সদৃশতা ও সদৃশ ত্রিভুজের উপপাদ্য (Similarity Theorems)

একই আকৃতির কিন্তু ভিন্ন আকারের চিত্র আমাদের চারপাশে অনেক দেখা যায়। যেমন একই ছবির স্ট্যাম্প, পাসপোর্ট ও পোস্টকার্ড সাইজের সংস্করণ। এগুলির আকার (Size) আলাদা হলেও আকৃতি (Shape) একই থাকে। এই ধরনের চিত্রকে সদৃশ (Similar) বলা হয়।

সদৃশতা অধ্যায়ের মূল উদ্দেশ্য হলো দুটি চিত্র, বিশেষ করে দুটি ত্রিভুজ, কখন সদৃশ হবে এবং সদৃশতা থেকে কী কী অনুপাত ও জ্যামিতিক সম্পর্ক পাওয়া যায় তা বোঝা।

📚 সদৃশ চিত্রের প্রাথমিক ধারণা

👉 দুটি সর্বসম চিত্র সর্বদা সদৃশ।

👉 কিন্তু দুটি সদৃশ চিত্র সর্বসম নাও হতে পারে।

👉 সকল বর্গক্ষেত্র পরস্পর সদৃশ।

👉 সকল বৃত্ত পরস্পর সদৃশ।

👉 সকল সমবাহু ত্রিভুজ পরস্পর সদৃশ।

👉 একটি বর্গক্ষেত্র ও একটি রম্বস সর্বদা সদৃশ নয়, কারণ তাদের অনুরূপ কোণ সবসময় সমান নাও হতে পারে।

📚 সদৃশ বহুভুজের শর্ত

একই সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট দুটি বহুভুজ সদৃশ হবে যদি,

তাদের অনুরূপ কোণগুলি সমান হয় এবং
তাদের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।

ধরি, ABCD এবং A'B'C'D' দুটি সদৃশ চতুর্ভুজ। তবে,

∠A = ∠A', ∠B = ∠B', ∠C = ∠C', ∠D = ∠D'

এবং

AB/A'B' = BC/B'C' = CD/C'D' = DA/D'A'।

📚 সদৃশ ত্রিভুজ

দুটি ত্রিভুজ সদৃশ হলে,

👉 তাদের অনুরূপ কোণগুলি সমান হয়।

👉 তাদের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।

ধরি, △ABC ~ △DEF। তাহলে,

∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F

এবং

AB/DE = BC/EF = AC/DF।

📚 সদৃশতার চিহ্ন

দুটি ত্রিভুজ সদৃশ হলে সর্বসমতার ≅ চিহ্নের পরিবর্তে ~ চিহ্ন ব্যবহার করা হয়। যেমন,

△ABC ~ △DEF।

এখানে অক্ষরের ক্রম খুব গুরুত্বপূর্ণ। A ↔ D, B ↔ E এবং C ↔ F অনুরূপ শীর্ষবিন্দু বোঝায়।

📚 একটি রেখাংশকে নির্দিষ্ট অনুপাতে বিভক্ত করা

ধরি, P বিন্দু AB রেখাংশের উপর অবস্থিত। তখন P বিন্দু AB-কে AP : PB অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

👉 P যদি AB-এর মধ্যবিন্দু হয়, তবে AP/PB = 1।

👉 P যদি A-এর কাছে থাকে, তবে সাধারণত AP/PB < 1।

👉 P যদি B-এর কাছে থাকে, তবে সাধারণত AP/PB > 1।

রেখাংশের বর্ধিতাংশে কোনো বিন্দু থাকলে অনুপাতটি বহির্বিভাজন বোঝাতে ব্যবহৃত হয়।

⭐ উপপাদ্য 43: থ্যালেসের উপপাদ্য বা Basic Proportionality Theorem

কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অপর দুই বাহুকে বা তাদের বর্ধিত বাহুকে সমানুপাতে বিভক্ত করে।

প্রদত্ত :	△ABC-এ DE ∥ BC। DE সরলরেখা AB ও AC বাহুকে বা তাদের বর্ধিতাংশকে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য :	AD/DB = AE/EC।
অঙ্কন :	B, E এবং C, D যোগ করলাম। DM ⟂ AC এবং EN ⟂ AB অঙ্কন করলাম।
প্রমাণ :	△ADE এবং △BDE-এর DE সাধারণ ভিত্তি নয়; কিন্তু AD ও DB ভিত্তি ধরে উভয়ের উচ্চতা EN। তাই,
∴	ক্ষেত্রফল(△ADE) = 1/2 × AD × EN এবং ক্ষেত্রফল(△BDE) = 1/2 × DB × EN।
∴	ক্ষেত্রফল(△ADE) / ক্ষেত্রফল(△BDE) = AD/DB। ...(i)
আবার,	△ADE এবং △DEC-এর ভিত্তি যথাক্রমে AE ও EC এবং উভয়ের উচ্চতা DM।
∴	ক্ষেত্রফল(△ADE) / ক্ষেত্রফল(△DEC) = AE/EC। ...(ii)
কিন্তু,	△BDE এবং △DEC একই ভিত্তি DE-এর উপর এবং একই সমান্তরাল সরলরেখা DE ও BC-এর মধ্যে অবস্থিত। তাই তাদের ক্ষেত্রফল সমান।
∴	(i) ও (ii) থেকে AD/DB = AE/EC। [প্রমাণিত]

📚 উপপাদ্য 43-এর দুটি গুরুত্বপূর্ণ ফল

যদি DE ∥ BC, তবে AD/DB = AE/EC থেকে,

AB/DB = AC/EC

এবং

AD/AB = AE/AC।

এই তিনটি অনুপাত একই ধারণার ভিন্ন রূপ। সমস্যার প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী সুবিধাজনক রূপটি ব্যবহার করা যায়।

⭐ উপপাদ্য 44: থ্যালেসের উপপাদ্যের বিপরীত

কোনো সরলরেখা যদি কোনো ত্রিভুজের দুই বাহুকে বা তাদের বর্ধিতাংশকে একই অনুপাতে বিভক্ত করে, তবে সরলরেখাটি তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল হবে।

প্রদত্ত :	△ABC-এর AB ও AC বাহু বা তাদের বর্ধিতাংশকে একটি সরলরেখা যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে এমনভাবে ছেদ করেছে যে AD/DB = AE/EC।
প্রামাণ্য :	DE ∥ BC।
অঙ্কন :	B, E এবং C, D যোগ করলাম। DM ⟂ AC এবং EN ⟂ AB অঙ্কন করলাম।
প্রমাণ :	আগের উপপাদ্যের ক্ষেত্রফল-সম্পর্ক থেকে, ক্ষেত্রফল(△ADE) / ক্ষেত্রফল(△BDE) = AD/DB এবং ক্ষেত্রফল(△ADE) / ক্ষেত্রফল(△DEC) = AE/EC।
যেহেতু,	AD/DB = AE/EC। [প্রদত্ত]
∴	ক্ষেত্রফল(△BDE) = ক্ষেত্রফল(△DEC)।
আবার,	△BDE ও △DEC একই ভিত্তি DE-এর উপর এবং DE-এর একই পাশে অবস্থিত। ক্ষেত্রফল সমান হওয়ায় তাদের তৃতীয় শীর্ষ B ও C একই সমান্তরাল সরলরেখার উপর অবস্থিত।
∴	DE ∥ BC। [প্রমাণিত]

📚 BPT ও তার বিপরীত মনে রাখার সহজ নিয়ম

👉 সমান্তরাল দেওয়া থাকলে অনুপাত পাওয়া যায়।

DE ∥ BC ⇒ AD/DB = AE/EC

👉 অনুপাত দেওয়া থাকলে সমান্তরালতা পাওয়া যায়।

AD/DB = AE/EC ⇒ DE ∥ BC

⭐ উপপাদ্য 45: দুটি ত্রিভুজ সদৃশকোণী হলে তাদের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক

প্রদত্ত :	△ABC ও △DEF দুটি সদৃশকোণী ত্রিভুজ। অর্থাৎ ∠A = ∠D, ∠B = ∠E এবং ∠C = ∠F।
প্রামাণ্য :	AB/DE = BC/EF = AC/DF।
অঙ্কন :	DE বা তার বর্ধিতাংশে DP = AB এবং DF বা তার বর্ধিতাংশে DQ = AC কেটে নিলাম। PQ যোগ করলাম।
প্রমাণ :	△ABC ও △DPQ-এ AB = DP, AC = DQ এবং ∠A = ∠D।
∴	△ABC ≅ △DPQ। [SAS সর্বসমতার শর্ত]
∴	∠B = ∠P।
কিন্তু,	∠B = ∠E। [প্রদত্ত]
∴	∠P = ∠E, তাই PQ ∥ EF।
তাই,	থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে DP/DE = DQ/DF। যেহেতু DP = AB ও DQ = AC, তাই AB/DE = AC/DF। ...(i)
একইভাবে,	AB/DE = BC/EF। ...(ii)
∴	AB/DE = BC/EF = AC/DF। [প্রমাণিত]

📚 ফল: AAA বা AA সদৃশতার শর্ত

যদি দুটি ত্রিভুজের অনুরূপ কোণগুলি সমান হয়, তবে তারা সদৃশ। বাস্তবে দুটি করে অনুরূপ কোণ সমান হলেই তৃতীয় কোণও সমান হয়ে যায়। তাই এটিকে AA Similarity Criterion হিসেবেও ব্যবহার করা হয়।

∠A = ∠D, ∠B = ∠E ⇒ △ABC ~ △DEF।

⭐ উপপাদ্য 46: দুটি ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হলে তাদের অনুরূপ কোণগুলি সমান

প্রদত্ত :	△ABC ও △DEF-এর AB/DE = BC/EF = AC/DF।
প্রামাণ্য :	∠A = ∠D, ∠B = ∠E এবং ∠C = ∠F; অর্থাৎ △ABC ~ △DEF।
অঙ্কন :	DE বা তার বর্ধিতাংশে DP = AB এবং DF বা তার বর্ধিতাংশে DQ = AC কেটে নিলাম। PQ যোগ করলাম।
প্রমাণ :	AB/DE = AC/DF এবং AB = DP, AC = DQ হওয়ায় DP/DE = DQ/DF।
∴	থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য থেকে PQ ∥ EF। ফলে ∠P = ∠E এবং ∠Q = ∠F।
আবার,	PQ ∥ EF থেকে DP/DE = PQ/EF। যেহেতু DP = AB, তাই AB/DE = PQ/EF। ...(i)
কিন্তু,	AB/DE = BC/EF। [প্রদত্ত] ...(ii)
∴	(i) ও (ii) থেকে PQ = BC।
এখন,	△ABC ও △DPQ-এ AB = DP, BC = PQ এবং AC = DQ।
∴	△ABC ≅ △DPQ। [SSS সর্বসমতার শর্ত]
∴	∠A = ∠D, ∠B = ∠P = ∠E এবং ∠C = ∠Q = ∠F।
অতএব,	△ABC ~ △DEF। [প্রমাণিত]

📚 ফল: SSS সদৃশতার শর্ত

যদি দুটি ত্রিভুজের তিন জোড়া অনুরূপ বাহু সমানুপাতিক হয়, তবে ত্রিভুজ দুটি সদৃশ।

AB/DE = BC/EF = AC/DF ⇒ △ABC ~ △DEF।

⭐ উপপাদ্য 47: একটি কোণ সমান এবং কোণটির ধারক বাহুগুলি সমানুপাতিক হলে ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ

প্রদত্ত :	△ABC ও △DEF-এ ∠A = ∠D এবং AB/DE = AC/DF।
প্রামাণ্য :	△ABC ~ △DEF।
প্রমাণ :	ত্রিভুজ দুটিকে এমনভাবে তুলনা করি যাতে সমান কোণ ∠A ও ∠D পরস্পরের উপর পড়ে এবং AB, AC যথাক্রমে DE, DF-এর দিকে থাকে। প্রদত্ত বাহুর অনুপাত থেকে বিভাজিত অংশগুলিও একই অনুপাতে থাকে।
∴	থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য অনুযায়ী সংশ্লিষ্ট সংযোগরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল হয়।
ফলে,	∠B = ∠E এবং ∠C = ∠F।
অতএব,	△ABC ও △DEF সদৃশকোণী; তাই △ABC ~ △DEF। [প্রমাণিত]

📚 ফল: SAS সদৃশতার শর্ত

যদি দুটি ত্রিভুজের একটি করে কোণ সমান হয় এবং সেই সমান কোণের ধারক দুই জোড়া বাহু সমানুপাতিক হয়, তবে ত্রিভুজ দুটি সদৃশ।

∠A = ∠D এবং AB/DE = AC/DF ⇒ △ABC ~ △DEF।

📚 দুটি ত্রিভুজ কখন সদৃশ হবে?

উপরের উপপাদ্যগুলি থেকে তিনটি প্রধান শর্ত পাওয়া যায়:

👉 AA/AAA: অনুরূপ কোণগুলি সমান।

👉 SSS: অনুরূপ তিন জোড়া বাহু সমানুপাতিক।

👉 SAS: একটি অনুরূপ কোণ সমান এবং সেই কোণের ধারক বাহুদ্বয় সমানুপাতিক।

এই তিনটির যেকোনো একটি যথাযথভাবে সত্য হলে দুটি ত্রিভুজ সদৃশ।

⭐ উপপাদ্য 48: সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণিক শীর্ষ থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে উৎপন্ন ত্রিভুজগুলি পরস্পর সদৃশ

যে-কোনো সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে, লম্বের দুই পাশে উৎপন্ন ত্রিভুজদ্বয় মূল ত্রিভুজের সদৃশ এবং ছোট ত্রিভুজ দুটি পরস্পরও সদৃশ।

প্রদত্ত :	△ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে ∠A = 90°। A থেকে অতিভুজ BC-এর উপর AD ⟂ BC অঙ্কিত।
প্রামাণ্য :	(i) △DBA ~ △ABC, (ii) △DAC ~ △ABC এবং (iii) △DBA ~ △DAC।
প্রমাণ :	△DBA ও △ABC-এ ∠BDA = ∠BAC = 90° এবং ∠ABD = ∠CBA।
∴	অবশিষ্ট কোণ ∠BAD = ∠BCA। তাই △DBA ~ △ABC। [(i) প্রমাণিত]
আবার,	△DAC ও △ABC-এ ∠ADC = ∠BAC = 90° এবং ∠ACD = ∠BCA।
∴	অবশিষ্ট কোণ ∠CAD = ∠CBA। তাই △DAC ~ △ABC। [(ii) প্রমাণিত]
এখন,	△DBA ~ △ABC এবং △DAC ~ △ABC। তাই △DBA ~ △DAC। [(iii) প্রমাণিত]

📚 উপপাদ্য 48 থেকে গুরুত্বপূর্ণ তিনটি সম্পর্ক

একই চিত্রে,

AB² = BC × BD AD² = BD × CD

AC² = BC × CD।

দ্বিতীয় সম্পর্কটি বিশেষভাবে বলে যে অতিভুজের উপর অঙ্কিত লম্ব AD হলো অতিভুজের দুই অংশ BD ও CD-এর মধ্যসমানুপাতী।

⚠️ সাধারণ ভুল

👉 ভুল: সদৃশ হলেই দুটি চিত্র সর্বসম।
সঠিক: সর্বসম চিত্র অবশ্যই সদৃশ, কিন্তু সদৃশ চিত্রের আকার আলাদা হতে পারে।

👉 ভুল: সদৃশ বহুভুজে শুধু অনুরূপ কোণ সমান হলেই যথেষ্ট।
সঠিক: একই সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের ক্ষেত্রে অনুরূপ কোণ সমান হওয়ার পাশাপাশি অনুরূপ বাহুগুলিও সমানুপাতিক হতে হবে।

👉 ভুল: DE ∥ BC হলে AD/AE = DB/EC লিখে ফেলা।
সঠিক: অনুরূপ অংশ মিলিয়ে লিখতে হবে: AD/DB = AE/EC।

👉 ভুল: সদৃশ ত্রিভুজের নাম লেখার সময় শীর্ষবিন্দুর ক্রম উপেক্ষা করা।
সঠিক: অনুরূপ শীর্ষবিন্দু একই ক্রমে লিখতে হবে। যেমন △ABC ~ △DEF হলে A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F।

👉 ভুল: SAS সদৃশতায় যেকোনো দুটি বাহুর অনুপাত নিলেই হবে।
সঠিক: যে কোণদুটি সমান, সেই কোণগুলির ধারক বাহুদ্বয় সমানুপাতিক হতে হবে।

👉 ভুল: BPT এবং তার বিপরীত উপপাদ্য একইভাবে ব্যবহার করা।
সঠিক: সমান্তরালতা দেওয়া থাকলে BPT দিয়ে অনুপাত পাওয়া যায়; অনুপাত দেওয়া থাকলে converse BPT দিয়ে সমান্তরালতা পাওয়া যায়।

📚 মনে রাখার মতো গুরুত্বপূর্ণ বিষয়

👉 সদৃশ চিত্রের আকৃতি একই, আকার একই বা ভিন্ন হতে পারে।

👉 সর্বসম চিত্র সর্বদা সদৃশ, কিন্তু সদৃশ চিত্র সর্বদা সর্বসম নয়।

👉 সদৃশ বহুভুজের অনুরূপ কোণগুলি সমান এবং অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক।

👉 DE ∥ BC ⇒ AD/DB = AE/EC। এটি থ্যালেস বা Basic Proportionality Theorem।

👉 AD/DB = AE/EC ⇒ DE ∥ BC। এটি BPT-এর বিপরীত উপপাদ্য।

👉 AA/AAA শর্তে অনুরূপ কোণ সমান হলে দুটি ত্রিভুজ সদৃশ।

👉 SSS শর্তে তিন জোড়া অনুরূপ বাহু সমানুপাতিক হলে দুটি ত্রিভুজ সদৃশ।

👉 SAS শর্তে একটি কোণ সমান এবং সেই কোণের ধারক বাহুগুলি সমানুপাতিক হলে দুটি ত্রিভুজ সদৃশ।

👉 সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণিক শীর্ষ থেকে অতিভুজে লম্ব আঁকলে তিনটি ত্রিভুজই পরস্পর সদৃশ হয়।

👉 সমকোণী ত্রিভুজে AB² = BC × BD, AD² = BD × CD এবং AC² = BC × CD।