্বিভক্ত করে। নিচের BPT ও তার বিপরীত উপপাদ্যের প্রমাণে বিভাজনবিন্দুগুলি দুই বাহুর ভিতরে নেওয়া হয়েছে।
⭐ থ্যালেসের উপপাদ্য বা Basic Proportionality Theorem
এখানে দিয়ে △XYZ-এর ক্ষেত্রফল বোঝানো হয়েছে।
থ্যালেসের উপপাদ্য
| প্রদত্ত : | △ABC-এ DE ∥ BC। DE সরলরেখা AB ও AC বাহুর অন্তর্বর্তী D ও E বিন্দুতে যথাক্রমে ছেদ করেছে। |
| প্রামাণ্য : | |
| অঙ্কন : | B, E এবং C, D যোগ করলাম। DM ⟂ AC এবং EN ⟂ AB অঙ্কন করলাম। |
| প্রমাণ : | △ADE ও △BDE-এর ভূমি যথাক্রমে AD ও DB ধরলে উভয়ের সংশ্লিষ্ট উচ্চতা EN, কারণ ভূমি দুটি একই সরলরেখা AB-এর উপর অবস্থিত। |
| ∴ | ক্ষেত্রফল |
| এবং, | ক্ষেত্রফল |
| ∴ | ...(i) |
| আবার, | △ADE এবং △DEC-এর ভূমি যথাক্রমে AE ও EC এবং উভয়ের উচ্চতা DM। |
| ∴ | ...(ii) |
| কিন্তু, | △BDE এবং △DEC একই ভূমি DE-এর উপর এবং একই সমান্তরাল সরলরেখা DE ও BC-এর মধ্যে অবস্থিত। তাই তাদের ক্ষেত্রফল সমান। |
| ∴ | [∵ (i) ও (ii) থেকে পাই, প্রমাণিত] |
📚 থ্যালেসের উপপাদ্যের দুটি গুরুত্বপূর্ণ ফল
যদি D ও E যথাক্রমে AB ও AC-এর অন্তর্বর্তী বিন্দু এবং DE ∥ BC,
তবে । উভয় অনুপাতের সঙ্গে 1 যোগ করলে পাই,
।
আবার মূল অনুপাতের উভয় পক্ষের বিপরীত নিয়ে 1 যোগ করে, তারপর পুনরায় বিপরীত নিলে পাই,
।
এই তিনটি অনুপাত একই ধারণার ভিন্ন রূপ। সমস্যার প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী সুবিধাজনক রূপটি ব্যবহার করা যায়।
⭐ থ্যালেসের উপপাদ্যের বিপরীত
থ্যালেসের উপপাদ্যের বিপরীত
| প্রদত্ত : | △ABC-এর AB ও AC বাহুর অন্তর্বর্তী বিন্দু যথাক্রমে D ও E। দেওয়া আছে, |
| প্রামাণ্য : | DE ∥ BC। |
| অঙ্কন : | B, E এবং C, D যোগ করলাম। DM ⟂ AC এবং EN ⟂ AB অঙ্কন করলাম। |
| প্রমাণ : | |
| এবং, | [∵ আগের উপপাদ্যের ক্ষেত্রফল-সম্পর্ক থেকে পাই] |
| যেহেতু, | [প্রদত্ত] |
| ∴ | ক্ষেত্রফল △BDE = ক্ষেত্রফল △DEC। |
| আবার, | △BDE ও △DEC একই ভূমি DE-এর উপর এবং DE-এর একই পাশে অবস্থিত। ক্ষেত্রফল সমান হওয়ায় তাদের তৃতীয় শীর্ষ B ও C একই সমান্তরাল সরলরেখার উপর অবস্থিত। |
| ∴ | DE ∥ BC। [প্রমাণিত] |
📚 BPT ও তার বিপরীত মনে রাখার সহজ নিয়ম
এখানে D ও E যথাক্রমে AB ও AC-এর অন্তর্বর্তী বিন্দু।
👉 সমান্তরাল দেওয়া থাকলে অনুপাত পাওয়া যায়।
∵ DE ∥ BC
⇒
👉 অনুপাত দেওয়া থাকলে সমান্তরালতা পাওয়া যায়।
∵
⇒ DE ∥ BC
⭐ দুটি ত্রিভুজ সদৃশকোণী হলে তাদের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক
অনুরূপ শীর্ষবিন্দু: A ও D, B ও E, C ও F
| প্রদত্ত: | ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F। |
| প্রামাণ্য: | । |
| বিশেষ ক্ষেত্র: | প্রথমে AB = DE হলে প্রদত্ত কোণগুলির সমতা থেকে ASA সর্বসমতায় △ABC ≅ △DEF। তাই অনুরূপ বাহুগুলির প্রতিটি অনুপাত 1। এখন AB ≠ DE ধরি। প্রয়োজনে ত্রিভুজ দুটির নাম অদলবদল করে AB < DE নেওয়া যায়। |
| অঙ্কন: | DE বাহুর ভিতরে DP = AB করে P নিই। P দিয়ে EF-এর সমান্তরাল রেখা এঁকে DF-কে Q-তে ছেদ করাই। তখন Q-ও DF-এর ভিতরে থাকে। |
| প্রমাণ: | ∠DPQ = ∠DEF = ∠ABC [অনুরূপ কোণ ও প্রদত্ত শর্ত]। আবার ∠PDQ = ∠BAC এবং DP = AB। |
| অতএব: | △DPQ ≅ △ABC [ASA সর্বসমতা]। তাই DQ = AC এবং PQ = BC । |
| এখন: | PQ ∥ EF হওয়ায় BPT-এর ফল থেকে । সুতরাং । ...(i) |
| একই যুক্তিতে: | এবার অনুরূপ শীর্ষ B ও E-কে ভিত্তি করে একই অঙ্কন ও যুক্তি প্রয়োগ করি। অর্থাৎ আগের যুক্তিতে (A, B, C)-এর জায়গায় (B, C, A) এবং (D, E, F)-এর জায়গায় (E, F, D) বসালে পাওয়া যায়। ...(ii) |
| সিদ্ধান্ত: | (i) ও (ii) থেকে । [প্রমাণিত] |
📚 ফল: AAA বা AA সদৃশতার শর্ত
যদি দুটি ত্রিভুজের অনুরূপ কোণগুলি সমান হয়, তবে তারা সদৃশ। বাস্তবে দুটি করে অনুরূপ কোণ সমান হলেই তৃতীয় কোণও সমান হয়ে যায়। তাই এটিকে AA সদৃশতার শর্ত (AA Similarity Criterion) হিসেবেও ব্যবহার করা হয়।
∠A = ∠D, ∠B = ∠E ⇒ △ABC ~ △DEF।
⭐ দুটি ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হলে তাদের অনুরূপ কোণগুলি সমান
অনুরূপ শীর্ষবিন্দু: A ও D, B ও E, C ও F
| প্রদত্ত: | । |
| প্রামাণ্য: | △ABC ~ △DEF। |
| বিশেষ ক্ষেত্র: | AB = DE হলে প্রদত্ত অনুপাত থেকে BC = EF ও AC = DF। তাই SSS সর্বসমতায় ত্রিভুজ দুটি সর্বসম এবং সদৃশ। অন্যথায় প্রয়োজনে নাম অদলবদল করে AB < DE ধরি। |
| অঙ্কন: | DE বাহুর ভিতরে DP = AB করে P নিই। P দিয়ে EF-এর সমান্তরাল রেখা এঁকে DF-কে Q-তে ছেদ করাই। তখন Q-ও DF-এর ভিতরে থাকে। |
| প্রমাণ: | PQ ∥ EF হওয়ায় অনুরূপ কোণগুলি সমান। তাই আগে প্রমাণিত AA শর্তে △DPQ ~ △DEF। ফলে । |
| প্রদত্ত অনুপাত থেকে: | DP = AB বসিয়ে তুলনা করলে PQ = BC এবং DQ = AC পাই। |
| অতএব: | DP = AB, PQ = BC, DQ = AC হওয়ায় △DPQ ≅ △ABC [SSS সর্বসমতা]। |
| সিদ্ধান্ত: | ∠A = ∠D, ∠B = ∠DPQ = ∠E, ∠C = ∠DQP = ∠F। তাই △ABC ~ △DEF। [প্রমাণিত] |
📚 ফল: SSS সদৃশতার শর্ত
যদি দুটি ত্রিভুজের তিন জোড়া অনুরূপ বাহু সমানুপাতিক হয়, তবে ত্রিভুজ দুটি সদৃশ।
⇒ △ABC ~ △DEF।
⭐ একটি কোণ সমান এবং কোণটির ধারক বাহুগুলি সমানুপাতিক হলে ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ
অনুরূপ শীর্ষবিন্দু: A ও D, B ও E, C ও F
| প্রদত্ত: | ∠A = ∠D এবং । |
| প্রামাণ্য: | △ABC ~ △DEF। |
| বিশেষ ক্ষেত্র: | AB = DE হলে প্রদত্ত অনুপাত থেকে AC = DF। সমান অন্তর্ভুক্ত কোণসহ SAS সর্বসমতায় △ABC ≅ △DEF; তাই তারা সদৃশ। অন্যথায় প্রয়োজনে নাম অদলবদল করে AB < DE ধরি। |
| অঙ্কন: | DE বাহুর ভিতরে DP = AB করে P নিই। P দিয়ে EF-এর সমান্তরাল রেখা এঁকে DF-কে Q-তে ছেদ করাই। তখন Q-ও DF-এর ভিতরে থাকে। |
| প্রমাণ: | PQ ∥ EF হওয়ায় BPT-এর ফল থেকে । |
| তুলনা করে: | DP = AB এবং প্রদত্ত থেকে DQ = AC। |
| অতএব: | DP = AB, DQ = AC এবং অন্তর্ভুক্ত ∠PDQ = ∠BAC হওয়ায় △DPQ ≅ △ABC [SAS সর্বসমতা]। |
| আবার: | PQ ∥ EF থেকে ∠DPQ = ∠E ও ∠DQP = ∠F। সর্বসমতা থেকে ∠B = ∠DPQ ও ∠C = ∠DQP। |
| সিদ্ধান্ত: | ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F। তাই AA শর্তে △ABC ~ △DEF। [প্রমাণিত] |
📚 ফল: SAS সদৃশতার শর্ত
যদি দুটি ত্রিভুজের একটি করে কোণ সমান হয় এবং সেই সমান কোণের ধারক দুই জোড়া বাহু সমানুপাতিক হয়, তবে ত্রিভুজ দুটি সদৃশ।
∠A = ∠D এবং ⇒ △ABC ~ △DEF ।
📚 দুটি ত্রিভুজ কখন সদৃশ হবে?
উপরের উপপাদ্যগুলি থেকে তিনটি প্রধান শর্ত পাওয়া যায়:
👉 AA/AAA: দুই জোড়া অনুরূপ কোণ সমান হলেই যথেষ্ট; তৃতীয় জোড়াও সমান হয়।
👉 SSS: অনুরূপ তিন জোড়া বাহু সমানুপাতিক।
👉 SAS: একটি অনুরূপ কোণ সমান এবং সেই কোণের ধারক বাহুদ্বয় সমানুপাতিক।
এই তিনটির যেকোনো একটি যথাযথভাবে সত্য হলে দুটি ত্রিভুজ সদৃশ।
⭐ সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণিক শীর্ষ থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে উৎপন্ন ত্রিভুজগুলি পরস্পর সদৃশ
যে-কোনো সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে, লম্বের দুই পাশে উৎপন্ন ত্রিভুজদ্বয় মূল ত্রিভুজের সদৃশ এবং ছোট ত্রিভুজ দুটি পরস্পরও সদৃশ।
| প্রদত্ত : | △ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে ∠A = 90°। A থেকে অতিভুজ BC-এর উপর AD ⟂ BC অঙ্কিত। |
| প্রামাণ্য : | (i) △DBA ~ △ABC, (ii) △DAC ~ △ABC এবং (iii) △DBA ~ △DAC। |
| প্রমাণ : | △DBA ও △ABC-এর |
| ∠BDA = ∠BAC = 90° | |
| এবং, | ∠ABD = ∠CBA |
| ∴ | ∠BAD = ∠BCA [∵ ত্রিভুজের অবশিষ্ট কোণ] |
| ∴ | △DBA ~ △ABC [∴ ত্রিভুজ দুটি সদৃশ - (i) প্রমাণিত] |
| আবার, | △DAC ও △ABC-এর |
| ∠ADC = ∠BAC = 90° | |
| এবং, | ∠ACD = ∠BCA। |
| ∴ | ∠CAD = ∠CBA [∵ ত্রিভুজের অবশিষ্ট কোণ] |
| ∴ | △DAC ~ △ABC [∴ ত্রিভুজ দুটি সদৃশ - (ii) প্রমাণিত] |
| এখন, | △DBA ~ △ABC |
| এবং, | △DAC ~ △ABC |
| ∴ | △DBA ~ △DAC [∴ ত্রিভুজ দুটি সদৃশ - (iii) প্রমাণিত] |
📚 উপপাদ্যটি থেকে গুরুত্বপূর্ণ তিনটি সম্পর্ক
উপরের সদৃশ ত্রিভুজগুলির অনুরূপ বাহুর অনুপাত থেকে পাই,
।
আড়াআড়ি গুণ করলে,
⭐ AB² = BC × BD
⭐ AD² = BD × CD
⭐ AC² = BC × CD
দ্বিতীয় সম্পর্কটি বিশেষভাবে বলে যে অতিভুজের উপর অঙ্কিত লম্ব AD হলো অতিভুজের দুই অংশ BD ও CD-এর মধ্যসমানুপাতী।
⚠️ সাধারণ ভুল
❌ সদৃশ হলেই দুটি চিত্র সর্বসম।
✔✔ সর্বসম চিত্র অবশ্যই সদৃশ, কিন্তু সদৃশ চিত্রের আকার আলাদা হতে পারে।
❌ সদৃশ বহুভুজে শুধু অনুরূপ কোণ সমান হলেই যথেষ্ট।
✔✔ একই সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের ক্ষেত্রে অনুরূপ কোণ সমান হওয়ার পাশাপাশি অনুরূপ বাহুগুলিও সমানুপাতিক হতে হবে।
❌ BPT-এর সমতুল্য অনুপাতকে ভুল মনে করা।
✔✔ থেকে AD × EC = AE × DB। তাই -ও সঠিক। এখানে সব রেখাংশের দৈর্ঘ্য ধনাত্মক।
❌ সদৃশ ত্রিভুজের নাম লেখার সময় শীর্ষবিন্দুর ক্রম উপেক্ষা করা।
✔✔ অনুরূপ শীর্ষবিন্দু একই ক্রমে লিখতে হবে। যেমন △ABC ~ △DEF হলে A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F।
❌ SAS সদৃশতায় যেকোনো দুটি বাহুর অনুপাত নিলেই হবে।
✔✔ যে কোণদুটি সমান, সেই কোণগুলির ধারক বাহুদ্বয় সমানুপাতিক হতে হবে।
❌ BPT এবং তার বিপরীত উপপাদ্য একইভাবে ব্যবহার করা।
✔✔ সমান্তরালতা দেওয়া থাকলে BPT দিয়ে অনুপাত পাওয়া যায়; অনুপাত দেওয়া থাকলে BPT-এর বিপরীত উপপাদ্য দিয়ে সমান্তরালতা পাওয়া যায়।
🧠 মনে রাখার মতো গুরুত্বপূর্ণ বিষয়
নিচের BPT-সংক্রান্ত সূত্রগুলিতে D ও E যথাক্রমে AB ও AC-এর অন্তর্বর্তী বিন্দু।
👉 সদৃশ চিত্রের আকৃতি একই, আকার একই বা ভিন্ন হতে পারে।
👉 সর্বসম চিত্র সর্বদা সদৃশ, কিন্তু সদৃশ চিত্র সর্বদা সর্বসম নয়।
👉 সদৃশ বহুভুজের অনুরূপ কোণগুলি সমান এবং অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক।
👉 DE ∥ BC ⇒ । এটি থ্যালেস বা Basic Proportionality Theorem।
👉 ⇒ DE ∥ BC। এটি BPT-এর বিপরীত উপপাদ্য।
👉 AA/AAA শর্তে অনুরূপ কোণ সমান হলে দুটি ত্রিভুজ সদৃশ।
👉 SSS শর্তে তিন জোড়া অনুরূপ বাহু সমানুপাতিক হলে দুটি ত্রিভুজ সদৃশ।
👉 SAS শর্তে একটি কোণ সমান এবং সেই কোণের ধারক বাহুগুলি সমানুপাতিক হলে দুটি ত্রিভুজ সদৃশ।
👉 সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণিক শীর্ষ থেকে অতিভুজে লম্ব আঁকলে তিনটি ত্রিভুজই পরস্পর সদৃশ হয়।
👉 সমকোণী ত্রিভুজে AB² = BC × BD, AD² = BD × CD এবং AC² = BC × CD।
