পিথাগোরাসের উপপাদ্য ও বিপরীত উপপাদ্য (Pythagoras Theorem and Converse)
সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের মধ্যে একটি নির্দিষ্ট সম্পর্ক সবসময় সত্য। এই সম্পর্কই পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem) নামে পরিচিত। এটি ব্যবহার করে অজানা বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়, আবার এর বিপরীত উপপাদ্য ব্যবহার করে তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে কোনো ত্রিভুজ সমকোণী কি না তাও নির্ণয় করা যায়।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য
📚 ক্ষেত্রফল থেকে পিথাগোরাসের সম্পর্ক
ধরি, একটি সমকোণী ত্রিভুজের পরস্পর লম্ব দুই বাহুর দৈর্ঘ্য a ও b এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্য c।
এই তিনটি বাহুর উপর বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করলে তাদের ক্ষেত্রফল যথাক্রমে,
a², b² এবং c²।
পিথাগোরাসের সম্পর্ক হলো,
c² = a² + b²।
অর্থাৎ,
অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি।
📚 একটি সহজ উদাহরণ
যদি কোনো সমকোণী ত্রিভুজের পরস্পর লম্ব দুই বাহু 3 একক ও 4 একক এবং অতিভুজ 5 একক হয়, তবে,
5² = 3² + 4²অর্থাৎ,
25 = 9 + 16।
তাই তিন বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রগুলির ক্ষেত্রফলের মধ্যেও একই সম্পর্ক পাওয়া যায়।
📚 ক্ষেত্রফলের সাহায্যে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের প্রমাণ
এখানে দুটি সর্বসম সমকোণী ত্রিভুজ পাশাপাশি সাজিয়ে একটি চতুর্ভুজ গঠন করব। প্রতিটি ত্রিভুজের পরস্পর লম্ব দুই বাহু a ও b এবং অতিভুজ c। সব দৈর্ঘ্য ধনাত্মক এবং একই এককে মাপা।
অঙ্কন
১. একটি সরলরেখায় A, E, D বিন্দু এই ক্রমে নিই, যেন AE = b এবং ED = a। তাই AD = a + b।
২. AD-এর একই পাশে A ও D বিন্দুতে লম্ব এঁকে যথাক্রমে AB = a ও DC = b নিই। ফলে AB ∥ DC।
৩. BE, CE ও BC যোগ করি। গঠিত চতুর্ভুজটি ABCD। এর ভিতরে তিনটি ত্রিভুজ হলো △ABE, △BEC ও △ECD।
মাঝের ত্রিভুজটি কেন সমকোণী?
🔹 △ABE ও △DEC-এ AB = DE = a, AE = DC = b এবং ∠BAE = ∠EDC = 90°। তাই SAS সর্বসমতায় △ABE ≅ △DEC এবং BE = EC = c।
সর্বসমতা থেকে ∠DEC = ∠ABE। আবার সমকোণী △ABE-এ,
∠AEB + ∠ABE = 90°।
তাই ∠AEB + ∠DEC = 90°। যেহেতু A, E, D সমরেখ এবং EB, EC একই পাশে অবস্থিত,
∠AEB + ∠BEC + ∠CED = 180°।
অতএব ∠BEC = 180° − 90° = 90°। সুতরাং মাঝের △BEC-এর ক্ষেত্রফল ।
ক্ষেত্রফল তুলনা
ABCD-এর সমান্তরাল বাহু AB = a ও DC = b, এবং তাদের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব AD = a + b। তাই,
।
অন্যদিকে তিনটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল যোগ করে পাই,
উভয় পক্ষকে 2 দিয়ে গুণ করে,
(a + b)² = 2ab + c²।
অর্থাৎ a² + 2ab + b² = 2ab + c²।
সুতরাং a² + b² = c²। [প্রমাণিত]
a ≠ b হলে গঠিত চতুর্ভুজটি একটি ট্রাপিজিয়াম। a = b হলে এটি আয়তক্ষেত্র হয়; তখনও একই ক্ষেত্রফলের হিসাব প্রযোজ্য।
⭐ সদৃশ ত্রিভুজের সাহায্যে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের প্রমাণ
যে-কোনো সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য
| প্রদত্ত : | △ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং ∠A = 90°। তাই BC হলো অতিভুজ। |
| প্রামাণ্য : | BC² = AB² + AC²। |
| অঙ্কন : | A থেকে অতিভুজ BC-এর উপর AD ⟂ BC অঙ্কন করলাম, যা BC-কে তার অন্তর্বর্তী D বিন্দুতে ছেদ করে। তাই BD + DC = BC। |
| প্রমাণ : | △ABD ও △CBA-এর |
| ∠ADB = ∠CAB = 90° | |
| এবং, | ∠ABD = ∠CBA |
| ∴ | △ABD ~ △CBA[AA সদৃশতার শর্ত] |
| ∴ | |
| ∴ | AB² = BC × BD। ...(i) |
| আবার, | △CAD ও △CBA-এর |
| ∠CDA = ∠CAB = 90° | |
| এবং, | ∠ACD = ∠BCA |
| ∴ | △CAD ~ △CBA[AA সদৃশতার শর্ত] |
| ∴ | |
| ∴ | AC² = BC × DC। ...(ii) |
| এখন, | (i) ও (ii) যোগ করে পাই, AB² + AC² = BC × BD + BC × DC। |
| ∴ | AB² + AC² = BC(BD + DC) = BC × BC = BC²। |
| অতএব, | BC² = AB² + AC²। [প্রমাণিত] |
📚 উপপাদ্যটির সাধারণ রূপ
যদি অতিভুজ c এবং অপর দুই বাহু a, b হয়, তবে,
c² = a² + b²।
অতএব,
অজানা সমকোণ সংলগ্ন বাহু নির্ণয়ের ক্ষেত্রে,
অথবা,
📚 ঐতিহাসিক প্রসঙ্গ: বৌধায়ন
প্রাচীন ভারতের শুল্বসূত্রগুলিতে (Sulbasutras) পিথাগোরাসের সম্পর্কের ব্যবহার পাওয়া যায়। বৌধায়ন শুল্বসূত্রের আলোচনায় বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল মূল বর্গক্ষেত্রের দ্বিগুণ হওয়ার নিয়মটি উল্লেখযোগ্য। এটি পিথাগোরাসের সম্পর্কের একটি বিশেষ ক্ষেত্র।
সূত্র: University of St Andrews-এর MacTutor: The Indian Sulbasutras।
⭐ পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য
কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল যদি অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হয়, তবে প্রথম বাহুর বিপরীত কোণটি সমকোণ হবে।
পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য
| প্রদত্ত : | △ABC-এ AB² = AC² + BC²। |
| প্রামাণ্য : | ∠ACB = 90°। |
| অঙ্কন : | CB-এর সমান FE রেখাংশ নিলাম। F বিন্দুতে FE-এর উপর লম্ব আঁকলাম এবং সেই লম্বে FD = AC নিলাম। D ও E যোগ করলাম। |
| প্রমাণ : | প্রদত্ত থেকে AB² = BC² + AC²। আবার EF = BC এবং DF = AC। তাই, |
| ∴ | AB² = EF² + DF²। |
| কিন্তু, | △DFE সমকোণী, কারণ DF ⟂ FE। পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে DE² = DF² + EF²। |
| ∴ | AB² = DE²। উভয় রেখাংশের দৈর্ঘ্য ধনাত্মক, তাই AB = DE। |
| এখন, | △ABC ও △DEF-এ AB = DE, BC = EF এবং AC = DF। |
| ∴ | △ABC ≅ △DEF। [SSS সর্বসমতার শর্ত] |
| ∴ | ∠ACB = ∠DFE। |
| কিন্তু, | ∠DFE = 90°। |
| অতএব, | ∠ACB = 90°। [প্রমাণিত] |
📚 বিপরীত উপপাদ্য দিয়ে সমকোণী ত্রিভুজ শনাক্তকরণ
তিনটি দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে আগে নিশ্চিত হতে হবে যে সেগুলি ধনাত্মক এবং ছোট দুইটির যোগফল বৃহত্তমটির চেয়ে বেশি; তবেই ত্রিভুজ গঠন সম্ভব। সব দৈর্ঘ্য একই এককে নিতে হবে।
ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য c এবং অন্য দুই বাহু a, b হলে প্রথমে পরীক্ষা করি,
c² = a² + b² কি না।
যদি সমতা সত্য হয়, তবে বৃহত্তম বাহু c-এর বিপরীত কোণটি 90° এবং ত্রিভুজটি সমকোণী।
উদাহরণ: 5, 12, 13
13² = 169এবং
5² + 12² = 25 + 144 = 169।
তাই 13² = 5² + 12²। অতএব ত্রিভুজটি সমকোণী এবং 13 একক বাহুটি অতিভুজ।
📚 পিথাগোরাসীয় সংখ্যাত্রয় (Pythagorean triples)
তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c যদি a² + b² = c² সম্পর্ক পূরণ করে, তবে তাদের পিথাগোরাসীয় সংখ্যাত্রয় (Pythagorean triple) বলে।
সংখ্যাত্রয় তৈরির সূত্র ও প্রমাণ
ধরি, m ও n ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং m > n। নিই,
a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n²।
তখন তিনটি সংখ্যাই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। আবার,
।
এগুলি দিয়ে ত্রিভুজ গঠনও সম্ভব, কারণ c বৃহত্তম এবং,
।
অর্থাৎ a + b > c। অতএব পিথাগোরাসের বিপরীত উপপাদ্য অনুযায়ী ত্রিভুজটি সমকোণী এবং অতিভুজ m² + n²।
মনে রাখবে: শুধু m > n বললেই যথেষ্ট নয়। সংখ্যাত্রয় তৈরির এই সূত্রে m ও n-কে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা নিতে হবে।
উদাহরণ
m = 2, n = 1 নিলে,
m² - n² = 3, 2mn = 4, m² + n² = 5।
তাই 3, 4, 5 একটি Pythagorean triple।
উদাহরণ
m = 3, n = 2 নিলে,
m² - n² = 5, 2mn = 12, m² + n² = 13।
তাই 5, 12, 13 আরেকটি Pythagorean triple।
⚠️ সাধারণ ভুল
❌ যেকোনো ত্রিভুজে a² + b² = c² ব্যবহার করা।
✔✔ পিথাগোরাসের মূল উপপাদ্য সরাসরি শুধু সমকোণী ত্রিভুজে প্রযোজ্য।
❌ যেকোনো বাহুকে c ধরে নেওয়া।
✔✔ c অবশ্যই সমকোণের বিপরীত বাহু, অর্থাৎ অতিভুজ।
❌ অজানা সমকোণ সংলগ্ন বাহু বের করার সময় বর্গের যোগ ব্যবহার করা।
✔✔ অতিভুজ জানা থাকলে সমকোণ সংলগ্ন বাহুর বর্গ = অতিভুজের বর্গ − অপর সমকোণ সংলগ্ন বাহুর বর্গ।
❌ তিন বাহু দেওয়া থাকলে সবচেয়ে ছোট বাহুর বর্গকে অন্য দুই বাহুর বর্গের যোগের সঙ্গে তুলনা করা।
✔✔ বিপরীত উপপাদ্যে বৃহত্তম বাহুর বর্গকে অন্য দুই বাহুর বর্গের যোগের সঙ্গে তুলনা করতে হবে।
❌ 5² + 12² = 13² দেখে শুধু সংখ্যার মিল বলা।
✔✔ এই সমতা থেকে পিথাগোরাসের বিপরীত উপপাদ্য ব্যবহার করে সমকোণী হওয়ার সিদ্ধান্ত নিতে হবে।
🧠 মনে রাখার মতো গুরুত্বপূর্ণ বিষয়
👉 সমকোণী ত্রিভুজে সমকোণের বিপরীত বাহুই অতিভুজ এবং সেটিই দীর্ঘতম বাহু।
👉 যদি ∠A = 90°, তবে BC² = AB² + AC²।
👉 সাধারণভাবে, c² = a² + b²।
👉 অজানা অতিভুজ: c = √(a² + b²)।
👉 অজানা সমকোণ সংলগ্ন বাহু: a = √(c² - b²) বা b = √(c² - a²)।
👉 পিথাগোরাসের বিপরীত উপপাদ্য: c² = a² + b² হলে c-এর বিপরীত কোণটি সমকোণ।
👉 3, 4, 5 এবং 5, 12, 13 পিথাগোরাসের সম্পর্কের সহজ উদাহরণ।
👉 (m² - n²), 2mn, (m² + n²) সূত্র দিয়ে Pythagorean triple তৈরি করা যায়, যেখানে m ও n ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং m > n।
