त्रिभुज का परिमाप और क्षेत्रफल
त्रिभुजाकार बगीचे के चारों ओर बाड़ लगाने के लिए कितनी बाड़ चाहिए? यह जानने के लिए उसका परिमाप (Perimeter) चाहिए। बगीचे में कितनी जगह पर घास लगाई जा सकती है, यह जानने के लिए उसका क्षेत्रफल (Area) चाहिए।
इस पाठ में हम त्रिभुज का परिमाप, आधार और ऊँचाई से क्षेत्रफल, हीरोन का सूत्र तथा समबाहु और समद्विबाहु त्रिभुजों के सूत्र सीखेंगे।
👉 त्रिभुज के परिमाप और क्षेत्रफल के सामान्य सूत्र
⭐ परिमाप (Perimeter)
त्रिभुज की 3 भुजाओं की लंबाइयों के योग को उसका परिमाप कहते हैं।
यदि भुजाओं की लंबाइयाँ a, b, c हों:
इकाइयाँ: सेमी, मीटर आदि।
⭐ आधार और ऊँचाई (Base and Height)
त्रिभुज की किसी भी भुजा को आधार मान सकते हैं। सम्मुख शीर्ष से उस भुजा या उसके बढ़ाए गए भाग तक की लंबवत दूरी, उस आधार की संगत ऊँचाई होती है।
याद रखो: ऊँचाई दर्शाने वाला लंब हमेशा चुने गए आधार के साथ समकोण बनाता है। किसी भी तिरछी भुजा को ऊँचाई नहीं मान सकते।
⭐ क्षेत्रफल (Area)
यदि आधार की लंबाई b और संगत ऊँचाई h हो:
अर्थात क्षेत्रफल = × आधार × ऊँचाई।
यह सूत्र सभी प्रकार के त्रिभुजों पर लागू होता है।
इकाइयाँ: वर्ग सेमी, वर्ग मीटर आदि।
✏️ उदाहरण 1: आधार और ऊँचाई से क्षेत्रफल
एक त्रिभुज का आधार 8 सेमी और संगत ऊँचाई 5 सेमी है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात करो।
हल:
उत्तर: क्षेत्रफल 20 वर्ग सेमी है।
सामान्यतः केवल आधार और ऊँचाई से त्रिभुज का परिमाप ज्ञात नहीं किया जा सकता। इसके लिए बाकी भुजाओं की लंबाइयाँ या अतिरिक्त जानकारी चाहिए।
👉 विषमबाहु त्रिभुज (Scalene Triangle)
जिस त्रिभुज की 3 भुजाओं की लंबाइयाँ एक-दूसरे से अलग हों, उसे विषमबाहु त्रिभुज कहते हैं।
अर्थात AB ≠ BC, BC ≠ CA और CA ≠ AB।
त्रिभुज का आधार और संगत ऊँचाई
विषमबाहु त्रिभुज न्यूनकोण, अधिककोण या समकोण त्रिभुज हो सकता है।
- न्यूनकोण त्रिभुज में तीनों शीर्षों से खींचे गए लंब त्रिभुज के अंदर होते हैं।
- अधिककोण त्रिभुज में दोनों न्यूनकोण वाले शीर्षों से खींचे गए लंब, सम्मुख भुजाओं के बढ़ाए गए भागों पर मिलते हैं और त्रिभुज के बाहर होते हैं। अधिककोण वाले शीर्ष से खींचा गया लंब अंदर होता है।
- समकोण त्रिभुज में परस्पर लंब भुजाओं में से एक को आधार मानने पर दूसरी संगत ऊँचाई होती है।
यदि आधार AB और संगत ऊँचाई h हो:
👉 हीरोन का सूत्र (Heron's Formula)
त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाइयाँ ज्ञात हों, तो ऊँचाई अलग से निकाले बिना हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल निकाल सकते हैं।
हीरोन के सूत्र से त्रिभुज का क्षेत्रफल
भुजाओं की लंबाइयाँ a, b, c और अर्धपरिमाप s
यदि भुजाओं की लंबाइयाँ a, b, c हों:
परिमाप:
अर्धपरिमाप (Semiperimeter):
क्षेत्रफल:
याद रखो: हीरोन का सूत्र सभी प्रकार के त्रिभुजों पर लागू होता है, जिनमें समद्विबाहु और समबाहु त्रिभुज भी शामिल हैं।
दी गई लंबाइयों से त्रिभुज बनना संभव होना चाहिए। प्रत्येक लंबाई धनात्मक होनी चाहिए और किन्हीं 2 भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होना चाहिए।
✏️ उदाहरण 2: हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल
एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाइयाँ 5 सेमी, 5 सेमी और 6 सेमी हैं। उसका परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात करो।
हल:
परिमाप = 5 + 5 + 6 = 16 सेमी।
अर्धपरिमाप:
हीरोन के सूत्र से:
उत्तर: परिमाप 16 सेमी और क्षेत्रफल 12 वर्ग सेमी है।
यह त्रिभुज समद्विबाहु है, फिर भी हीरोन का सूत्र लागू होता है।
👉 क्षेत्रफल से त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात करना
यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल A और चुने गए आधार की लंबाई b हो:
यदि तीनों भुजाएँ ज्ञात हों, तो पहले हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल निकालो। फिर चुने गए आधार की सहायता से उसकी संगत ऊँचाई निकालो।
जैसे, भुजा c को आधार मानने पर:
यहाँ एक ही त्रिभुज के क्षेत्रफल के 2 अलग-अलग व्यंजकों को बराबर रखा गया है।
✏️ उदाहरण 3: क्षेत्रफल से ऊँचाई
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 30 वर्ग सेमी और आधार 10 सेमी है। उसकी संगत ऊँचाई कितनी है?
हल:
उत्तर: ऊँचाई 6 सेमी है।
👉 समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle)
जिस त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर हों, उसे समबाहु त्रिभुज कहते हैं।
समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई और क्षेत्रफल
मान लो, AB = BC = CA = a।
परिमाप:
ऊँचाई:
क्षेत्रफल:
📚 ऊँचाई और क्षेत्रफल के सूत्र कैसे प्राप्त होते हैं?
समबाहु त्रिभुज के किसी शीर्ष से सम्मुख भुजा पर खींचा गया लंब उस भुजा को 2 बराबर भागों में बाँटता है।
पाइथागोरस प्रमेय से:
अतः:
अब आधार और ऊँचाई वाले सूत्र से:
✏️ उदाहरण 4: समबाहु त्रिभुज का परिमाप, ऊँचाई और क्षेत्रफल
एक समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई 4 सेमी है। उसका परिमाप, ऊँचाई और क्षेत्रफल ज्ञात करो।
हल:
परिमाप = 3 × 4 = 12 सेमी।
ऊँचाई:
क्षेत्रफल:
उत्तर: परिमाप 12 सेमी, ऊँचाई सेमी और क्षेत्रफल वर्ग सेमी है।
📚 अतिरिक्त जानकारी: अंदर के एक बिंदु से भुजाओं की दूरियाँ
समबाहु त्रिभुज के अंदर के बिंदु से भुजाओं की लंबवत दूरियाँ
समबाहु त्रिभुज ABC के अंदर कोई बिंदु O लो।
मान लो, O से भुजाओं AB, BC, CA की लंबवत दूरियाँ क्रमशः p, q, r हैं। त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई a और ऊँचाई h है।
OA, OB, OC को मिलाने पर मूल त्रिभुज 3 छोटे त्रिभुजों में बँट जाता है।
तीनों छोटे त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग = मूल त्रिभुज का क्षेत्रफल।
इसलिए:
दोनों पक्षों को धनात्मक राशि से भाग देने पर:
अर्थात समबाहु त्रिभुज के अंदर के किसी भी बिंदु से तीनों भुजाओं की लंबवत दूरियों का योग त्रिभुज की ऊँचाई के बराबर होता है।
जैसे, ऊँचाई 9 सेमी हो और 2 लंबवत दूरियाँ 2 सेमी तथा 3 सेमी हों, तो शेष दूरी = 9 − 2 − 3 = 4 सेमी।
👉 समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle)
जिस त्रिभुज की कम-से-कम 2 भुजाएँ बराबर हों, उसे समद्विबाहु त्रिभुज कहते हैं। इस परिभाषा के अनुसार, समबाहु त्रिभुज भी समद्विबाहु त्रिभुज का एक विशेष रूप है।
यहाँ दोनों बराबर भुजाओं में से प्रत्येक की लंबाई a और आधार की लंबाई b है।
समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप, ऊँचाई और क्षेत्रफल
मान लो, AB = AC = a और BC = b।
परिमाप:
आधार की संगत ऊँचाई:
क्षेत्रफल:
यहाँ a और b धनात्मक होने चाहिए तथा b का मान 2a से कम होना चाहिए।
इकाइयों पर ध्यान दो: ऊँचाई को लंबाई की इकाइयों में और क्षेत्रफल को वर्ग इकाइयों में व्यक्त करो।
📚 ऊँचाई का सूत्र कैसे प्राप्त होता है?
दोनों बराबर भुजाओं के मिलन-बिंदु से आधार पर खींचा गया लंब, आधार को 2 बराबर भागों में बाँटता है। प्रत्येक भाग की लंबाई होती है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
इस समीकरण को व्यवस्थित करके धनात्मक वर्गमूल लेने पर ऊँचाई का सूत्र मिलता है।
✏️ उदाहरण 5: समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप, ऊँचाई और क्षेत्रफल
एक समद्विबाहु त्रिभुज की दोनों बराबर भुजाओं में से प्रत्येक की लंबाई 5 सेमी और आधार 6 सेमी है। उसका परिमाप, ऊँचाई और क्षेत्रफल ज्ञात करो।
हल:
परिमाप = 2 × 5 + 6 = 16 सेमी।
आधार पर खींचा गया लंब उसे 2 बराबर भागों में बाँटता है। प्रत्येक भाग = 6 ÷ 2 = 3 सेमी।
इसलिए:
क्षेत्रफल:
उत्तर: परिमाप 16 सेमी, ऊँचाई 4 सेमी और क्षेत्रफल 12 वर्ग सेमी है।
उदाहरण 2 में इसी त्रिभुज का क्षेत्रफल हीरोन के सूत्र से निकाला था। दोनों विधियों से एक ही उत्तर मिला।
👉 समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल (Right Triangle Area)
समकोण त्रिभुज की परस्पर लंब भुजाओं में से एक को आधार मानने पर दूसरी उसकी संगत ऊँचाई होती है।
यदि परस्पर लंब भुजाओं की लंबाइयाँ p और q हों:
ध्यान रखो: कर्ण को आधार मानने पर समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर खींचे गए लंब की लंबाई को संगत ऊँचाई लेना होगा।
✏️ उदाहरण 6: समकोण त्रिभुज का परिमाप और क्षेत्रफल
एक समकोण त्रिभुज की परस्पर लंब भुजाओं की लंबाइयाँ 3 सेमी और 4 सेमी तथा कर्ण की लंबाई 5 सेमी है। उसका परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात करो।
हल:
परिमाप = 3 + 4 + 5 = 12 सेमी।
क्षेत्रफल:
उत्तर: परिमाप 12 सेमी और क्षेत्रफल 6 वर्ग सेमी है।
👉 कौन-सी जानकारी होने पर कौन-सा सूत्र लगाएँ?
| दी गई जानकारी | उपयोगी सूत्र |
|---|---|
| भुजाओं की लंबाइयाँ a, b, c; परिमाप ज्ञात करना है | P = a + b + c |
| आधार b और संगत ऊँचाई h | |
| तीनों भुजाओं की लंबाइयाँ; क्षेत्रफल ज्ञात करना है | हीरोन का सूत्र |
| समबाहु त्रिभुज की भुजा a | |
| समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजा a और आधार b | |
| समकोण त्रिभुज की परस्पर लंब भुजाएँ p, q | |
| क्षेत्रफल A और आधार b; ऊँचाई ज्ञात करनी है |
🧠 याद रखने योग्य महत्वपूर्ण बातें
⭐ परिमाप सीमा की कुल लंबाई है; क्षेत्रफल उसके अंदर के समतल भाग का माप है।
⭐ सूत्र में मान रखने से पहले सभी लंबाइयों को एक ही इकाई में व्यक्त करो।
⭐ परिमाप और ऊँचाई की इकाइयाँ सेमी या मीटर हैं; क्षेत्रफल की इकाइयाँ वर्ग सेमी या वर्ग मीटर हैं।
⭐ क्षेत्रफल के सूत्र में चुने गए आधार की संगत लंबवत ऊँचाई लो।
⭐ हीरोन के सूत्र में s अर्धपरिमाप है, पूरा परिमाप नहीं।
⭐ किन्हीं भी 3 धनात्मक लंबाइयों से त्रिभुज नहीं बनता। जैसे, 2 सेमी, 3 सेमी और 5 सेमी से त्रिभुज नहीं बनता, क्योंकि 2 + 3 = 5।
⭐ समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई उसकी भुजा के बराबर नहीं होती।
⭐ समद्विबाहु त्रिभुज में दोनों बराबर भुजाओं के मिलन-बिंदु से आधार पर खींचा गया लंब, आधार को 2 बराबर भागों में बाँटता है।
✍️ स्वयं प्रयास करो
🔹 1. एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाइयाँ 4 सेमी, 5 सेमी और 6 सेमी हैं। उसका परिमाप ज्ञात करो।
🔹 2. एक त्रिभुज का आधार 12 सेमी और संगत ऊँचाई 7 सेमी है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात करो।
🔹 3. एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाइयाँ 13 सेमी, 14 सेमी और 15 सेमी हैं। हीरोन के सूत्र से उसका क्षेत्रफल ज्ञात करो।
🔹 4. एक समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई 6 सेमी है। उसका परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात करो।
🔹 5. एक समद्विबाहु त्रिभुज की दोनों बराबर भुजाओं में से प्रत्येक की लंबाई 10 सेमी और आधार 12 सेमी है। उसकी ऊँचाई और क्षेत्रफल ज्ञात करो।
🔹 6. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 36 वर्ग सेमी और आधार 9 सेमी है। उसकी संगत ऊँचाई ज्ञात करो।
अपने उत्तर जाँचो
🔸 1. परिमाप = 15 सेमी।
🔸 2. क्षेत्रफल = 42 वर्ग सेमी।
🔸 3. अर्धपरिमाप = 21 सेमी; क्षेत्रफल = 84 वर्ग सेमी।
🔸 4. परिमाप = 18 सेमी; क्षेत्रफल = वर्ग सेमी।
🔸 5. ऊँचाई = 8 सेमी; क्षेत्रफल = 48 वर्ग सेमी।
🔸 6. ऊँचाई = 8 सेमी।
💡 त्वरित पुनरावृत्ति
🔹 परिमाप: P = a + b + c।
🔹 क्षेत्रफल का सामान्य सूत्र: ।
🔹 अर्धपरिमाप: ।
🔹 हीरोन का सूत्र: ।
🔹 समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल: ।
🔹 समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल: ।
🔹 क्षेत्रफल से ऊँचाई: ।
