समांतर चतुर्भुज और त्रिभुज के क्षेत्रफल संबंधी प्रमेय (Theorems of Areas)
क्षेत्रफल संबंधी इन प्रमेयों की मुख्य अवधारणाएँ हैं आधार, ऊँचाई और समांतर रेखाएँ। एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित आकृतियों की लम्बवत ऊँचाई समान होती है। इसी कारण उनके क्षेत्रफलों के बीच सरल और उपयोगी संबंध बनते हैं।
🔎 महत्वपूर्ण प्रमेय एक नज़र में
👉 एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच बने समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
👉 यदि एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच हों, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
👉 एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच बने त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
👉 यदि समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुज एक ही आधार पर और आधार की एक ही ओर हों, तो उनके तीसरे शीर्षों को मिलाने वाली रेखा समान आधार के समांतर होती है।
⭐ एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच बने समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
समांतर चतुर्भुज ABCD और EBCF एक ही आधार BC तथा एक ही समांतर रेखाओं BC और AF के बीच स्थित हैं
| दिया है: | समांतर चतुर्भुज ABCD और EBCF एक ही आधार BC तथा एक ही समांतर रेखाओं BC और AF के बीच स्थित हैं। |
| सिद्ध करना है: | समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = समांतर चतुर्भुज EBCF का क्षेत्रफल। |
| प्रमाण: | AB ∥ DC और AF एक तिर्यक रेखा है। [क्योंकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है] |
| अतः, | ∠BAE = संगत ∠CDF. ...(i) |
| फिर, | EB ∥ FC और AF एक तिर्यक रेखा है। [क्योंकि EBCF एक समांतर चतुर्भुज है] |
| अतः, | ∠ABE = संगत ∠DCF. ...(ii) |
| और, | AB = DC. [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं] |
| अब | △ABE और △DCF में, |
| ∠BAE = ∠CDF, | |
| AB = DC, | |
| और | ∠ABE = ∠DCF. |
| अतः, | △ABE ≅ △DCF. [ASA सर्वांगसमता] |
| इसलिए, | △ABE का क्षेत्रफल = △DCF का क्षेत्रफल। |
| अब, | समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = चतुर्भुज ABCF का क्षेत्रफल − △DCF का क्षेत्रफल। |
| और, | समांतर चतुर्भुज EBCF का क्षेत्रफल = चतुर्भुज ABCF का क्षेत्रफल − △ABE का क्षेत्रफल। |
| चूँकि, | △ABE का क्षेत्रफल = △DCF का क्षेत्रफल, |
| अतः, | समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = समांतर चतुर्भुज EBCF का क्षेत्रफल। [सिद्ध हुआ] |
⭐ यदि कोई त्रिभुज और कोई समांतर चतुर्भुज एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच हों, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
△ABC और समांतर चतुर्भुज ABDE एक ही आधार AB तथा एक ही समांतर रेखाओं AB और DE के बीच स्थित हैं
| दिया है: | △ABC और समांतर चतुर्भुज ABDE एक ही आधार AB तथा एक ही समांतर रेखाओं AB और DE के बीच स्थित हैं। |
| सिद्ध करना है: | △ABC का क्षेत्रफल = × समांतर चतुर्भुज ABDE का क्षेत्रफल। |
| रचना: | A से BC के समांतर एक रेखा खींची, जो DE या उसके बढ़ाए गए भाग को F पर काटती है। |
| प्रमाण: | चतुर्भुज ABCF में AB ∥ FC. [दिया है] |
| और, | AF ∥ BC. [रचना से] |
| अतः, | ABCF एक समांतर चतुर्भुज है। [दोनों जोड़ी सम्मुख भुजाएँ समांतर हैं] |
| फिर, | समांतर चतुर्भुज ABCF और ABDE एक ही आधार AB तथा एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं। |
| अतः, | समांतर चतुर्भुज ABCF का क्षेत्रफल = समांतर चतुर्भुज ABDE का क्षेत्रफल। [पिछले प्रमेय से] |
| अब, | विकर्ण AC, समांतर चतुर्भुज ABCF को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में बाँटता है। |
| अतः, | △ABC का क्षेत्रफल = × समांतर चतुर्भुज ABCF का क्षेत्रफल। |
| लेकिन, | समांतर चतुर्भुज ABCF का क्षेत्रफल = समांतर चतुर्भुज ABDE का क्षेत्रफल। |
| अतः, | △ABC का क्षेत्रफल = × समांतर चतुर्भुज ABDE का क्षेत्रफल। [सिद्ध हुआ] |
⭐ एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच बने त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
△ABC और △ABD एक ही आधार AB तथा एक ही समांतर रेखाओं AB और CD के बीच स्थित हैं
| दिया है: | △ABC और △ABD एक ही आधार AB तथा एक ही समांतर रेखाओं AB और CD के बीच स्थित हैं। |
| सिद्ध करना है: | △ABC का क्षेत्रफल = △ABD का क्षेत्रफल। |
| रचना: | AB को आधार मानकर और उन्हीं समांतर रेखाओं AB तथा CD के बीच समांतर चतुर्भुज ABPQ बनाया। |
| प्रमाण: | △ABC और समांतर चतुर्भुज ABPQ एक ही आधार AB और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं। |
| अतः, | △ABC का क्षेत्रफल = × समांतर चतुर्भुज ABPQ का क्षेत्रफल। |
| इसी प्रकार, | △ABD का क्षेत्रफल = × समांतर चतुर्भुज ABPQ का क्षेत्रफल। |
| अतः, | △ABC का क्षेत्रफल = △ABD का क्षेत्रफल। [सिद्ध हुआ] |
⭐ यदि समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुज एक ही आधार पर और आधार की एक ही ओर स्थित हों, तो वे एक ही समांतर रेखाओं के बीच होंगे।
△ABC और △ADC एक ही आधार AC पर और AC की एक ही ओर स्थित हैं
| दिया है: | △ABC और △ADC एक ही आधार AC पर और AC की एक ही ओर स्थित हैं। दोनों के क्षेत्रफल बराबर हैं। B और D को मिलाया गया है। |
| सिद्ध करना है: | BD ∥ AC. |
| रचना: | B और D से AC पर क्रमशः BP और DQ लम्ब खींचे। BP और DQ, AC या उसके बढ़ाए गए भाग को क्रमशः P और Q पर काटते हैं। |
| प्रमाण: | △ABC का क्षेत्रफल = × AC × BP. |
| और, | △ADC का क्षेत्रफल = × AC × DQ. |
| चूँकि, | △ABC का क्षेत्रफल = △ADC का क्षेत्रफल। [दिया है] |
| अतः, | × AC × BP = × AC × DQ. |
| अतः, | BP = DQ. |
| फिर, | BP ∥ DQ. [एक ही रेखा पर खींचे गए लम्ब परस्पर समांतर होते हैं] |
| अतः, | BPQD एक समांतर चतुर्भुज है। [एक जोड़ी सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर हैं] |
| इसलिए, | BD ∥ PQ. [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं] |
| लेकिन, | P और Q, AC पर स्थित हैं। इसलिए PQ उसी सीधी रेखा AC का भाग है। |
| अतः, | BD ∥ AC. [सिद्ध हुआ] |
🧩 हल किए हुए उदाहरण
उदाहरण 1: एक ही आधार पर दो समांतर चतुर्भुज
समांतर चतुर्भुज ABCD और EBCF एक ही आधार BC तथा एक ही समांतर रेखाओं के बीच हैं। यदि ABCD का क्षेत्रफल 72 cm² है, तो EBCF का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच बने समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
EBCF का क्षेत्रफल = 72 cm².
उदाहरण 2: त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज
एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच हैं। यदि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 96 cm² है, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × 96 = 48 cm².
उदाहरण 3: अज्ञात ऊँचाई ज्ञात करना
दो त्रिभुजों का आधार समान 12 cm है और उनके क्षेत्रफल भी बराबर हैं। पहले त्रिभुज की ऊँचाई 7 cm है। दूसरे त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल: समान आधार और समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों की संबंधित ऊँचाइयाँ बराबर होती हैं।
दूसरे त्रिभुज की ऊँचाई = 7 cm.
✍️ अभ्यास प्रश्न
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दो समांतर चतुर्भुज एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच हैं। एक का क्षेत्रफल 135 cm² है। दूसरे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
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एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच हैं। यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल 42 cm² है, तो समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
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△ABC और △ABD एक ही आधार AB तथा एक ही समांतर रेखाओं के बीच हैं। यदि △ABC का क्षेत्रफल 56 cm² है, तो △ABD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
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एक ही आधार पर बने दो त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हैं और उनके तीसरे शीर्ष आधार की एक ही ओर हैं। उन तीसरे शीर्षों को मिलाने वाली रेखा के बारे में क्या कह सकते हैं?
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एक समांतर चतुर्भुज और एक त्रिभुज का आधार 15 cm और ऊँचाई 8 cm समान है। दोनों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और तुलना कीजिए।
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समझाइए कि समान क्षेत्रफल वाली दो आकृतियाँ सर्वांगसम क्यों आवश्यक नहीं हैं। एक सरल उदाहरण दीजिए।
✅ उत्तर
1. 135 cm².
2. 84 cm².
3. 56 cm².
4. तीसरे शीर्षों को मिलाने वाली रेखा समान आधार के समांतर होगी।
5. समांतर चतुर्भुज = 15 × 8 = 120 cm²; त्रिभुज = 1/2 × 15 × 8 = 60 cm². अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा है।
6. समान क्षेत्रफल का अर्थ समान घिरा हुआ क्षेत्र है, समान आकार और माप नहीं। उदाहरण: 6 cm × 4 cm और 8 cm × 3 cm के आयतों का क्षेत्रफल 24 cm² है, लेकिन वे सर्वांगसम नहीं हैं।
📚 याद रखने योग्य महत्वपूर्ण बातें
👉 एक ही आधार रेखा से मापने पर एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित आकृतियों की लम्बवत ऊँचाई समान होती है।
👉 समान आधार और समान ऊँचाई वाले समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
👉 एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच बना त्रिभुज, उसी स्थिति में बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
👉 एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच बने दो त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
👉 समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में बाँटता है। इसलिए प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
👉 समान क्षेत्रफल का अर्थ यह नहीं कि दो आकृतियाँ सर्वांगसम भी हों। उनका आकार या माप अलग हो सकता है।
👉 प्रमाण में “△ABC = △ABD” लिखने के बजाय “△ABC का क्षेत्रफल = △ABD का क्षेत्रफल” लिखना अधिक स्पष्ट और गणितीय रूप से सही है।