चतुर्भुजों का क्षेत्रफल और परिमाप (Area and Perimeter of Quadrilaterals)

बगीचे के चारों ओर बाड़ लगाने के लिए उसका परिमाप निकालते हैं। फर्श पर टाइलें लगाने के लिए उसका क्षेत्रफल निकालते हैं। इस पाठ में सरल उदाहरणों से चतुर्भुजों के सूत्र सीखेंगे।

👉 चतुर्भुज किसे कहते हैं? (Quadrilateral)

चतुर्भुज (Quadrilateral)

4 रेखाखंडों से घिरीरेखाखंड मिलकर एक बंद सीमा बनाते हैं। सरल समतल आकृति चतुर्भुज कहलाती है। इसकी भुजाएँ केवल अपने सिरों पर मिलती हैं। ऊपर के दोनों चित्रों में ABCD एक चतुर्भुज है।

चतुर्भुज में 4 भुजाएँ, 4 शीर्ष, 4 कोण और 2 विकर्ण होते हैं। चित्रों में विकर्ण AC और BD हैं।

हम विभिन्न प्रकार के चतुर्भुजों का क्षेत्रफल और परिमाप सीखेंगे।

वर्ग, आयत, समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज और समलंब चतुर्भुज इसके उदाहरण हैं।

👉 परिमाप (Perimeter)

किसी बंद आकृति की सीमा की कुल लंबाई उसका परिमाप कहलाती है।

परिमाप = AB + BC + CD + DA

परिमाप लंबाई की इकाइयों, जैसे सेमी या मीटर, में मापा जाता है।

👉 क्षेत्रफल (Area)

किसी समतल आकृति से घिरे भाग का माप उसका क्षेत्रफल कहलाता है।

चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल उसकी भुजाओं से घिरे भाग का माप है।

क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में मापा जाता है, जैसे cm², m²।

👉 वर्ग (Square)

वर्ग की 4 भुजाएँ बराबर होती हैं और प्रत्येक कोण 90° होता है। केवल बराबर भुजाएँ होने से चतुर्भुज वर्ग नहीं बनता; उसके सभी कोण समकोण भी होने चाहिए।

वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं

प्रत्येक भुजा की लंबाई a इकाई है

🔸 परिमाप (Perimeter) = 4 × भुजा की लंबाई = 4a इकाई

🔸 विकर्ण (Diagonal) =√2 × भुजा की लंबाई = √2a इकाई

🔸 क्षेत्रफल (Area) = (भुजा की लंबाई)² = a² वर्ग इकाई

📚 वर्ग का क्षेत्रफल = × (विकर्ण)² वर्ग इकाई

⭐ वर्गाकार क्षेत्र के चारों ओर रास्ते का क्षेत्रफल

ये सूत्र समान चौड़ाई वाले रास्ते के लिए हैं, जिसकी भीतरी और बाहरी सीमाएँ वर्गाकार हैं। d रास्ते की चौड़ाई है; यहाँ d विकर्ण नहीं दर्शाता। भीतर रास्ता और बीच में वर्गाकार भाग होने के लिए होना चाहिए।

🔸 भीतर की ओर d चौड़े रास्ते का क्षेत्रफल 4d × (a − d) वर्ग इकाई।

🔸 बाहर की ओर d चौड़े रास्ते का क्षेत्रफल 4d × (a + d) वर्ग इकाई।

✍️ वर्ग के अभ्यास प्रश्न

🔸 1. वर्ग की भुजा 9 सेमी है। उसका क्षेत्रफल और परिमाप निकालो।

🔸 2. वर्ग का विकर्ण 2√2 मीटर है। उसका क्षेत्रफल निकालो।

🔸 3. वर्ग का क्षेत्रफल 169 वर्ग मीटर है। उसका विकर्ण निकालो।

🔸 4. वर्गाकार बगीचे का क्षेत्रफल 225 वर्ग मीटर है। ₹3.50 प्रति मीटर की दर से उसकी पूरी सीमा पर बाड़ लगाने की लागत निकालो।

🔸 5. 2 वर्गों का कुल क्षेत्रफल 325 वर्ग मीटर है और उनकी भुजाओं का अनुपात 2:3 है। उनके परिमापों का योग निकालो।

🔸 6. वर्ग की भुजा 2 सेमी घटाने पर क्षेत्रफल 60 वर्ग सेमी घट जाता है। उसका मूल परिमाप निकालो।

👉 आयत (Rectangle)

आयत के सभी 4 कोण समकोण होते हैं। इसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं। वर्ग एक विशेष आयत है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।

आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं

लंबाई (Length) = a इकाई और चौड़ाई (Width) = b इकाई

🔸 परिमाप = 2 × (लंबाई + चौड़ाई) = 2(a + b) इकाई

🔸 क्षेत्रफल = (लंबाई × चौड़ाई) = ab वर्ग इकाई

🔸 विकर्ण इकाई

⭐ आयताकार क्षेत्र के चारों ओर रास्ते का क्षेत्रफल

ये सूत्र समान चौड़ाई वाले रास्ते के लिए हैं, जिसकी भीतरी और बाहरी सीमाएँ आयताकार हैं। भीतर के रास्ते के लिए d > 0 और होना चाहिए।

🔸 भीतर की ओर d चौड़े रास्ते का क्षेत्रफल 2d × (a + b − 2d) वर्ग इकाई।

🔸 बाहर की ओर d चौड़े रास्ते का क्षेत्रफल 2d × (a + b + 2d) वर्ग इकाई।

✍️ आयत के अभ्यास प्रश्न

🔸 1. आयत की लंबाई 18 सेमी और चौड़ाई 11 सेमी है। उसका क्षेत्रफल निकालो।

🔸 2. आयत का विकर्ण 13 सेमी और एक भुजा 12 सेमी है। उसका क्षेत्रफल निकालो।

🔸 3. आयत की भुजाओं का अनुपात 8:5 और क्षेत्रफल 360 वर्ग मीटर है। उसका परिमाप निकालो।

🔸 4. वर्ग और आयत के विकर्ण बराबर हैं। आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई की दोगुनी है। वर्ग और आयत के क्षेत्रफलों का अनुपात निकालो।

समांतर चतुर्भुज (Parallelogram)

समांतर चतुर्भुज की दोनों जोड़ी सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं। सन्निकट भुजाएँ a और b, आधार b तथा उसकी संगत लंबवत ऊँचाई h मानो। ऊँचाई आधार और उसकी सम्मुख भुजा के बीच की लंबवत दूरी है।

समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं

सन्निकट भुजाएँ a और b; आधार b तथा उसकी संगत लंबवत ऊँचाई h

🔸 परिमाप = 2 × (सन्निकट भुजाओं की लंबाइयों का योग) = 2(a + b) इकाई

🔸 क्षेत्रफल = (आधार × संगत लंबवत ऊँचाई) = bh वर्ग इकाई

ध्यान दो: तिरछी भुजा लंबवत ऊँचाई नहीं है। आधार b के लिए क्षेत्रफल bh है, ab नहीं, जब तक बीच का कोण 90° न हो।

क्यों? समांतर चतुर्भुज के उपयुक्त टुकड़ों को काटकर और फिर से व्यवस्थित करके समान आधार और लंबवत ऊँचाई वाला आयत बनता है। क्षेत्रफल नहीं बदलता, इसलिए क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई।

समचतुर्भुज (Rhombus)

समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी 4 भुजाएँ बराबर होती हैं। इसके कोणों का समकोण होना आवश्यक नहीं है। वर्ग एक विशेष समचतुर्भुज है।

समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं

प्रत्येक भुजा की लंबाई a और उसकी संगत लंबवत ऊँचाई h है

🔸 परिमाप = 4 × भुजा की लंबाई = 4a इकाई

🔸 क्षेत्रफल = (भुजा × संगत लंबवत ऊँचाई) = ah वर्ग इकाई

⭐ विकर्णों से समचतुर्भुज का क्षेत्रफल

समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। यदि उनकी लंबाइयाँ और हों, तो

क्यों? विकर्ण समचतुर्भुज को 4 समकोण त्रिभुजों में बाँटते हैं। उनके क्षेत्रफलों का योग विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है।

समलंब चतुर्भुज (Trapezium)

यहाँ समलंब चतुर्भुज से ऐसी आकृति का अर्थ है जिसकी केवल 1 जोड़ी सम्मुख भुजाएँ समांतर हों। समांतर भुजाओं की लंबाइयाँ a और b तथा उनके बीच की लंबवत दूरी h मानो।

समलंब चतुर्भुज की एक जोड़ी सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं

समांतर भुजाएँ a और b; उनके बीच लंबवत दूरी h

🔸 क्षेत्रफल = 1/2 (a + b)h वर्ग इकाई

यदि अन्य भुजाएँ c और e हों, तो परिमाप a + b + c + e इकाई। केवल समांतर भुजाओं और ऊँचाई से परिमाप निर्धारित नहीं होता।

क्यों? एक विकर्ण समलंब चतुर्भुज को 2 त्रिभुजों में बाँटता है। उनके आधार a और b तथा समान ऊँचाई h होती है। दोनों के क्षेत्रफल जोड़ने पर सूत्र मिलता है।

👉 पतंगाकार चतुर्भुज (Kite)

उत्तल पतंगाकार चतुर्भुज में सन्निकट बराबर भुजाओं की 2 अलग जोड़ियाँ होती हैं। इसके विकर्ण परस्पर लंबवत होते हैं।

यदि बराबर भुजाओं की जोड़ियों की लंबाइयाँ a, a और b, b हों, तो परिमाप 2(a + b)।

यदि विकर्णों की लंबाइयाँ और हों, तो

वर्ग इकाई।

ध्यान दो: विकर्ण लंबवत हों, तभी उनके गुणनफल का आधा क्षेत्रफल देता है। यह सूत्र हर चतुर्भुज पर लागू नहीं होता।

👉 सामान्य उत्तल चतुर्भुज का क्षेत्रफल

उत्तल चतुर्भुज ABCD में विकर्ण AC की लंबाई k मानो। सम्मुख शीर्षों B और D से AC या उसके विस्तार पर खींचे गए लंबों की लंबाइयाँ और हैं।

विकर्ण चतुर्भुज को 2 त्रिभुजों में बाँटता है। उनके क्षेत्रफल जोड़ने पर यह सूत्र मिलता है। सामान्यतः केवल 4 भुजाओं की लंबाइयों से चतुर्भुज का क्षेत्रफल निर्धारित नहीं होता।

👉 सरल हल सहित उदाहरण

✏️ उदाहरण 1: वर्ग

वर्ग की भुजा 5 सेमी है। उसका क्षेत्रफल और परिमाप निकालो।

हल: क्षेत्रफल 5² = 25 वर्ग सेमी; परिमाप 4 × 5 = 20 सेमी।

उत्तर: क्षेत्रफल 25 वर्ग सेमी; परिमाप 20 सेमी।

✏️ उदाहरण 2: वर्गाकार बगीचे के भीतर रास्ता

वर्गाकार बगीचे की भुजा 10 मीटर है। उसकी सीमा के भीतर 1 मीटर चौड़ा रास्ता है। रास्ते का क्षेत्रफल निकालो।

हल: बचे हुए भीतरी वर्ग की भुजा 10 − 2 × 1 = 8 मीटर।

रास्ते का क्षेत्रफल 10² − 8² = 100 − 64 = 36 वर्ग मीटर।

सूत्र से भी 4d(a − d) = 4 × 1 × (10 − 1) = 36 वर्ग मीटर मिलता है।

उत्तर: 36 वर्ग मीटर।

✏️ उदाहरण 3: आयत का क्षेत्रफल, परिमाप और विकर्ण

आयत की लंबाई 4 सेमी और चौड़ाई 3 सेमी है। उसका क्षेत्रफल, परिमाप और विकर्ण निकालो।

हल: क्षेत्रफल 4 × 3 = 12 वर्ग सेमी।

परिमाप 2(4 + 3) = 14 सेमी।

विकर्ण सेमी।

उत्तर: क्षेत्रफल 12 वर्ग सेमी, परिमाप 14 सेमी, विकर्ण 5 सेमी।

✏️ उदाहरण 4: आयत के बाहर रास्ता

आयताकार बगीचा 8 मीटर लंबा और 5 मीटर चौड़ा है। बाहर की ओर 1 मीटर चौड़ा रास्ता है, जिसकी बाहरी सीमा आयताकार है। रास्ते का क्षेत्रफल निकालो।

हल: रास्ते सहित लंबाई 8 + 2 = 10 मीटर और चौड़ाई 5 + 2 = 7 मीटर।

रास्ते का क्षेत्रफल 10 × 7 − 8 × 5 = 70 − 40 = 30 वर्ग मीटर।

सूत्र से भी 2 × 1 × (8 + 5 + 2 × 1) = 30 वर्ग मीटर मिलता है।

उत्तर: 30 वर्ग मीटर।

✏️ उदाहरण 5: समांतर चतुर्भुज

समांतर चतुर्भुज का आधार 8 सेमी, सन्निकट भुजा 5 सेमी और लंबवत ऊँचाई 4 सेमी है। उसका क्षेत्रफल और परिमाप निकालो।

हल: क्षेत्रफल 8 × 4 = 32 वर्ग सेमी।

परिमाप 2(8 + 5) = 26 सेमी।

उत्तर: क्षेत्रफल 32 वर्ग सेमी; परिमाप 26 सेमी। क्षेत्रफल के लिए ऊँचाई 4 सेमी लो, तिरछी भुजा 5 सेमी नहीं।

✏️ उदाहरण 6: समचतुर्भुज

समचतुर्भुज के विकर्ण 6 सेमी और 8 सेमी हैं। उसका क्षेत्रफल और परिमाप निकालो।

हल: क्षेत्रफल (1/2) × 6 × 8 = 24 वर्ग सेमी।

विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, इसलिए भुजा की लंबाई है

सेमी।

परिमाप 4 × 5 = 20 सेमी।

उत्तर: क्षेत्रफल 24 वर्ग सेमी; परिमाप 20 सेमी।

✏️ उदाहरण 7: समलंब चतुर्भुज

समलंब चतुर्भुज की समांतर भुजाएँ 8 सेमी और 12 सेमी तथा ऊँचाई 5 सेमी है। उसका क्षेत्रफल निकालो।

हल:

वर्ग सेमी।

उत्तर: 50 वर्ग सेमी।

✏️ उदाहरण 8: पतंगाकार चतुर्भुज

उत्तल पतंगाकार चतुर्भुज के विकर्ण 10 सेमी और 6 सेमी हैं। उसका क्षेत्रफल निकालो।

हल: क्षेत्रफल (1/2) × 10 × 6 = 30 वर्ग सेमी।

उत्तर: 30 वर्ग सेमी।

✅ पिछले अभ्यास प्रश्नों के उत्तर और संक्षिप्त हल

वर्ग के अभ्यास प्रश्नों के उत्तर

🔸 1. क्षेत्रफल 9² = 81 वर्ग सेमी; परिमाप 4 × 9 = 36 सेमी।

🔸 2. क्षेत्रफल वर्ग मीटर।

🔸 3. भुजा √169 = 13 मीटर; विकर्ण मीटर।

🔸 4. भुजा √225 = 15 मीटर; परिमाप 60 मीटर; लागत 60 × 3.50 = 210 रुपये।

🔸 5. भुजाएँ 2x और 3x मीटर मानो। तब 4x² + 9x² = 325, इसलिए x² = 25 और x = 5। भुजाएँ 10 मीटर और 15 मीटर हैं। परिमापों का योग 4(10 + 15) = 100 मीटर।

🔸 6. मूल भुजा a सेमी मानो। तब a² − (a − 2)² = 60, इसलिए 4a − 4 = 60 और a = 16। परिमाप 4 × 16 = 64 सेमी।

आयत के अभ्यास प्रश्नों के उत्तर

🔸 1. क्षेत्रफल 18 × 11 = 198 वर्ग सेमी।

🔸 2. दूसरी भुजा सेमी; क्षेत्रफल 12 × 5 = 60 वर्ग सेमी।

🔸 3. माप 8x और 5x मीटर मानो। तब 40x² = 360, जिससे x = 3। माप 24 मीटर और 15 मीटर हैं; परिमाप 2(24 + 15) = 78 मीटर।

🔸 4. आयत की चौड़ाई x और लंबाई 2x मानो। उसके विकर्ण का वर्ग 5x² है। वर्ग का क्षेत्रफल 5x²/2; आयत का क्षेत्रफल 2x²। अभीष्ट अनुपात 5:4।

✍️ स्वयं हल करो

🔸 1. आधार 9 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालो।

🔸 2. 10 सेमी और 12 सेमी विकर्ण वाले समचतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालो।

🔸 3. 6 सेमी और 10 सेमी समांतर भुजाओं तथा 3 सेमी ऊँचाई वाले समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालो।

🔸 4. उत्तल चतुर्भुज का एक विकर्ण 10 सेमी है। अन्य 2 शीर्षों की उससे लंबवत दूरियाँ 3 सेमी और 4 सेमी हैं। क्षेत्रफल निकालो।

उत्तर: 1. 36 वर्ग सेमी; 2. 60 वर्ग सेमी; 3. 24 वर्ग सेमी; 4. 35 वर्ग सेमी।

🧠 याद रखने योग्य मुख्य बातें

• परिमाप और क्षेत्रफल: परिमाप सीमा की लंबाई है; क्षेत्रफल घिरे हुए भाग का माप है।
• इकाइयाँ: परिमाप के लिए लंबाई की इकाई और क्षेत्रफल के लिए वर्ग इकाई लिखो। गणना से पहले सभी मापों की इकाइयाँ समान करो।
• ऊँचाई: चुने हुए आधार की संगत लंबवत ऊँचाई लो, तिरछी भुजा नहीं।
• विकर्णों का सूत्र: विकर्णों के गुणनफल का आधा समचतुर्भुज या उत्तल पतंगाकार चतुर्भुज का क्षेत्रफल देता है; यह हर चतुर्भुज के लिए सही नहीं है।
• भीतरी रास्ता: प्रत्येक मूल माप से 2d घटाओ, क्योंकि रास्ता दोनों ओर है।
• बाहरी रास्ता: वर्गाकार या आयताकार बाहरी सीमा होने पर प्रत्येक मूल माप में 2d जोड़ो। गोल कोनों वाले रास्ते पर यही सूत्र सीधे लागू नहीं होता।
• बाड़ की लागत: बाड़ की कुल लंबाई को प्रति इकाई लंबाई की दर से गुणा करो। फाटक की जगह खुली छोड़नी हो, तो पहले उसकी लंबाई घटाओ।

💡 त्वरित पुनरावृत्ति

यहाँ h संगत लंबवत ऊँचाई है और विकर्णों की लंबाइयाँ हैं।