त्रिकोणमितीय अनुपात: सरल गणितीय प्रश्न एवं समाधान
इस सेट में sin, cos, tan, cot, sec और cosec से जुड़े सरल प्रश्न दिए गए हैं। अधिकांश प्रश्नों में मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं और साधारण बीजीय सूत्रों का प्रयोग किया गया है।
बाएँ पक्ष से शुरू करते हैं,
हम जानते हैं,
अतः,
अतः,
सिद्ध हुआ।
हम जानते हैं,
अतः,
और,
इसलिए,
अतः उत्तर है ।
हम जानते हैं,
अतः,
अब का प्रयोग करने पर,
अतः पूर्ण वर्ग है,
दिया है,
इसलिए,
और,
दोनों का वर्ग करने पर,
अब,
अतः,
सिद्ध हुआ।
दिया है,
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
अतः,
क्योंकि,
इसलिए,
अर्थात,
चूँकि θ न्यूनकोण है और x, y > 0, इसलिए दोनों पक्ष धनात्मक हैं। अतः,
सिद्ध हुआ।
दिया है,
दोनों का वर्ग करके जोड़ने पर,
अतः,
हम जानते हैं,
अतः,
अतः उत्तर है 2।
दिया है,
अतः,
अब,
और मूल सर्वसमिका से,
अतः दोनों पक्ष समान हैं। सर्वसमिका सत्यापित हुई।
दिया है,
न्यूनकोण के लिए 3–4–5 त्रिभुज से,
इसलिए,
अब,
सिद्ध हुआ।
दिया है,
न्यूनकोण होने के कारण,
और,
अब,
सिद्ध हुआ।
पहले,
हम जानते हैं,
अतः,
न्यूनकोण के लिए cosec α धनात्मक है, इसलिए,
अतः उत्तर है ।
वास्तविक x, y के लिए,
अर्थात,
इसी प्रकार,
से,
अतः,
दूसरी ओर, जहाँ sec θ परिभाषित है,
इसलिए दोनों राशियाँ केवल सीमा-स्थितियों में बराबर हो सकती हैं, जब उनका परिमाण 1 हो।
- यदि x = y ≠ 0, तो दायाँ पक्ष 1 है और sec θ = 1 संभव है।
- यदि x = −y ≠ 0, तो दायाँ पक्ष −1 है और sec θ = −1 संभव है।
अतः संबंध सामान्य रूप से नहीं, लेकिन इन विशेष स्थितियों में सत्य हो सकता है।
न्यूनकोण के लिए,
और,
इसलिए,
अतः न्यूनकोण के लिए,
असंभव है।
मान लें,
तब,
दिया है,
दोनों पक्षों को t से गुणा करने पर,
अतः,
इसलिए,
अतः,
सिद्ध हुआ।
दिया है,
हम जानते हैं,
अतः,
इसलिए,
अब दोनों समीकरण जोड़ने पर,
अतः,
या,
जहाँ p ≠ 0।
