লম্ব ও তির্যক সরলরেখাংশ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems on Perpendicular and Oblique Segments)
একটি সরলরেখার বাইরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে সেই সরলরেখার বিভিন্ন বিন্দুর সঙ্গে অনেকগুলি সরলরেখাংশ আঁকা যায়। কিন্তু এগুলির সবগুলির দৈর্ঘ্য সমান নয়। বহিঃস্থ বিন্দু থেকে সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্ব সরলরেখাংশটির দৈর্ঘ্যই সবচেয়ে কম। আবার দুটি তির্যক সরলরেখাংশের মধ্যে লম্বের পাদবিন্দু থেকে যে তির্যকের পাদবিন্দু বেশি দূরে থাকে, সেই তির্যকটির দৈর্ঘ্য বেশি হয়।
এই দুটি গুরুত্বপূর্ণ ফল নিচে উপপাদ্য ও প্রমাণের সাহায্যে ধাপে ধাপে আলোচনা করা হলো।
📚 লম্ব ও তির্যক সরলরেখাংশ কী?
ধরি, AB একটি সরলরেখা এবং O তার বহিঃস্থ একটি বিন্দু। O থেকে AB-এর উপর OP লম্ব আঁকা হলো।
👉 OP ⟂ AB হলে OP-কে লম্ব সরলরেখাংশ (Perpendicular Segment) বলা হয়।
👉 O থেকে AB-এর অন্য কোনো বিন্দু Q-এর সঙ্গে যুক্ত OQ-কে তির্যক সরলরেখাংশ (Oblique Segment) বলা হয়।
👉 P হলো লম্বের পাদবিন্দু (Foot of the Perpendicular)।
⭐ একটি সরলরেখার বহিঃস্থ যেকোনো বিন্দু থেকে ওই সরলরেখা পর্যন্ত যেসব সরলরেখাংশ আঁকা যায়, তাদের মধ্যে লম্বের দৈর্ঘ্যই ক্ষুদ্রতম
| প্রদত্ত : | ধরি AB একটি সরলরেখা এবং O হলো AB সরলরেখার বহিঃস্থ একটি বিন্দু। OP, AB-এর উপর লম্ব, অর্থাৎ OP ⟂ AB। |
| প্রামাণ্য : | O বিন্দু থেকে AB সরলরেখার উপর অন্য যেকোনো বিন্দু Q -এর সঙ্গে অঙ্কিত OQ সরলরেখাংশের তুলনায় OP ছোট, অর্থাৎ OP < OQ । |
| অঙ্কন : | AB সরলরেখার উপর P ছাড়া অপর একটি যেকোনো বিন্দু Q নিলাম এবং OQ যোগ করলাম। |
| প্রমাণ : | △OPQ-এ, ∠OPQ = 90°। [⸪ OP ⟂ AB এবং P, Q উভয়ই AB সরলরেখার উপর অবস্থিত] |
| ⸫ | ∠OQP < 90°। [⸪ সমকোণী ত্রিভুজের অন্য দুটি কোণ সূক্ষ্মকোণ] |
| ⸫ | ∠OPQ > ∠OQP। |
| ⸫ | OQ > OP। [⸪ ত্রিভুজের বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহুর চেয়ে বড়] |
| কিন্তু, | Q হলো AB সরলরেখার উপর P ছাড়া যেকোনো একটি বিন্দু। |
| ∴ | AB সরলরেখার উপর Q-এর যেকোনো অবস্থানের জন্যই OP < OQ। |
| ∴ | O বিন্দু থেকে AB সরলরেখা পর্যন্ত অঙ্কিত সব সরলরেখাংশের মধ্যে OP-এর দৈর্ঘ্যই ক্ষুদ্রতম। [প্রমাণিত] |
📚 গুরুত্বপূর্ণ ফল: বিন্দু থেকে সরলরেখার দূরত্ব
উপরের উপপাদ্য থেকে পাই, কোনো বিন্দু থেকে একটি সরলরেখা পর্যন্ত অঙ্কিত সব সরলরেখাংশের মধ্যে লম্বের দৈর্ঘ্যই সবচেয়ে ছোট।
👉 তাই, একটি বিন্দু থেকে একটি সরলরেখার দূরত্ব বলতে বিন্দুটি থেকে সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্ব সরলরেখাংশের দৈর্ঘ্যকে বোঝায়।
অর্থাৎ, উপরের চিত্রে O বিন্দু থেকে AB সরলরেখার দূরত্ব হলো OP।
⭐ লম্বের পাদবিন্দু থেকে যে তির্যকের পাদবিন্দু বেশি দূরে, সেই তির্যকের দৈর্ঘ্য বেশি
ধরি, AB সরলরেখার বহিঃস্থ বিন্দু O থেকে OC, AB-এর উপর লম্ব। OD এবং OE দুটি তির্যক সরলরেখাংশ। নিচের প্রমাণে C, E, D একই পাশে এবং C-E-D ক্রমে অবস্থিত, তাই CD > CE।
| প্রদত্ত : | AB একটি সরলরেখা, O তার বহিঃস্থ একটি বিন্দু। OC ⟂ AB এবং OD, OE দুটি তির্যক সরলরেখাংশ। C, E, D একই পাশে ও একই সরলরেখায় অবস্থিত এবং CD > CE। |
| প্রামাণ্য : | প্রমাণ করতে হবে যে OD > OE। |
| প্রমাণ : | △OCE-এ, ∠OCE = 90°।[⸪ OC ⟂ AB] |
| ⸫ | ∠OEC < 90°। [⸪ সমকোণী ত্রিভুজের অন্য দুটি কোণ সূক্ষ্মকোণ] |
| আবার, | EC এবং ED বিপরীত রশ্মি। |
| ⸫ | ∠OEC + ∠OED = 180°। |
| ⸫ | ∠OED > 90°।[⸪ ∠OEC < 90°] |
| আবার, | △OCD-এ ∠OCD = 90°।[⸪ OC ⟂ AB] |
| ⸫ | ∠ODC < 90°। |
D বিন্দু থেকে E ও C একই দিকে অবস্থিত বলে DE এবং DC একই রশ্মি। | |
| ⸫ | ∠ODE = ∠ODC < 90°। |
| অতএব, | △OED-এ ∠OED > ∠ODE। |
| ∴ | OD > OE। [⸪ ত্রিভুজের বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহুর চেয়ে বড়] [প্রমাণিত] |
📚 সাধারণ অর্থ
উপরের angle-based proof-এ D ও E-কে C-এর একই পাশে ধরা হয়েছে। কিন্তু ফলটি আরও সাধারণভাবে সত্য। অর্থাৎ D ও E সরলরেখার যেকোনো পাশে থাকুক, যদি লম্বের পাদবিন্দু C থেকে D-এর দূরত্ব E-এর দূরত্বের চেয়ে বেশি হয়, তবে OD > OE।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য জানা থাকলে বিষয়টি খুব সহজে দেখা যায়:
OD² = OC² + CD²এবং
OE² = OC² + CE²যেহেতু CD > CE, তাই CD² > CE²।
অতএব, OC² + CD² > OC² + CE²।
অর্থাৎ, OD² > OE² এবং তাই OD > OE।
💡 সহজ উদাহরণ
ধরি, একটি সরলরেখা AB-এর বহিঃস্থ বিন্দু O থেকে OP লম্ব এবং OQ একটি তির্যক সরলরেখাংশ। যদি OP = 5 সেমি হয়, তবে OQ-এর দৈর্ঘ্য সম্পর্কে কী বলা যায়?
প্রথম উপপাদ্য অনুযায়ী,
OP < OQঅর্থাৎ,
5 < OQতাই OQ-এর দৈর্ঘ্য অবশ্যই 5 সেমির বেশি হবে।
💡 সহজ উদাহরণ
ধরি, OC ⟂ AB, CD = 8 সেমি এবং CE = 5 সেমি। OD ও OE দুটি তির্যক। কোনটি বড়?
যেহেতু,
CD > CEতাই দ্বিতীয় উপপাদ্য অনুযায়ী,
OD > OE।
অর্থাৎ, D বিন্দুটি লম্বের পাদবিন্দু C থেকে বেশি দূরে বলে OD তির্যকটি OE-এর চেয়ে বড়।
📚 আরও দুটি সরাসরি সিদ্ধান্ত
👉 যদি লম্বের পাদবিন্দু থেকে দুটি তির্যকের পাদবিন্দুর দূরত্ব সমান হয়, তবে তির্যক দুটির দৈর্ঘ্যও সমান হয়।
👉 একই বহিঃস্থ বিন্দু থেকে সরলরেখার উপর অঙ্কিত তির্যকের পাদবিন্দু লম্বের পাদবিন্দু থেকে যত দূরে সরে যায়, তির্যকের দৈর্ঘ্য তত বাড়ে।
⚠️ সাধারণ ভুল
👉 ভুল: ∠OED < 90° লেখা।
সঠিক: যদি C-E-D ক্রমে থাকে, তবে ∠OED > 90°, কারণ এটি ∠OEC-এর সম্পূরক কোণ এবং ∠OEC সূক্ষ্মকোণ।
👉 ভুল: ∠ODE > 90° ধরা।
সঠিক: ∠ODE = ∠ODC < 90°।
👉 ত্রিভুজে বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহুই বৃহত্তর, একই কোণের সংলগ্ন বাহু নয়।
👉 বিন্দু থেকে সরলরেখার দূরত্ব নির্ণয়ের সময় তির্যকের দৈর্ঘ্য নয়, লম্বের দৈর্ঘ্য নিতে হবে।
📚 মনে রাখার মতো গুরুত্বপূর্ণ বিষয়
👉 একটি বহিঃস্থ বিন্দু থেকে একটি সরলরেখা পর্যন্ত অঙ্কিত সব সরলরেখাংশের মধ্যে লম্বের দৈর্ঘ্যই ক্ষুদ্রতম।
👉 বিন্দু থেকে সরলরেখার দূরত্ব = বিন্দু থেকে সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য।
👉 একই বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত যেকোনো তির্যক লম্বের চেয়ে বড়।
👉 লম্বের পাদবিন্দু থেকে যে তির্যকের পাদবিন্দু বেশি দূরে, সেই তির্যকটি বেশি দীর্ঘ।
👉 CD > CE হলে OD > OE।
👉 ত্রিভুজে বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু বৃহত্তর এবং ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর।