পিথাগোরাসের উপপাদ্য ও বিপরীত উপপাদ্য (Pythagoras Theorem and Converse)
সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের মধ্যে একটি নির্দিষ্ট সম্পর্ক সবসময় সত্য। এই সম্পর্কই পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem) নামে পরিচিত। এটি ব্যবহার করে অজানা বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়, আবার এর বিপরীত উপপাদ্য ব্যবহার করে তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে কোনো ত্রিভুজ সমকোণী কি না তাও নির্ণয় করা যায়।
📚 ক্ষেত্রফল থেকে পিথাগোরাসের সম্পর্ক
ধরি, একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব দুই বাহুর দৈর্ঘ্য a ও b এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্য c।
এই তিনটি বাহুর উপর বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করলে তাদের ক্ষেত্রফল যথাক্রমে,
a², b² এবং c²।
পিথাগোরাসের সম্পর্ক হলো,
c² = a² + b²।
অর্থাৎ,
অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি।
📚 একটি সহজ উদাহরণ
যদি কোনো সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব দুই বাহু 3 একক ও 4 একক এবং অতিভুজ 5 একক হয়, তবে,
5² = 3² + 4²অর্থাৎ,
25 = 9 + 16।
তাই তিন বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রগুলির ক্ষেত্রফলের মধ্যেও একই সম্পর্ক পাওয়া যায়।
📚 ক্ষেত্রফল দিয়ে হাতে-কলমে যাচাই
উৎস অধ্যায়ে দুটি সমান সমকোণী ত্রিভুজের সাহায্যে একটি ট্রাপিজিয়াম গঠন করে পিথাগোরাসের সম্পর্ক দেখানো হয়েছে। প্রতিটি ত্রিভুজের লম্ব দুই বাহু a ও b, অতিভুজ c।
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য a ও b এবং তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব a + b। তাই ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল,
1/2 × (a + b) × (a + b)।
অন্যদিকে একই ক্ষেত্রটি দুটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং মাঝের একটি সমকোণী ত্রিভুজে বিভক্ত। তাই,
1/2(a + b)² = 1/2 ab + 1/2 ab + 1/2 c²।
উভয় পাশে 2 গুণ করলে,
(a + b)² = 2ab + c²।
অর্থাৎ,
a² + 2ab + b² = 2ab + c²।
সুতরাং,
a² + b² = c²।
এই ক্ষেত্রফলভিত্তিক যাচাই পিথাগোরাসের উপপাদ্যের মূল সম্পর্কটি পরিষ্কার করে।
⭐ উপপাদ্য 49: পিথাগোরাসের উপপাদ্য
যে-কোনো সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।
| প্রদত্ত : | △ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং ∠A = 90°। তাই BC হলো অতিভুজ। |
| প্রামাণ্য : | BC² = AB² + AC²। |
| অঙ্কন : | A থেকে অতিভুজ BC-এর উপর AD ⟂ BC অঙ্কন করলাম, যা BC-কে D বিন্দুতে ছেদ করে। |
| প্রমাণ : | △ABD ও △CBA-এ ∠ADB = ∠CAB = 90° এবং ∠ABD = ∠CBA। তাই △ABD ~ △CBA। |
| ∴ | AB/BC = BD/AB। |
| ∴ | AB² = BC × BD। ...(i) |
| আবার, | △CAD ও △CBA-এ ∠CDA = ∠CAB = 90° এবং ∠ACD = ∠BCA। তাই △CAD ~ △CBA। |
| ∴ | AC/BC = DC/AC। |
| ∴ | AC² = BC × DC। ...(ii) |
| এখন, | (i) ও (ii) যোগ করে পাই, AB² + AC² = BC × BD + BC × DC। |
| ∴ | AB² + AC² = BC(BD + DC) = BC × BC = BC²। |
| অতএব, | BC² = AB² + AC²। [প্রমাণিত] |
📚 উপপাদ্য 49-এর সাধারণ রূপ
যদি অতিভুজ c এবং অপর দুই বাহু a, b হয়, তবে,
c² = a² + b²।
অতএব,
c = √(a² + b²)।
অজানা লম্ব বাহু নির্ণয়ের ক্ষেত্রে,
a = √(c² - b²)অথবা,
b = √(c² - a²)।
📚 বৌধায়ন সম্পর্কিত উৎসের উল্লেখ
উৎস বইয়ে উল্লেখ করা হয়েছে যে পিথাগোরাসের বহু পূর্বে, প্রায় 800 B.C.-এর একজন প্রাচীন ভারতীয় গণিতজ্ঞ বৌধায়ন (Baudhayan) আয়তক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সম্পর্কে একই সম্পর্কের একটি বিবৃতি দিয়েছিলেন। এই কারণে পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে কখনও কখনও বৌধায়নের উপপাদ্য বলেও উল্লেখ করা হয়।
⭐ উপপাদ্য 50: পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য
কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল যদি অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হয়, তবে প্রথম বাহুর বিপরীত কোণটি সমকোণ হবে।
| প্রদত্ত : | △ABC-এ AB² = AC² + BC²। |
| প্রামাণ্য : | ∠ACB = 90°। |
| অঙ্কন : | CB-এর সমান FE রেখাংশ নিলাম। F বিন্দুতে FE-এর উপর লম্ব আঁকলাম এবং সেই লম্বে FD = AC নিলাম। D ও E যোগ করলাম। |
| প্রমাণ : | প্রদত্ত থেকে AB² = BC² + AC²। আবার EF = BC এবং DF = AC। তাই, |
| ∴ | AB² = EF² + DF²। |
| কিন্তু, | △DFE সমকোণী, কারণ DF ⟂ FE। পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে DE² = DF² + EF²। |
| ∴ | AB² = DE², তাই AB = DE। |
| এখন, | △ABC ও △DEF-এ AB = DE, BC = EF এবং AC = DF। |
| ∴ | △ABC ≅ △DEF। [SSS সর্বসমতার শর্ত] |
| ∴ | ∠ACB = ∠DFE। |
| কিন্তু, | ∠DFE = 90°। |
| অতএব, | ∠ACB = 90°। [প্রমাণিত] |
📚 বিপরীত উপপাদ্য দিয়ে সমকোণী ত্রিভুজ শনাক্তকরণ
ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য c এবং অন্য দুই বাহু a, b হলে প্রথমে পরীক্ষা করি,
c² = a² + b² কি না।
যদি সমতা সত্য হয়, তবে বৃহত্তম বাহু c-এর বিপরীত কোণটি 90° এবং ত্রিভুজটি সমকোণী।
উদাহরণ: 5, 12, 13
13² = 169এবং
5² + 12² = 25 + 144 = 169।
তাই 13² = 5² + 12²। অতএব ত্রিভুজটি সমকোণী এবং 13 একক বাহুটি অতিভুজ।
📚 Pythagorean triples তৈরির সূত্র
উৎস অধ্যায়ে নিচের বীজগাণিতিক পরিচয়টি ব্যবহার করা হয়েছে:
(m² - n²)² + (2mn)² = (m² + n²)²।
অতএব m > n হলে,
m² - n², 2mn এবং m² + n²
এই তিনটি সংখ্যা একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য হিসেবে নেওয়া যায়। এখানে অতিভুজ হবে,
m² + n²।
উদাহরণ ১
m = 2, n = 1 নিলে,
m² - n² = 3, 2mn = 4, m² + n² = 5।
তাই 3, 4, 5 একটি Pythagorean triple।
উদাহরণ ২
m = 3, n = 2 নিলে,
m² - n² = 5, 2mn = 12, m² + n² = 13।
তাই 5, 12, 13 আরেকটি Pythagorean triple।
⚠️ সাধারণ ভুল
👉 ভুল: যেকোনো ত্রিভুজে a² + b² = c² ব্যবহার করা।
সঠিক: পিথাগোরাসের মূল উপপাদ্য সরাসরি শুধু সমকোণী ত্রিভুজে প্রযোজ্য।
👉 ভুল: যেকোনো বাহুকে c ধরে নেওয়া।
সঠিক: c অবশ্যই সমকোণের বিপরীত বাহু, অর্থাৎ অতিভুজ।
👉 ভুল: অজানা লম্ব বাহু বের করার সময় বর্গের যোগ ব্যবহার করা।
সঠিক: অতিভুজ জানা থাকলে লম্ব বাহুর বর্গ = অতিভুজের বর্গ − অপর লম্ব বাহুর বর্গ।
👉 ভুল: তিন বাহু দেওয়া থাকলে সবচেয়ে ছোট বাহুর বর্গকে অন্য দুই বাহুর বর্গের যোগের সঙ্গে তুলনা করা।
সঠিক: বিপরীত উপপাদ্যে বৃহত্তম বাহুর বর্গকে অন্য দুই বাহুর বর্গের যোগের সঙ্গে তুলনা করতে হবে।
👉 ভুল: 5² + 12² = 13² দেখে শুধু সংখ্যার মিল বলা।
সঠিক: এই সমতা থেকে পিথাগোরাসের বিপরীত উপপাদ্য ব্যবহার করে সমকোণী হওয়ার সিদ্ধান্ত নিতে হবে।
📚 মনে রাখার মতো গুরুত্বপূর্ণ বিষয়
👉 সমকোণী ত্রিভুজে সমকোণের বিপরীত বাহুই অতিভুজ এবং সেটিই দীর্ঘতম বাহু।
👉 যদি ∠A = 90°, তবে BC² = AB² + AC²।
👉 সাধারণভাবে, c² = a² + b²।
👉 অজানা অতিভুজ: c = √(a² + b²)।
👉 অজানা লম্ব বাহু: a = √(c² - b²) বা b = √(c² - a²)।
👉 পিথাগোরাসের বিপরীত উপপাদ্য: c² = a² + b² হলে c-এর বিপরীত কোণটি সমকোণ।
👉 3, 4, 5 এবং 5, 12, 13 পিথাগোরাসের সম্পর্কের সহজ উদাহরণ।
👉 (m² - n²), 2mn, (m² + n²) সূত্র দিয়ে Pythagorean triple তৈরি করা যায়, যেখানে m > n।