चतुर्भुज का क्षेत्रफल और परिमाप (Area and Perimeter of Quadrilaterals)
🎯 इस अध्याय के अंत तक आप क्या-क्या सीखेंगे?
👉 चतुर्भुज और उसके विभिन्न प्रकारों को पहचानना।
👉 क्षेत्रफल और परिमाप के बीच अंतर समझना।
👉 चतुर्भुजों के महत्वपूर्ण सूत्रों को याद रखने का आसान तरीका।
👉 वर्ग, आयत, समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज, समलंब चतुर्भुज और पतंग जैसी आकृतियों का क्षेत्रफल निकालना।
👉 प्रश्न हल करते समय सही सूत्र चुनना।
चतुर्भुज किसे कहते हैं?
चतुर्भुज
चार भुजाओं से यहाँ चार भुजाओं से पूरी तरह घिरी हुई समतलीय आकृति को चतुर्भुज कहते हैं। ऊपर के दोनों चित्रों में ABCD एक चतुर्भुज है।
चतुर्भुज में चार कोण, चार शीर्ष, चार भुजाएँ और दो विकर्ण होते हैं। ऊपर के चित्रों में AC और BD विकर्ण हैं।
कक्षा 7 में चतुर्भुज अध्याय में हम चतुर्भुज के सामान्य गुणों के बारे में पढ़ चुके हैं। यहाँ हम कुछ विशेष चतुर्भुजों का परिमाप और क्षेत्रफल निकालना सीखेंगे।
जैसे: वर्ग, आयत, समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज, समलंब चतुर्भुज आदि।
परिमाप (Perimeter)
किसी आकृति की सीमा के चारों ओर की कुल लंबाई को परिमाप कहते हैं।
परिमाप = AB + BC + CD + DA
परिमाप की इकाई लंबाई की इकाई होती है, जैसे cm, m आदि।
क्षेत्रफल (Area)
किसी बंद समतलीय आकृति के भीतर घिरे क्षेत्र के माप को क्षेत्रफल कहते हैं।
क्षेत्रफल = ABCD द्वारा घिरा क्षेत्र।
क्षेत्रफल की इकाई वर्ग इकाई होती है, जैसे cm², m² आदि।
वर्ग (Square)
वर्ग की सभी भुजाओं की लंबाई समान होती है
यदि भुजा की लंबाई = a इकाई हो
🔸 परिमाप (Perimeter) = 4 × भुजा की लंबाई = 4a unit
🔸 विकर्ण (Diagonal) = √2 × भुजा की लंबाई = √2a unit
🔸 क्षेत्रफल (Area) = (भुजा की लंबाई)2 = a2 sq. unit
📚 वर्ग का क्षेत्रफल = × (विकर्ण)2 वर्ग इकाई
🔸 यदि वर्ग की सीमा के अंदर की ओर d इकाई चौड़ा रास्ता बना हो, तो रास्ते का क्षेत्रफल = 4d × (a − d) वर्ग इकाई
💡 ऊपर दिए गए सूत्र की व्याख्या
रास्ते का क्षेत्रफल = (पूरे वर्ग का क्षेत्रफल) − (रास्ता हटाने के बाद बचे अंदरूनी वर्ग का क्षेत्रफल)
= {a2 − (a − 2d)2} वर्ग इकाई
= {a2 − (a2 − 4ad + 4d2)} वर्ग इकाई
= {a2 − a2 + 4ad − 4d2} वर्ग इकाई
= (4ad − 4d2) वर्ग इकाई
= 4d × (a − d) वर्ग इकाई
🔸 यदि वर्ग की सीमा के बाहर की ओर d इकाई चौड़ा रास्ता बना हो, तो रास्ते का क्षेत्रफल = 4d × (a + d) वर्ग इकाई
💡 ऊपर दिए गए सूत्र की व्याख्या
रास्ते का क्षेत्रफल = (रास्ते सहित बड़े वर्ग का क्षेत्रफल) − (मूल वर्ग का क्षेत्रफल)
= {(a + 2d)2 − a2} वर्ग इकाई
= {(a2 + 4ad + 4d2) − a2} वर्ग इकाई
= {a2 + 4ad + 4d2 − a2} वर्ग इकाई
= (4ad + 4d2) वर्ग इकाई
= 4d × (a + d) वर्ग इकाई
🔹 1. एक वर्ग की भुजा 9 cm है। उसका क्षेत्रफल और परिमाप ज्ञात कीजिए।
🔹 2. एक वर्गाकार क्षेत्र के विकर्ण की लंबाई 2√2 मीटर है। वर्ग का क्षेत्रफल कितना होगा?
🔹 3. एक वर्गाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल 169 वर्गमीटर है। उसके विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।
🔹 4. एक वर्गाकार बगीचे का क्षेत्रफल 225 वर्गमीटर है। यदि बाड़ लगाने की लागत 3.50 रुपये प्रति मीटर हो, तो कुल खर्च कितना होगा?
🔹 5. दो वर्गाकार बगीचों के क्षेत्रफलों का योग 325 वर्गमीटर है। यदि एक बगीचे की भुजा दूसरे की भुजा की 2/3 हो, तो दोनों बगीचों के परिमापों का योग कितना होगा?
🔹 6. किसी वर्ग की प्रत्येक भुजा 2 cm कम करने पर उसका क्षेत्रफल 60 cm² कम हो जाता है। मूल वर्ग का परिमाप ज्ञात कीजिए।
आयत (Rectangle)
आयत की विपरीत भुजाओं की लंबाइयाँ समान होती हैं
यदि लंबाई (Length) = a इकाई और चौड़ाई (Width) = b इकाई हो
🔸 परिमाप = 2 × (लंबाई + चौड़ाई) = 2(a + b) unit
🔸 क्षेत्रफल = (लंबाई × चौड़ाई) = ab sq. unit
🔸 विकर्ण इकाई
🔸 यदि आयत के अंदर की ओर d इकाई चौड़ा रास्ता हो, तो रास्ते का क्षेत्रफल = 2d × (a + b − 2d) वर्ग इकाई
💡 ऊपर दिए गए सूत्र की व्याख्या
रास्ते का क्षेत्रफल = (पूरे आयत का क्षेत्रफल) − (रास्ता हटाने के बाद बचे अंदरूनी आयत का क्षेत्रफल)
= ab − {(a − 2d)(b − 2d)} वर्ग इकाई
= ab − {ab − 2d(a + b) + 4d2} वर्ग इकाई
= ab − ab + 2d(a + b) − 4d2 वर्ग इकाई
= 2d(a + b) − 4d2 वर्ग इकाई
= 2d × (a + b − 2d) वर्ग इकाई
🔸 यदि आयत के बाहर की ओर d इकाई चौड़ा रास्ता हो, तो रास्ते का क्षेत्रफल = 2d × (a + b + 2d) वर्ग इकाई
💡 ऊपर दिए गए सूत्र की व्याख्या
रास्ते का क्षेत्रफल = (रास्ते सहित बड़े आयत का क्षेत्रफल) − (मूल आयत का क्षेत्रफल)
= {(a + 2d)(b + 2d) − ab} वर्ग इकाई
= {ab + 2d(a + b) + 4d2} − ab वर्ग इकाई
= ab + 2d(a + b) + 4d2 − ab वर्ग इकाई
= 2d(a + b) + 4d2 वर्ग इकाई
= 2d × (a + b + 2d) वर्ग इकाई
🔹 1. एक आयत की लंबाई 18 cm और चौड़ाई 11 cm है। उसका क्षेत्रफल कितना है?
🔹 2. एक आयत के विकर्ण और एक भुजा की लंबाई क्रमशः 13 cm और 12 cm है। आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
🔹 3. एक आयत की लंबाई और चौड़ाई का अनुपात 8:5 है। यदि उसका क्षेत्रफल 360 वर्गमीटर है, तो उसका परिमाप कितना होगा?
🔹 4. एक वर्ग का विकर्ण उस आयत के विकर्ण के बराबर है जिसकी लंबाई उसकी चौड़ाई की दोगुनी है। वर्ग के क्षेत्रफल और आयत के क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात कीजिए।
समांतर चतुर्भुज (Parallelogram)
समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाओं की लंबाइयाँ समान होती हैं
यदि भुजाएँ a और b तथा b भुजा पर ऊँचाई = h हो
🔸 परिमाप = 2 × (दो आसन्न भुजाओं का योग) = 2(a + b) unit
🔸 क्षेत्रफल = (आधार × ऊँचाई) = bh sq. unit
समचतुर्भुज (Rhombus)
समचतुर्भुज की सभी भुजाओं की लंबाइयाँ समान होती हैं
यदि भुजा = a इकाई और उस भुजा पर ऊँचाई = h हो
🔸 परिमाप = 4 × भुजा की लंबाई = 4a unit
🔸 क्षेत्रफल = (आधार × ऊँचाई) = ah sq. unit
📚 यदि समचतुर्भुज के विकर्ण d₁ और d₂ हों, तो क्षेत्रफल = 1/2 × d₁ × d₂ वर्ग इकाई।
समलंब चतुर्भुज (Trapezium)
समलंब चतुर्भुज की एक जोड़ी विपरीत भुजाएँ समांतर होती हैं
यदि समांतर भुजाओं की लंबाइयाँ क्रमशः a और b तथा उनके बीच की ऊँचाई = h हो
🔸 क्षेत्रफल = 1/2 (a + b)h वर्ग इकाई
