पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात
दिया है,
sin 23° = pक्योंकि 23° + 67° = 90°,
sin 23° = cos 67°अतः,
cos 67° = pअब,
इसलिए,
चूँकि 67° न्यूनकोण है,
अतः उत्तर है,
क्योंकि,
इसलिए,
अतः उत्तर है 1।
क्योंकि ,
अतः उत्तर है 1।
बाएँ पक्ष से,
क्योंकि A + B = 90°,
और,
अतः,
सिद्ध हुआ।
बाएँ पक्ष से,
पूरक कोणों के संबंधों का प्रयोग करने पर,
अतः बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।
सिद्ध हुआ।
दिए गए गुणनफल में कुल 89 गुणक हैं और मध्य का गुणक tan 45° है।
पूरक कोणों को जोड़े में लिखने पर,
इसी प्रकार,
और इसी तरह सभी जोड़ों का गुणनफल 1 होगा।
साथ ही,
अतः पूरे गुणनफल का मान,
अतः सिद्ध हुआ।
दिया है,
क्योंकि,
इसलिए,
अब के लिए,
या,
पहले संबंध से,
चूँकि 0° < θ < 90°, इसलिए n = 0, 1 के लिए,
दूसरे संबंध से कोई न्यूनकोणीय मान प्राप्त नहीं होता।
अतः,
दिए गए गुणनफल में cos 90° भी एक गुणक है।
और,
किसी गुणनफल का एक भी गुणक शून्य होने पर पूरा गुणनफल शून्य होता है।
अतः,
बाएँ पक्ष से,
क्योंकि 17° = 90° − 73°,
अतः सिद्ध हुआ।
दिया है,
हम जानते हैं,
अतः,
चूँकि θ और φ न्यूनकोण हैं,
अर्थात,
इसलिए,
अतः उत्तर है 1।
अभ्यास प्रश्न
🔹 sin²22° + sin²68° + cot²30° का मान ज्ञात कीजिए।
🔹 यदि 2 cos (90° − A) − 1 = 0, तो सिद्ध कीजिए कि sin 3A = 3 sin A − 4 sin³A।
🔹 3 cos 80° cosec 10° + 2 cos 59° cosec 31° का मान ज्ञात कीजिए।
🔹 सिद्ध कीजिए कि tan 7° tan 23° tan 60° tan 67° tan 83° = √3।
🔹 सिद्ध कीजिए कि
🔹 निम्न का मान ज्ञात कीजिए:
🔹 निम्न का मान ज्ञात कीजिए:
🔹 निम्न का मान ज्ञात कीजिए:
🔹 निम्न का मान ज्ञात कीजिए:
🔹 निम्न का मान ज्ञात कीजिए:
🔹 निम्न का मान ज्ञात कीजिए:
🔹 △ABC में सिद्ध कीजिए कि,
🔹 यदि ∠A + ∠B = 90°, तो सिद्ध कीजिए कि
🔹 यदि ∠A + ∠B = 90°, तो सिद्ध कीजिए कि
🔹 यदि ∠A + ∠B = 90°, तो सिद्ध कीजिए कि
🔹 यदि ∠A + ∠B = 90°, तो सिद्ध कीजिए कि
🔹 यदि ∠A + ∠B = 90°, तो सिद्ध कीजिए कि
🔹 सिद्ध कीजिए कि
🔹 यदि α + β = 90° और दोनों कोण न्यूनकोण हैं, तो सिद्ध कीजिए कि
🔹 यदि , जहाँ 0 < a < b, तो सिद्ध कीजिए कि
🔹 सिद्ध कीजिए कि
🔹 सिद्ध कीजिए कि tan 1° tan 3° tan 5° ... tan 85° tan 87° tan 89° = 1।
🔹 सिद्ध कीजिए कि
🔹 यदि ∠A + ∠B = 90° और दोनों कोण न्यूनकोण हैं, तो सिद्ध कीजिए कि
ध्यान देने योग्य बातें
- पूरक कोणों में sin ↔ cos, tan ↔ cot और sec ↔ cosec का संबंध सबसे महत्वपूर्ण है।
- केवल θ के न्यूनकोण होने से sin 4θ = cos 5θ का एक ही हल नहीं मिलता; इस प्रश्न में 10° और 50° दोनों हल हैं।
- वर्गमूल वाले परिणामों में कोण का चतुर्थांश या धनात्मकता की शर्त आवश्यक हो सकती है।
- किसी सर्वसमिका को सिद्ध करने से पहले यह जाँच लेना चाहिए कि दिया गया कथन वास्तव में सभी दी गई शर्तों के अंतर्गत सत्य है।
