गुणनखंडन (Factorisation)
🎯 इस अध्याय के अंत तक तुम क्या-क्या सीखोगे?
👉 गुणनखंड (Factor) क्या होता है
👉 बीजीय व्यंजक के गुणनखंड ज्ञात करना
👉 सामान्य गुणनखंड विधि
👉 सर्वसमिकाओं का उपयोग करके गुणनखंडन
👉 मध्य पद विभाजन द्वारा गुणनखंडन
गुणनखंड किसे कहते हैं?
किसी संख्या या बीजीय व्यंजक को जिन छोटी संख्याओं या व्यंजकों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, वे उस संख्या या व्यंजक के गुणनखंड कहलाते हैं।
जैसे: 21 को हम 21 = 1×3×7 के रूप में लिख सकते हैं।
अतः 1, 3 और 7, प्रत्येक 21 का गुणनखंड है।
📚 ध्यान दें: किसी संख्या को उसके गुणनखंड से भाग देने पर शेषफल शून्य होता है।
जैसे:
21 ÷ 3 = 7 → पूरी तरह भाग हो जाता है, अर्थात शेषफल शून्य है।
21 ÷ 6 → पूरी तरह विभाज्य नहीं है, अर्थात कुछ शेषफल बचता है।
अतः 6, 21 का गुणनखंड नहीं है।
बीजीय व्यंजक के गुणनखंड
हम ab को a×b के रूप में लिख सकते हैं। इसलिए a और b, दोनों ab के गुणनखंड हैं।
वर्ग और घन की सर्वसमिकाओं की सहायता से भी गुणनखंड निकाले जा सकते हैं।
🔸 x2 − y2 को (x + y)(x − y) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए (x + y) और (x − y), दोनों इसके गुणनखंड हैं।
🔸 x3 − y3 को (x − y)(x2 + xy + y2) के रूप में लिखा जा सकता है।
🔸 x3 + y3 को (x + y)(x2 − xy + y2) के रूप में लिखा जा सकता है।
गुणनखंडन (Factorisation)
बीजगणित में किसी जटिल व्यंजक को दो या अधिक सरल व्यंजकों के गुणनफल के रूप में लिखने की प्रक्रिया को गुणनखंडन या Factorisation कहते हैं।
यह मूल रूप से गुणा की विपरीत प्रक्रिया है। अर्थात गुणनखंडों को फिर से गुणा करने पर मूल व्यंजक वापस मिल जाता है।
गुणनखंडन की सामान्य विधियाँ:
सामान्य गुणनखंड लेना (Common Factor Method)
यदि सभी पदों में कोई सामान्य गुणनखंड हो, तो उसे बाहर निकालकर व्यंजक को गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है।
🔹 ax + ay
= a(x + y)
🔹 x2 + xy + 7x + 7y
= x(x + y) + 7(x + y)
= (x + y)(x + 7)
🔹 15pq + 15 + 9q + 25p
= 15pq + 25p + 9q + 15
= 5p(3q + 5) + 3(3q + 5)
= (3q + 5)(5p + 3)
👇 अभ्यास (गुणनखंडन करो)
🔸 xy + y + 3x + 3
🔸 pq − q + 2p − 2
🔸 6xy + 3y + 4x + 2
🔸 10xy + 2y + 5x + 1
सर्वसमिकाओं का उपयोग करके गुणनखंडन
👉 से संबंधित गुणनखंडन
🔹 x² − 4y²
= x² − (2y)²
= (x + 2y)(x − 2y)
🔹
=
=
=
=
🔹
=
=
=
=
👇 अभ्यास (गुणनखंडन करो)
🔸
🔸
🔸
🔸
👉 से संबंधित गुणनखंडन
🔹
=
=
=
🔹 63m3 + 6m2 − 12m + 8
= 64m3 − m3 + 6m2 − 12m + 8
= (4m)3 − {m3 − 3.m2.2 + 2.m.22 − 23}
= (4m)3 − (m − 2)3
= {4m − (m − 2)} {(4m)2 + 4m(m − 2)+(m − 2)2}
= (4m − m + 2) (16m2 + 4m2 − 8m + m2 − 2.m.2 + 22)
= (3m + 2) (21m2 − 8m − 4m + 4)
= (3m + 2) (21m2 − 12m + 4)
🔹 a3 − 9b3 + (a + b)3
= a3 − b3 + (a + b)3 − 8b3
= a3 − b3 + (a + b)3 − (2b)3
= (a − b) (a2 + ab + b2) + {(a + b) − 2b}{(a + b)2 + (a + b).2b + (2b)2}
= (a − b)(a2 + ab + b2) + (a + b − 2b)(a2 + 2ab + b2 + 2ab + 2b2 + 4b2)
= (a − b)(a2 + ab + b2) + (a − b)(a2 + 4ab + 7b2)
= (a − b){(a2 + ab + b2)+(a2 + 4ab + 7b2)}
= (a − b)(a2 + ab + b2 + a2 + 4ab + 7b2)
= (a − b)(2a2 + 5ab + 8b2)
🔹 32x⁴ − 500x
= 4x(8x³ − 125)
= 4x{(2x)³ − (5)³}
= 4x(2x − 5){(2x)² + (2x).5 + 5²}
= 4x(2x − 5)(4x² + 10x + 25)
👇 अभ्यास (गुणनखंडन करो)
🔸 t⁹ − 512
🔸 a³ + 3a²b + 3ab² + b³ − 8
🔸 x³ − 6x² + 12x − 35
🔸 AX³ − Ax³ + AX²h − Ax²h
👉 x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²) सूत्र से संबंधित गुणनखंडन
🔹 27a³ + b³
= (3a)³ + (b)³
= (3a + b) {(3a)² − (3a)b + (b)²}
= (3a + b)(9a² − 3ab + b²)
👉 मध्य पद विभाजन विधि (Middle Term Factorisation)
ax² + bx + c के रूप के व्यंजक का गुणनखंडन करने के लिए:
पहले पद के गुणांक a और अंतिम पद c का गुणनफल ज्ञात करो।
फिर ac को ऐसे दो भागों में बाँटो जिनका योग या अंतर मध्य पद के गुणांक b के बराबर हो।
इसके बाद पदों का समूह बनाकर सामान्य गुणनखंड निकालो।
🔹 3x² + 14x + 8
पहले पद का गुणांक 3 और अंतिम पद 8 है, इसलिए गुणनफल 24 होगा। 24 को 4×6, 3×8 और 2×12 के रूप में लिखा जा सकता है। इनमें 12 + 2 = 14 है, इसलिए मध्य पद 14x को 12x + 2x के रूप में विभाजित करते हैं।
= 3x² + (12 + 2)x + 8
= 3x² + 12x + 2x + 8
= 3x(x + 4) + 2(x + 4)
= (x + 4)(3x + 2)
🔹 6x² − x − 15
यहाँ 6 × (−15) = −90। हमें दो ऐसी संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल −90 और योग −1 हो। ये संख्याएँ −10 और 9 हैं।
= 6x² − 10x + 9x −15
= 2x(3x − 5) + 3(3x − 5)
= (3x − 5)(2x + 3)
🔹 x² − x − 6
यहाँ 1 × (−6) = −6। हमें दो ऐसी संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल −6 और योग −1 हो। ये संख्याएँ −3 और 2 हैं।
= x² − 3x + 2x − 6
= x(x − 3) + 2(x − 3)
= (x − 3)(x + 2)
🔹 x² − 2ax + (a + b)(a − b)
यहाँ मध्य पद −2ax को −(a+b)x − (a-b)x के रूप में लिखा जा सकता है, क्योंकि (a+b)+(a-b)=2a।
= x² − {(a + b) + (a − b)}x + (a + b)(a − b)
= x² − (a+b)x − (a − b)x + (a + b)(a − b)
= x{x − (a + b)} − (a − b){x − (a + b)}
= {x − (a + b)}{x − (a − b)}
= (x − a − b)(x − a + b)
👇 अभ्यास (गुणनखंडन करो)
🔸 (a + b)² − 5a − 5b + 6
🔸 (p² − 3q²)² − 16(p² − 3q²) − 63
🔸 x⁴ + 4x² − 5
🔸 x² − bx − (a + 3b)(a + 2b)
👉 शून्य या परीक्षण विधि (Vanishing or Trial Method)
घन बहुपद के गुणनखंड खोजने के लिए व्यंजक को f(x) मानते हैं और ऐसी x की मान खोजते हैं जिसके लिए f(x)=0 हो।
यदि x=m रखने पर f(m)=0, तो (x−m) उस बहुपद का एक गुणनखंड होगा।
उदाहरण: x³ − 7x − 6
मान लें, f(x) = x³ − 7x − 6। यहाँ x = −1 रखने पर:
f(−1) = (−1)³ − 7(−1) − 6 = 0अतः x = −1 एक शून्यक है और (x + 1) एक गुणनखंड है।
🔹 x³ − 7x − 6
= x³ + x² − x² − x − 6x − 6
= x²(x + 1) − x(x + 1) − 6(x + 1)
= (x + 1)(x² − x − 6)
= (x + 1){x² − 3x + 2x − 6}
= (x + 1){x(x − 3) + 2(x − 3)}
= (x + 1)(x − 3)(x + 2)