बहुभुज से संबंधित प्रमेय (Polygon Theorems)

यदि किसी बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात हो, तो उसके अंतःकोणों का योग, बहिःकोणों का योग और नियमित बहुभुज के प्रत्येक कोण का मान आसानी से निकाला जा सकता है। नीचे इन सूत्रों को प्रमाण और उदाहरणों के साथ चरणबद्ध तरीके से समझाया गया है।

⭐ n-भुजी उत्तल बहुभुज के अंतःकोणों का योग 2(n − 2) समकोण या (n − 2) × 180° होता है

n-भुजी उत्तल बहुभुज

एक शीर्ष से विकर्ण खींचने पर बहुभुज (n − 2) त्रिभुजों में विभाजित हो जाता है।

दिया है:	मान लें ABCDEFGH ... एक n-भुजी उत्तल बहुभुज है।
सिद्ध करना है:	इस बहुभुज के अंतःकोणों का योग 2(n − 2) समकोण या (n − 2) × 180° है।
रचना:	शीर्ष A से सभी असन्निकट शीर्षों तक विकर्ण खींचते हैं।
प्रमाण:	एक n-भुजी उत्तल बहुभुज एक शीर्ष से सभी संभव विकर्ण खींचने पर (n − 2) त्रिभुजों में विभाजित हो जाता है।
∴	बहुभुज के अंतःकोणों का योग
=	(n − 2) त्रिभुजों के अंतःकोणों के योग के बराबर
=	(n − 2) × 2 समकोण [क्योंकि एक त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 2 समकोण या 180° होता है]
=	2(n − 2) समकोण
=	(n − 2) × 180° [सिद्ध हुआ]

⭐ एक ही दिशा में लिए गए बहुभुज के बहिःकोणों का योग 360° होता है

n-भुजी बहुभुज के बहिःकोण

प्रत्येक शीर्ष पर एक ही दिशा में एक-एक बहिःकोण लिया जाता है।

दिया है:	मान लें ABCDEFG ... एक n-भुजी उत्तल बहुभुज है। प्रत्येक शीर्ष पर एक ही दिशा में एक बहिःकोण लिया गया है।
सिद्ध करना है:	इन n बहिःकोणों का योग 360° है।
क्योंकि	प्रत्येक शीर्ष पर एक अंतःकोण और उससे सटा हुआ बहिःकोण एक रैखिक युग्म (linear pair) बनाते हैं, इसलिए उनका योग 180° होता है।
∴	सभी n अंतःकोणों और संबंधित n बहिःकोणों का कुल योग n × 180° होगा।
	अंतःकोणों का योग (n − 2) × 180° है।
∴	बहिःकोणों का योग
=	n × 180° − (n − 2) × 180°
=	2 × 180°
=	360° [सिद्ध हुआ]

⭐ नियमित बहुभुज किसे कहते हैं?

जिस बहुभुज की सभी भुजाएँ बराबर और सभी अंतःकोण बराबर हों, उसे नियमित बहुभुज (Regular Polygon) कहते हैं।

नियमित बहुभुज

सभी भुजाएँ और सभी अंतःकोण बराबर होते हैं।

👉 नियमित त्रिभुज समबाहु त्रिभुज होता है और नियमित चतुर्भुज वर्ग होता है।

⭐ नियमित n-भुजी बहुभुज के प्रत्येक अंतःकोण का मान

क्योंकि	नियमित बहुभुज के सभी अंतःकोण बराबर होते हैं।
	n-भुजी बहुभुज के अंतःकोणों का योग (n − 2) × 180° है।
∴	प्रत्येक अंतःकोण
=

⭐ नियमित n-भुजी बहुभुज के प्रत्येक बहिःकोण का मान

क्योंकि	नियमित बहुभुज के सभी बहिःकोण बराबर होते हैं और उनका कुल योग 360° होता है।
∴	प्रत्येक बहिःकोण

⭐ हल किया गया उदाहरण 1: 12-भुजी बहुभुज के अंतःकोणों का योग ज्ञात कीजिए

n-भुजी बहुभुज के अंतःकोणों का योग

= (n − 2) × 180°

यहाँ n = 12।

= (12 − 2) × 180° = 10 × 180° = 1800°

अतः 12-भुजी बहुभुज के अंतःकोणों का योग 1800° है।

⭐ हल किया गया उदाहरण 2: एक नियमित अष्टभुज के प्रत्येक अंतःकोण और बहिःकोण का मान ज्ञात कीजिए

नियमित अष्टभुज के लिए n = 8।

प्रत्येक बहिःकोण:

प्रत्येक अंतःकोण:

180° − 45° = 135°

अतः प्रत्येक अंतःकोण 135° और प्रत्येक बहिःकोण 45° है।

⭐ हल किया गया उदाहरण 3: किसी नियमित बहुभुज का प्रत्येक बहिःकोण 30° है। भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

नियमित बहुभुज के लिए,

अतः बहुभुज की भुजाओं की संख्या 12 है।

📝 अभ्यास प्रश्न

एक षट्भुज के अंतःकोणों का योग ज्ञात कीजिए।
एक दशभुज के अंतःकोणों का योग ज्ञात कीजिए।
एक नियमित बहुभुज का प्रत्येक बहिःकोण 40° है। उसकी भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
एक नियमित नवभुज के प्रत्येक अंतःकोण का मान ज्ञात कीजिए।
किसी बहुभुज के अंतःकोणों का योग 1260° है। उसकी भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
क्या किसी नियमित बहुभुज का प्रत्येक बहिःकोण 28° हो सकता है? कारण बताइए।

उत्तर देखें

720°
1440°
9 भुजाएँ
140°
9 भुजाएँ
नहीं। 360 ÷ 28 पूर्ण संख्या नहीं है, इसलिए ऐसा नियमित बहुभुज संभव नहीं है।

📚 याद रखने योग्य महत्वपूर्ण बातें

👉 n-भुजी बहुभुज के अंतःकोणों का योग (n − 2) × 180° होता है।

👉 प्रत्येक शीर्ष पर एक ही दिशा में लिए गए एक-एक बहिःकोण का योग हमेशा 360° होता है।

👉 नियमित बहुभुज का प्रत्येक अंतःकोण होता है।

👉 नियमित बहुभुज का प्रत्येक बहिःकोण होता है।

👉 एक अंतःकोण और उससे सटे बहिःकोण का योग 180° होता है।

👉 यदि नियमित बहुभुज का प्रत्येक बहिःकोण दिया हो, तो से भुजाओं की संख्या निकाली जा सकती है।