বৃত্ত সংক্রান্ত উপপাদ্য (Circle Theorems)
এই পাতায় বৃত্তের তিনটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য ধাপে ধাপে প্রমাণ করা হবে। শুরু করার আগে কেন্দ্র, ব্যাসার্ধ, জ্যা, লম্ব এবং লম্বসমদ্বিখণ্ডক সম্পর্কে ধারণা পরিষ্কার থাকা প্রয়োজন।
দ্রুত মনে করি
- একই বৃত্তের সব ব্যাসার্ধ সমান।
- জ্যার দুই প্রান্তই বৃত্তের উপর থাকে।
- লম্বসমদ্বিখণ্ডক কোনো রেখাংশকে সমান দুই ভাগে ভাগ করে এবং রেখাংশটির উপর লম্ব হয়।
- সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ও কোণ সমান।
⭐ তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে একটি এবং কেবলমাত্র একটি বৃত্ত অঙ্কন সম্ভব
এই প্রমাণটি ধারণা পরিষ্কার করার জন্য দেওয়া হলো। পরীক্ষায় প্রমাণটি মূল্যায়নের অন্তর্ভুক্ত কি না, তা নিজের পাঠ্যক্রম অনুযায়ী দেখে নেবে।
| প্রদত্ত : | A, B, C তিনটি নির্দিষ্ট অসমরেখ বিন্দু। |
| প্রামাণ্য : | A, B, C বিন্দু তিনটির মধ্য দিয়ে একটি এবং কেবলমাত্র একটি বৃত্ত অঙ্কন করা যায়। |
| অঙ্কন : | AB এবং BC যুক্ত করি। AB-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক PQ এবং BC-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক RS অঙ্কন করি। তারা O বিন্দুতে ছেদ করল। ধরি, PQ রেখা AB-কে D বিন্দুতে এবং RS রেখা BC-কে E বিন্দুতে ছেদ করেছে। এবার OA, OB ও OC যুক্ত করি। |
| প্রমাণ : | △OAD ও △OBD-এর মধ্যে, |
| AD = DB [⸪ D হলো AB-এর মধ্যবিন্দু] | |
| ∠ODA = ∠ODB = 90° [⸪ PQ ⟂ AB] | |
OD সাধারণ বাহু। | |
| ∴ | △OAD ≅ △OBD [S-A-S সর্বসমতার শর্তানুসারে] |
| ∴ | OA = OB [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু] |
একইভাবে BC-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক RS-এর উপর O অবস্থিত। তাই △OBE ও △OCE-এর সর্বসমতা থেকে, | |
| ∴ | OB = OC [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু] |
| ∴ | OA = OB = OC |
| অর্থাৎ | A, B, C তিনটি বিন্দুই O থেকে একই দূরত্বে অবস্থিত। |
| ∴ | O-কে কেন্দ্র এবং OA-কে ব্যাসার্ধ ধরে একটি বৃত্ত আঁকলে সেই বৃত্ত A, B, C তিনটি বিন্দুর মধ্য দিয়েই যাবে। |
| ∴ | তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে একটি বৃত্ত অঙ্কন সম্ভব। |
A, B, C তিনটি বিন্দু নির্দিষ্ট। তাই AB ও BC রেখাংশও নির্দিষ্ট। | |
তাই তাদের লম্বসমদ্বিখণ্ডক PQ ও RS-ও নির্দিষ্ট। | |
| ⸪ | A, B, C অসমরেখ, তাই AB ও BC একই সরলরেখায় অবস্থিত নয়। ফলে তাদের লম্বসমদ্বিখণ্ডক দুটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু O-তে ছেদ করে। |
| ∴ | কেন্দ্র O নির্দিষ্ট। |
| আবার | O ও A নির্দিষ্ট বলে ব্যাসার্ধ OA-এর দৈর্ঘ্যও নির্দিষ্ট। |
একটি নির্দিষ্ট কেন্দ্র ও একটি নির্দিষ্ট ব্যাসার্ধ দিয়ে একটি মাত্র বৃত্ত আঁকা যায়। | |
| ∴ | তিনটি অসমরেখ বিন্দু A, B, C-এর মধ্য দিয়ে একটি এবং কেবলমাত্র একটি বৃত্ত অঙ্কন সম্ভব। [প্রমাণিত] |
এখান থেকে নতুন কী শিখলাম?
ত্রিভুজ ABC-এর দুটি বাহুর লম্বসমদ্বিখণ্ডক যেখানে ছেদ করে, সেই বিন্দুটি তিনটি শীর্ষবিন্দু থেকে সমদূরবর্তী।
এই বিন্দুই ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র (Circumcenter) এবং ABC-এর তিনটি শীর্ষ দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তের কেন্দ্র।
⭐ ব্যাস নয় এমন কোনো জ্যার উপর কেন্দ্র থেকে লম্ব অঙ্কন করলে, সেই লম্ব জ্যাটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে
| প্রদত্ত : | O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তে AB ব্যাস নয় এমন একটি জ্যা। কেন্দ্র O থেকে AB-এর উপর OD লম্ব অঙ্কন করা হয়েছে। অর্থাৎ OD ⟂ AB। |
| প্রামাণ্য : | AD = DB। |
| অঙ্কন : | OA ও OB যুক্ত করি। |
| প্রমাণ : | OD ⟂ AB হওয়ায় △OAD ও △OBD দুটি সমকোণী ত্রিভুজ। |
| এখন, | OA = OB [⸪ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] |
| OD = OD [সাধারণ বাহু] | |
| ∠ODA = ∠ODB = 90° | |
| ∴ | △OAD ≅ △OBD [⸪ R-H-S সর্বসমতার শর্তানুসারে] |
| ∴ | AD = DB [⸪ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু] |
| ∴ | D হলো AB জ্যার মধ্যবিন্দু। |
| ∴ | ব্যাস নয় এমন কোনো জ্যার উপর বৃত্তের কেন্দ্র থেকে অঙ্কিত লম্ব সেই জ্যাটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। [প্রমাণিত] |
উপপাদ্যটির ব্যবহার
যদি AB = 18 সেমি এবং OD ⟂ AB হয়, তবে
AD = DB = 18 ÷ 2 = 9 সেমি।
অর্থাৎ কেন্দ্র থেকে জ্যার উপর লম্বের পাদবিন্দু খুঁজে পেলেই জ্যার মধ্যবিন্দু পাওয়া যায়।
⭐ ব্যাস নয় এমন কোনো জ্যার মধ্যবিন্দুর সঙ্গে কেন্দ্র যোগ করলে, সংযোগরেখাটি জ্যার উপর লম্ব হয়
এটি আগের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য।
| প্রদত্ত : | O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ব্যাস নয় এমন একটি জ্যা। D হলো AB-এর মধ্যবিন্দু, অর্থাৎ AD = DB।O ও D যুক্ত করা হয়েছে। |
| প্রামাণ্য : | OD ⟂ AB। |
| অঙ্কন : | OA ও OB যুক্ত করি। |
| প্রমাণ : | △OAD ও △OBD-এর মধ্যে, |
| OA = OB [⸪ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] | |
| AD = DB [⸪ প্রদত্ত] | |
| OD = OD [⸪ সাধারণ বাহু] | |
| ∴ | △OAD ≅ △OBD [⸪ S-S-S সর্বসমতার শর্তানুসারে] |
| ∴ | ∠ODA = ∠ODB [⸪ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ অংশ] |
| এখন | A, D, B একই সরলরেখায় অবস্থিত। তাই ∠ODA ও ∠ODB পাশাপাশি দুটি কোণ এবং তাদের যোগফল একটি সরলকোণ। |
| অর্থাৎ, | ∠ODA + ∠ODB = 180° |
| আবার, | ∠ODA = ∠ODB |
| ⸪ | সমান দুটি কোণের প্রত্যেকটির মান = 180° ÷ 2 = 90° |
| ∴ | ∠ODA = ∠ODB = 90° |
| ∴ | OD ⟂ AB [প্রমাণিত] |
⭐ আগের উপপাদ্য দুটি একসঙ্গে বুঝে নাও
| কেন্দ্র থেকে জ্যার উপর লম্ব | ⇒ জ্যার মধ্যবিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়। |
| কেন্দ্র থেকে জ্যার মধ্যবিন্দু যোগ | ⇒ জ্যার উপর লম্ব হয়। |
অর্থাৎ ব্যাস নয় এমন একটি জ্যার ক্ষেত্রে কেন্দ্র থেকে জ্যার উপর অঙ্কিত লম্ব এবং কেন্দ্র থেকে জ্যার মধ্যবিন্দুগামী রেখা একই রেখা।
⭐ ছোটো ছোটো উদাহরণ
উদাহরণ 1: জ্যার দুই অংশ
AB একটি জ্যা এবং AB = 20 সেমি। কেন্দ্র O থেকে AB-এর উপর OD লম্ব।
উপপাদ্য অনুযায়ী,
AD = DBতাই,
AD = DB = 20 ÷ 2 = 10 সেমি।
উত্তর: AD = DB = 10 সেমি।
উদাহরণ 2: লম্ব কি না বুঝব কীভাবে?
D হলো জ্যা AB-এর মধ্যবিন্দু এবং O হলো বৃত্তের কেন্দ্র।
যেহেতু,
AD = DBএবং OD কেন্দ্র ও জ্যার মধ্যবিন্দুকে যুক্ত করেছে, তাই বিপরীত উপপাদ্য থেকে,
OD ⟂ ABউত্তর: OD জ্যা AB-এর উপর লম্ব।
⚠️ সাধারণ ভুল ও কীভাবে এড়াবে
🔸 তিনটি বিন্দু দিয়ে বৃত্তের উপপাদ্যে “অসমরেখ” কথাটি খুব গুরুত্বপূর্ণ। তিনটি বিন্দু একই সরলরেখায় থাকলে তাদের মধ্য দিয়ে কোনো সসীম ব্যাসার্ধের বৃত্ত আঁকা যায় না।
🔸 উপপাদ্য ৩-এ শুধু দুই কোণ সমান দেখালেই লম্ব প্রমাণ শেষ হয় না। কোণদুটি একটি সরলকোণ তৈরি করে, তাই তাদের যোগফল 180°। সমান হওয়ায় প্রত্যেকটি 90°।
🔸 R-H-S ও S-S-S সর্বসমতার শর্ত গুলিয়ে ফেলবে না। কোন তথ্যগুলি পাওয়া গেছে, আগে সেগুলি চিহ্নিত করো।
📚 মনে রাখার মতো গুরুত্বপূর্ণ বিষয়
🔹 তিনটি নির্দিষ্ট অসমরেখ বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি মাত্র বৃত্ত যায়।
🔹 তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তের কেন্দ্র পেতে দুটি সংযোজক রেখাংশের লম্বসমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দু নির্ণয় করা যায়।
🔹 ত্রিভুজের বাহুগুলির লম্বসমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দু হলো পরিকেন্দ্র।
🔹 কেন্দ্র থেকে জ্যার উপর লম্ব নামালে জ্যাটি সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
🔹 জ্যার মধ্যবিন্দুর সঙ্গে কেন্দ্র যোগ করলে সংযোগরেখাটি জ্যার উপর লম্ব হয়।
🔹 উপপাদ্য ২ ও ৩ একে অপরের বিপরীত।
দ্রুত পুনরাবৃত্তি
| তিনটি অসমরেখ বিন্দু | একটি এবং কেবলমাত্র একটি বৃত্ত নির্ধারণ করে |
| OD ⟂ AB | ⇒ AD = DB |
| AD = DB | ⇒ OD ⟂ AB[যেখানে O কেন্দ্র] |
আগের অধ্যায়ে বৃত্তের প্রাথমিক ধারণা বুঝে নাও
জ্যা, ব্যাস, চাপ, বৃত্তাংশ বা বৃত্তকলা সম্পর্কে ধারণা পরিষ্কার না থাকলে আগে বৃত্তের প্রাথমিক ধারণা (Basic Concepts of Circle) অধ্যায়টি পড়ে নাও।