वृत्त की परिधि, क्षेत्रफल और त्रिज्यखंड
🎯 इस पाठ में तुम क्या सीखोगे?
👉 वृत्त के व्यास, त्रिज्या और π का संबंध समझना।
👉 वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल निकालना।
👉 अर्धवृत्त के चाप की लंबाई और परिमाप में अंतर समझना।
👉 वृत्ताकार और अर्धवृत्ताकार वलय का क्षेत्रफल निकालना।
👉 केंद्रीय कोण से त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई, क्षेत्रफल और परिमाप निकालना।
👉 वर्ग और समबाहु त्रिभुज के अंतःवृत्त तथा परिवृत्त का संबंध समझना।
👉 प्रश्नों में सही सूत्रों और इकाइयों का उपयोग करना।
वृत्ताकार बगीचे के चारों ओर कितनी बाड़ चाहिए? इसके लिए उसकी परिधि (Circumference) निकालते हैं। कितनी जगह पर घास लग सकती है, यह जानने के लिए क्षेत्रफल (Area) चाहिए। पिज़्ज़ा के टुकड़े जैसे भाग के लिए त्रिज्यखंड (Sector) के सूत्र काम आते हैं।
इस पाठ में वृत्त, अर्धवृत्त, वलय और त्रिज्यखंड के सूत्र, सरल प्रश्न तथा वर्ग और समबाहु त्रिभुज से वृत्त के संबंध सीखेंगे।
👉 वृत्त (Circle)
समतल में एक निश्चित बिंदु से निश्चित धनात्मक दूरी पर स्थित सभी बिंदुओं के समुच्चय को वृत्त कहते हैं। निश्चित बिंदु केंद्र (Centre) और दूरी त्रिज्या (Radius) कहलाती है।
केंद्र से गुजरने वाला वह रेखाखंड जिसके दोनों सिरे वृत्त पर हों, व्यास (Diameter) कहलाता है। व्यास की लंबाई त्रिज्या की दोगुनी होती है।
ध्यान दो: परिधि वृत्त की सीमा की लंबाई है। वृत्त के क्षेत्रफल से तात्पर्य उस सीमा से घिरे समतल भाग के क्षेत्रफल से है।
प्रत्येक वृत्त के लिए परिधिव्यास = एक नियतांक।
इस नियतांक को π (पाई) कहते हैं। यह एक अपरिमेय संख्या है, जिसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।
गणना के लिए प्रश्न के अनुसार या π ≈ 3.14 लेते हैं। 227 और 3.14 सन्निकट मान हैं, π के सटीक मान नहीं।
वृत्त
मान लो, व्यास = AB = d और त्रिज्या = OB = r।
🔹 त्रिज्या = × व्यास (∴ )
🔹 वृत्त की परिधि = π × व्यास = πd = 2πr (∵ d = 2r)
🔹 वृत्त का क्षेत्रफल = π × (त्रिज्या)2 = πr2
👉 अर्धवृत्त (Semicircle)
एक व्यास वृत्त के अंदर के भाग को 2 समान अर्धवृत्ताकार क्षेत्रों में बाँटता है। प्रत्येक की सीमा में एक अर्धवृत्ताकार चाप और एक व्यास होता है।
अर्धवृत्त
🔹 अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = × वृत्त का क्षेत्रफल = πr2
🔹 अर्धवृत्ताकार चाप की लंबाई, अर्थात वृत्त की आधी परिधि = πr
🔹 अर्धवृत्त का परिमाप = अर्धवृत्ताकार चाप की लंबाई + व्यास = πr + 2r = r(π + 2)
👉 वृत्ताकार वलय (Circular Ring or Annulus)
एक ही केंद्र वाले अलग-अलग त्रिज्याओं के 2 वृत्तों के बीच का क्षेत्र वृत्ताकार वलय कहलाता है। बाहरी त्रिज्या भीतरी त्रिज्या से बड़ी होती है: R > r > 0।
वृत्ताकार वलय
मान लो, बाहरी त्रिज्या = R और भीतरी त्रिज्या = r।
🔹 वलय की चौड़ाई = R − r
🔹 वलय का क्षेत्रफल = बाहरी वृत्त का क्षेत्रफल − भीतरी वृत्त का क्षेत्रफल = πR2 − πr2 = π(R + r)(R − r)
👉 अर्धवृत्ताकार वलय (Semicircular Ring)
केंद्र से गुजरती रेखा वृत्ताकार वलय को 2 समान अर्धवृत्ताकार वलयों में बाँटती है। प्रत्येक की सीमा में 2 अर्धवृत्ताकार चाप और 2 सीधे रेखाखंड होते हैं।
अर्धवृत्ताकार वलय
मान लो, बाहरी त्रिज्या = R और भीतरी त्रिज्या = r।
🔹 चौड़ाई = R − r
🔹 अर्धवृत्ताकार वलय का क्षेत्रफल = ।
🔹 अर्धवृत्ताकार वलय का परिमाप = बाहरी अर्धवृत्ताकार चाप की लंबाई + भीतरी अर्धवृत्ताकार चाप की लंबाई + 2 × चौड़ाई
🔹 अर्धवृत्ताकार वलय का परिमाप = πR + πr + 2(R − r) = π(R + r) + 2(R − r)
👉 वृत्त का त्रिज्यखंड (Sector)
वृत्त का त्रिज्यखंड
2 त्रिज्याओं और उनके सिरों को जोड़ने वाले चाप से घिरा क्षेत्र त्रिज्यखंड (Sector) कहलाता है। चुने हुए चाप के अनुसार यह लघु या दीर्घ त्रिज्यखंड हो सकता है; 180° का त्रिज्यखंड अर्धवृत्त होता है।
मान लो, केंद्र O, त्रिज्या r और केंद्रीय कोण θ° है। संबंधित चाप की लंबाई को l से दर्शाते हैं।
चाप और जीवा अलग हैं: चाप वृत्त की सीमा का वक्र भाग है; जीवा उसके सिरों को जोड़ने वाला सीधा रेखाखंड है। नीचे के सूत्रों में चाप की लंबाई लेनी है।
⭐ जब केंद्रीय कोण डिग्री में दिया हो
पूर्ण वृत्त का केंद्रीय कोण 360° होता है। इसलिए θ° कोण का त्रिज्यखंड पूर्ण वृत्त का भाग है।
🔹 चाप की लंबाई:
🔹 त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल:
🔹 चाप की लंबाई ज्ञात होने पर:
🔹 त्रिज्यखंड का परिमाप = चाप की लंबाई + 2 त्रिज्याएँ:
परिमाप का यह सूत्र 0° से अधिक और 360° से कम कोण वाले त्रिज्यखंडों के लिए है। पूर्ण वृत्त की परिधि में 2 त्रिज्याएँ नहीं जोड़ते।
⭐ अतिरिक्त जानकारी: कोण रेडियन में हो तो
यदि एक ही कोण का डिग्री मान θ और रेडियन मान φ हो:
तब:
याद रखो: l = rφ में कोण रेडियन में होना चाहिए। डिग्री का मान सीधे मत रखो।
👉 वृत्त में अंतर्लिखित वर्ग (Inscribed Square)
वृत्त में अंतर्लिखित वर्ग
अंतर्लिखित वर्ग के चारों शीर्ष वृत्त पर होते हैं।
🔹 अंतर्लिखित वर्ग का विकर्ण = वृत्त का व्यास = 2r।
🔹 वर्ग का क्षेत्रफल = = = 2r2
🔹 वर्ग का परिमाप = 4 × √2 × r = 4 √2 r
👉 वृत्त को परिवेष्टित करने वाला वर्ग (Circumscribed Square)
वृत्त को परिवेष्टित करने वाला वर्ग
जिस वर्ग की चारों भुजाएँ उसके अंदर स्थित वृत्त को स्पर्श करती हैं, उसकी भुजा = वृत्त का व्यास = 2r।
🔹 परिवेष्टित वर्ग का क्षेत्रफल = (2r)2 = 4r2
🔹 परिवेष्टित वर्ग का परिमाप = 4 × 2r = 8r
👉 वर्ग का अंतःवृत्त (Incircle)
वर्ग के अंदर स्थित वह वृत्त जो उसकी चारों भुजाओं को स्पर्श करता है, उसका अंतःवृत्त कहलाता है।
मान लो, वर्ग की भुजा = a।
वर्ग का अंतःवृत्त
🔹 अंतःवृत्त की त्रिज्या r =
🔹 परिधि = πa
🔹 क्षेत्रफल =
👉 वर्ग का परिवृत्त (Circumcircle)
वर्ग के चारों शीर्षों से गुजरने वाला वृत्त उसका परिवृत्त कहलाता है। यहाँ भी वर्ग की भुजा a है।
वर्ग का परिवृत्त
🔹 परिवृत्त का व्यास = वर्ग का विकर्ण = a × √2
🔹 परिवृत्त का क्षेत्रफल = =
🔹 परिवृत्त की परिधि = 2π × = πa × √2 = √2πa
👉 समबाहु त्रिभुज का अंतःवृत्त (Incircle)
मान लो, समबाहु त्रिभुज ABC की अंतःवृत्त त्रिज्या = r।
समबाहु त्रिभुज का अंतःवृत्त
समबाहु त्रिभुज का अंतःकेंद्र, परिकेंद्र और केंद्रक एक ही बिंदु पर होते हैं। केंद्रक माध्यिका को शीर्ष की ओर से 2 : 1 के अनुपात में बाँटता है। यहाँ शीर्षलंब भी माध्यिका है, इसलिए ऊँचाई h होने पर अंतःवृत्त त्रिज्या r = h/3 है।
🔹 त्रिभुज की ऊँचाई AD = h = 3r।
🔹 त्रिभुज की भुजा = a =
🔹 त्रिभुज का क्षेत्रफल =
🔹 त्रिभुज का परिमाप
👉 समबाहु त्रिभुज का परिवृत्त (Circumcircle)
परिकेंद्र से शीर्ष की दूरी ऊँचाई की होती है। इसलिए R = 2h/3 और r = h/3 से:
🔹 समबाहु त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या R = 2r।
🔹 परिवृत्त का क्षेत्रफल = πR2 = 4πr2
👉 सरल हल सहित उदाहरण
गणना का नियम: जहाँ π के लिए 22/7 लिया गया है, वहाँ संख्यात्मक उत्तर उसी सन्निकट मान पर आधारित हैं। प्रश्न में दिया मान लो; अन्यथा π के रूप में सटीक उत्तर भी दे सकते हो।
✏️ उदाहरण 1: वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल
एक वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है। उसकी परिधि और क्षेत्रफल निकालो। लो।
हल:
परिधि = 2π × 7 = 14π सेमी।
सेमी।
क्षेत्रफल = π × 7² = 49π वर्ग सेमी।
वर्ग सेमी।
उत्तर: परिधि लगभग 44 सेमी और क्षेत्रफल लगभग 154 वर्ग सेमी।
✏️ उदाहरण 2: व्यास से क्षेत्रफल
एक वृत्त का व्यास 10 सेमी है। उसका क्षेत्रफल निकालो।
हल: त्रिज्या = 10 ÷ 2 = 5 सेमी।
क्षेत्रफल = π × 5² = 25π वर्ग सेमी।
उत्तर: 25π वर्ग सेमी। π ≈ 3.14 लेने पर क्षेत्रफल लगभग 78.5 वर्ग सेमी।
ध्यान दो: क्षेत्रफल के सूत्र में व्यास 10 नहीं, त्रिज्या 5 रखनी है।
✏️ उदाहरण 3: अर्धवृत्त का क्षेत्रफल और परिमाप
एक अर्धवृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है। क्षेत्रफल और परिमाप निकालो। लो।
हल:
क्षेत्रफल = वर्ग सेमी।
अर्धवृत्ताकार चाप की लंबाई = 7π ≈ 22 सेमी।
परिमाप = चाप की लंबाई + व्यास = 7π + 14 ≈ 36 सेमी।
उत्तर: क्षेत्रफल लगभग 77 वर्ग सेमी, परिमाप लगभग 36 सेमी। केवल वक्र भाग की लंबाई लगभग 22 सेमी है।
✏️ उदाहरण 4: वृत्ताकार वलय का क्षेत्रफल
2 संकेंद्रीय वृत्तों की बाहरी त्रिज्या 7 सेमी और भीतरी त्रिज्या 3 सेमी है। वलय की चौड़ाई और क्षेत्रफल निकालो।
हल: चौड़ाई = 7 − 3 = 4 सेमी।
क्षेत्रफल = π(7² − 3²) = π(49 − 9) = 40π वर्ग सेमी।
उत्तर: चौड़ाई 4 सेमी, क्षेत्रफल 40π वर्ग सेमी।
याद रखो: क्षेत्रफल π(R − r)² नहीं है; सही सूत्र π(R² − r²) है।
✏️ उदाहरण 5: अर्धवृत्ताकार वलय का क्षेत्रफल और परिमाप
एक अर्धवृत्ताकार वलय की बाहरी त्रिज्या 5 सेमी और भीतरी त्रिज्या 3 सेमी है। क्षेत्रफल और परिमाप निकालो।
हल:
क्षेत्रफल = वर्ग सेमी।
परिमाप = π(5 + 3) + 2(5 − 3) = 8π + 4 सेमी।
उत्तर: क्षेत्रफल 8π वर्ग सेमी, परिमाप (8π + 4) सेमी।
✏️ उदाहरण 6: त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई, क्षेत्रफल और परिमाप
एक वृत्त की त्रिज्या 14 सेमी है। 90° केंद्रीय कोण वाले त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई, क्षेत्रफल और परिमाप निकालो। लो।
हल: त्रिज्यखंड पूर्ण वृत्त का 90/360 = 1/4 भाग है।
चाप की लंबाई:
सेमी।
क्षेत्रफल:
वर्ग सेमी।
परिमाप = l + 2r = 7π + 28 ≈ 50 सेमी।
उत्तर: चाप की लंबाई लगभग 22 सेमी, क्षेत्रफल लगभग 154 वर्ग सेमी, परिमाप लगभग 50 सेमी।
✏️ उदाहरण 7: वृत्त के अंदर और बाहर के वर्ग
एक वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। उसमें अंतर्लिखित वर्ग और उसे परिवेष्टित करने वाले वर्ग का क्षेत्रफल निकालो।
हल:
अंतर्लिखित वर्ग का क्षेत्रफल = 2r² = 2 × 5² = 50 वर्ग सेमी।
परिवेष्टित वर्ग का क्षेत्रफल = 4r² = 4 × 5² = 100 वर्ग सेमी।
उत्तर: अंदर के वर्ग का क्षेत्रफल 50 वर्ग सेमी और बाहर के वर्ग का 100 वर्ग सेमी।
✏️ उदाहरण 8: समबाहु त्रिभुज का अंतःवृत्त और परिवृत्त
एक समबाहु त्रिभुज की अंतःवृत्त त्रिज्या 2 सेमी है। उसकी ऊँचाई, भुजा और परिवृत्त त्रिज्या निकालो।
हल:
ऊँचाई = 3r = 3 × 2 = 6 सेमी।
भुजा = सेमी।
परिवृत्त त्रिज्या = R = 2r = 4 सेमी।
उत्तर: ऊँचाई 6 सेमी, भुजा सेमी, परिवृत्त त्रिज्या 4 सेमी।
🧠 याद रखने योग्य महत्वपूर्ण बातें
⭐ व्यास और त्रिज्या: d = 2r। क्षेत्रफल के सूत्र में त्रिज्या रखो।
⭐ इकाइयाँ: परिधि, चाप की लंबाई और परिमाप सेमी या मीटर में; क्षेत्रफल वर्ग सेमी या वर्ग मीटर में व्यक्त करो।
⭐ समान इकाइयाँ: सूत्र में रखने से पहले सभी लंबाइयों को एक ही इकाई में बदलो।
⭐ π का मान: 22/7 और 3.14 सन्निकट मान हैं। सटीक उत्तर चाहिए तो π के रूप में उत्तर दो।
⭐ अर्धवृत्त का परिमाप: वक्र भाग की लंबाई में व्यास जोड़ना होगा।
⭐ वलय का क्षेत्रफल: बाहरी वृत्त के क्षेत्रफल से भीतरी वृत्त का क्षेत्रफल घटाओ।
⭐ त्रिज्यखंड का परिमाप: चाप की लंबाई में 2 त्रिज्याएँ जोड़ो। केवल चाप की लंबाई परिमाप नहीं है।
⭐ डिग्री और रेडियन: θ डिग्री मान और φ रेडियन मान है। इनके संख्यात्मक मान सीधे मत बदलो।
⭐ समबाहु त्रिभुज: R = 2r संबंध समबाहु त्रिभुज के लिए है। हर त्रिभुज में यह समानता मत मानो।
✍️ स्वयं प्रयास करो
π के रूप में सटीक उत्तर दो; दशमलव मान आवश्यक नहीं हैं।
🔹 1. एक वृत्त की त्रिज्या 3 सेमी है। परिधि और क्षेत्रफल निकालो।
🔹 2. एक अर्धवृत्त की त्रिज्या 4 सेमी है। क्षेत्रफल और परिमाप निकालो।
🔹 3. एक वृत्ताकार वलय की बाहरी त्रिज्या 6 सेमी और भीतरी त्रिज्या 4 सेमी है। चौड़ाई और क्षेत्रफल निकालो।
🔹 4. एक त्रिज्यखंड की त्रिज्या 6 सेमी और केंद्रीय कोण 60° है। चाप की लंबाई, क्षेत्रफल और परिमाप निकालो।
🔹 5. एक वर्ग की भुजा 8 सेमी है। उसके अंतःवृत्त की त्रिज्या और क्षेत्रफल निकालो।
🔹 6. एक समबाहु त्रिभुज की अंतःवृत्त त्रिज्या 3 सेमी है। परिवृत्त की त्रिज्या और क्षेत्रफल निकालो।
अपने उत्तर जाँचो
🔸 1. परिधि 6π सेमी; क्षेत्रफल 9π वर्ग सेमी।
🔸 2. क्षेत्रफल 8π वर्ग सेमी; परिमाप (4π + 8) सेमी।
🔸 3. चौड़ाई 2 सेमी; क्षेत्रफल 20π वर्ग सेमी।
🔸 4. चाप की लंबाई 2π सेमी; क्षेत्रफल 6π वर्ग सेमी; परिमाप (2π + 12) सेमी।
🔸 5. त्रिज्या 4 सेमी; क्षेत्रफल 16π वर्ग सेमी।
🔸 6. परिवृत्त त्रिज्या 6 सेमी; क्षेत्रफल 36π वर्ग सेमी।
💡 त्वरित पुनरावृत्ति
⭐ वृत्त की परिधि = 2πr
⭐ वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
⭐ अर्धवृत्त का परिमाप = πr + 2r
⭐ वलय का क्षेत्रफल = π(R + r)(R − r)
⭐ त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई = × 2πr
⭐ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = × πr²
⭐ अंतर्लिखित वर्ग का क्षेत्रफल = 2r²
⭐ परिवेष्टित वर्ग का क्षेत्रफल = 4r²
⭐ त्रिज्यखंड का परिमाप = l + 2r (केंद्रीय कोण 0° से अधिक और 360° से कम)।
⭐ समबाहु त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या R = 2r, जहाँ r अंतःवृत्त त्रिज्या है।
