বহুভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Polygon Theorems)
বহুভুজের বাহুসংখ্যা জানা থাকলে তার অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি, বহিঃকোণগুলির সমষ্টি এবং সুষম বহুভুজের প্রতিটি কোণের পরিমাপ সহজেই নির্ণয় করা যায়। নিচে সূত্রগুলির প্রমাণ ও প্রয়োগ ধাপে ধাপে দেখানো হলো।
⭐ n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট উত্তল বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি 2(n − 2) সমকোণ বা (n − 2) × 180°
| প্রদত্ত : | ধরি ABCDEFGH ... একটি n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট উত্তল বহুভুজ। |
| প্রামাণ্য : | বহুভুজটির অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি 2(n − 2) সমকোণ বা (n − 2) × 180°। |
| অঙ্কন : | A শীর্ষবিন্দু থেকে A-এর সংলগ্ন নয় এমন শীর্ষবিন্দুগুলির সঙ্গে কর্ণ আঁকলাম। |
| প্রমাণ : | একটি n-বাহুবিশিষ্ট উত্তল বহুভুজের একটি শীর্ষবিন্দু থেকে সব সম্ভব কর্ণ আঁকলে বহুভুজটি (n − 2)টি ত্রিভুজে বিভক্ত হয়। |
| ⸫ | বহুভুজটির অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি |
| = | (n − 2)টি ত্রিভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি |
| = | (n − 2) × 2 সমকোণ [⸪ একটি ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃকোণের সমষ্টি 2 সমকোণ বা 180°] |
| = | 2(n − 2) সমকোণ |
| = | (n − 2) × 180°[প্রমাণিত] |
⭐ বহুভুজের একই অভিমুখে নেওয়া বহিঃকোণগুলির সমষ্টি 4 সমকোণ বা 360°
| প্রদত্ত : | ধরি ABCDEFGH ... একটি n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট উত্তল বহুভুজ। প্রতিটি শীর্ষে একই অভিমুখে একটি করে বহিঃকোণ নেওয়া হলো। |
| প্রামাণ্য : | এই nটি বহিঃকোণের পরিমাপের সমষ্টি 4 সমকোণ বা 360°। |
| ⸪ | প্রতিটি অন্তঃকোণ এবং তার সংলগ্ন বহিঃকোণের পরিমাপের সমষ্টি = 2 সমকোণ বা 180°। |
| ⸫ | nটি অন্তঃকোণ ও সংশ্লিষ্ট nটি বহিঃকোণের মোট সমষ্টি = 2n সমকোণ। |
আবার, nটি অন্তঃকোণের সমষ্টি = 2(n − 2) সমকোণ। | |
| ⸫ | nটি বহিঃকোণের সমষ্টি |
| = | 2n − 2(n − 2) সমকোণ |
| = | 2n − 2n + 4 সমকোণ |
| = | 4 সমকোণ |
| = | 360°[প্রমাণিত] |
⭐ সুষম বহুভুজ কাকে বলে?
যে বহুভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ সমান, তাকে সুষম বহুভুজ (Regular Polygon) বলা হয়।
👉 সুষম ত্রিভুজ হলো সমবাহু ত্রিভুজ এবং সুষম চতুর্ভুজ হলো বর্গক্ষেত্র।
⭐ n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাপ কত?
| ⸪ | সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ সমান। |
n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি = 2(n − 2) সমকোণ বা (n − 2) × 180°। | |
| ⸫ | একটি অন্তঃকোণের পরিমাপ |
| = | সমকোণ |
| = |
⭐ n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের একটি বহিঃকোণের পরিমাপ কত?
| ⸪ | সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ সমান এবং সব বহিঃকোণের সমষ্টি 360°। |
| ⸫ | প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ |
⭐ উদাহরণ: 12-বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি নির্ণয় করি
n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= (n − 2) × 180°এখানে, n = 12
= (12 − 2) × 180° = 10 × 180° = 1800°অতএব, 12-বাহুবিশিষ্ট বহুভুজটির অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি 1800°।
মনে রাখার মতো গুরুত্বপূর্ণ বিষয়
- n-বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি (n − 2) × 180°।
- একই অভিমুখে নেওয়া একটি করে বহিঃকোণের সমষ্টি সবসময় 360°।
- সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ।
- সুষম বহুভুজের একটি বহিঃকোণ ।
- একই শীর্ষের একটি অন্তঃকোণ ও তার সংলগ্ন বহিঃকোণের সমষ্টি 180°।