छेदक रेखा और मध्यबिंदु संबंधी प्रमेय (Transversal and Midpoint Theorem)

मध्यबिंदु प्रमेय त्रिभुज की भुजाओं और समानांतर रेखाओं के बीच एक बहुत उपयोगी संबंध बताता है। इसका उपयोग ज्यामितीय प्रमाण, लंबाई निकालने और आगे चलकर समान त्रिभुजों के प्रश्नों में भी किया जाता है।

⭐ किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर तथा उसकी आधी लंबाई का होता है।

△ABC में D, AB का और E, AC का मध्यबिंदु है; DE || BC

दिया है:	△ABC में D, AB का मध्यबिंदु और E, AC का मध्यबिंदु है। अतः AD = DB तथा AE = EC। D और E को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है:	DE \|\| BC तथा DE = BC
रचना:	DE को F तक इस प्रकार बढ़ाया कि DE = DF। B और F को मिलाया।
प्रमाण:	△ADE और △BDF में,
	AD = DB [दिया है]
	∠ADE = ∠BDF [शीर्षाभिमुख कोण]
	DE = DF [रचना के अनुसार]
∴	△ADE ≅ △BDF [SAS सर्वांगसमता]
∴	AE = BF [सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ]
लेकिन,	AE = EC [दिया है]
∴	BF = EC
और,	∠DAE = ∠DBF [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत कोण]
∴	BF \|\| AE [एकांतर कोण बराबर हैं]
अर्थात,	BF \|\| EC
	चतुर्भुज BCEF में BF \|\| EC तथा BF = EC।
∴	BCEF एक समांतर चतुर्भुज है।
∴	FE \|\| BC
अर्थात,	DE \|\| BC [सिद्ध]
और,	BC = EF = DE + DF = DE + DE [DE = DF]
∴	BC = 2DE
∴	DE = BC [सिद्ध]

⭐ मध्यबिंदु प्रमेय का विलोम

यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्यबिंदु से दूसरी भुजा के समानांतर रेखा खींची जाए, तो वह तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। साथ ही त्रिभुज के भीतर बना समानांतर रेखाखंड दूसरी भुजा की आधी लंबाई का होता है।

△ABC में D, AB का मध्यबिंदु है और D से BC के समानांतर DE खींची गई है; तब AE = EC

दिया है:	△ABC में D, AB का मध्यबिंदु है। D से BC के समानांतर DE खींची गई है, जो AC को E पर काटती है।
सिद्ध करना है:	(1) AE = EC तथा (2) DE = BC
रचना:	DE को F तक इस प्रकार बढ़ाया कि DE = DF। B और F को मिलाया।
प्रमाण:	△ADE और △BDF में,
	AD = DB [D, AB का मध्यबिंदु है]
	∠ADE = ∠BDF [शीर्षाभिमुख कोण]
	DE = DF [रचना के अनुसार]
∴	△ADE ≅ △BDF [SAS]
∴	AE = BF
और,	∠DAE = ∠DBF
∴	AE \|\| BF
अर्थात,	EC \|\| BF
साथ ही,	DE \|\| BC [दिया है]
अतः,	FE \|\| BC
	इसलिए BCEF की दोनों जोड़ी विपरीत भुजाएँ समानांतर हैं।
∴	BCEF एक समांतर चतुर्भुज है।
∴	EC = BF तथा BC = EF
लेकिन,	AE = BF
∴	AE = EC [(1) सिद्ध]
फिर,	BC = EF = DE + DF = DE + DE
∴	BC = 2DE
∴	DE = BC [(2) सिद्ध]

⭐ समानांतर रेखाएँ और छेदक रेखा संबंधी प्रमेय

यदि तीन या अधिक समानांतर रेखाएँ किसी एक छेदक रेखा पर बराबर-बराबर खंड बनाती हैं, तो वे किसी अन्य छेदक रेखा पर भी बराबर-बराबर खंड बनाती हैं।

AB, CD और EF तीन समानांतर रेखाएँ हैं जिन्हें दो छेदक काटते हैं

दिया है:	AB, CD और EF समानांतर रेखाएँ हैं। वे छेदक PQ पर GH और HI ऐसे खंड बनाती हैं कि GH = HI। दूसरी छेदक XY पर इनके द्वारा बने खंड JK और KL हैं।
सिद्ध करना है:	JK = KL
रचना:	G और L को मिलाया। GL, CD को T पर काटती है।
प्रमाण:	△GIL में H, GI का मध्यबिंदु है, क्योंकि GH = HI।
और,	HT \|\| IL [समानांतर रेखाएँ]
∴	मध्यबिंदु प्रमेय के विलोम से T, GL का मध्यबिंदु है।
अब,	△GLJ में T, GL का मध्यबिंदु है और TK \|\| GJ।
∴	मध्यबिंदु प्रमेय के विलोम से K, JL का मध्यबिंदु है।
∴	JK = KL [सिद्ध]

✍️ हल किए हुए उदाहरण

उदाहरण 1

△ABC में D और E क्रमशः AB और AC के मध्यबिंदु हैं। यदि BC = 18 cm, तो DE ज्ञात कीजिए।

हल: मध्यबिंदु प्रमेय से,

अतः DE = 9 cm।

उदाहरण 2

△PQR में X, PQ का मध्यबिंदु है। X से QR के समानांतर XY खींची गई है, जो PR को Y पर काटती है। यदि PY = 7.5 cm, तो YR ज्ञात कीजिए।

हल: मध्यबिंदु प्रमेय के विलोम से Y, PR का मध्यबिंदु है। इसलिए,

PY = YR = 7.5cm

अतः YR = 7.5 cm।

उदाहरण 3

तीन समानांतर रेखाएँ दो छेदकों को काटती हैं। पहली छेदक पर लगातार बने दो खंड 6 cm और 6 cm हैं। दूसरी छेदक पर पहला संबंधित खंड 9 cm है। दूसरा संबंधित खंड कितना होगा?

हल: समानांतर रेखाएँ पहली छेदक पर बराबर खंड बनाती हैं, इसलिए दूसरी छेदक पर भी बराबर खंड बनेंगे।

अतः दूसरा खंड 9 cm होगा।

📝 अभ्यास प्रश्न

△ABC में D और E, AB और AC के मध्यबिंदु हैं। यदि BC = 26 cm, तो DE ज्ञात कीजिए।
△XYZ में P और Q, XY और XZ के मध्यबिंदु हैं। यदि PQ = 8 cm, तो YZ ज्ञात कीजिए।
△ABC में D, AB का मध्यबिंदु है और DE || BC। यदि AE = 6.4 cm, तो EC ज्ञात कीजिए।
किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड 11 cm है। तीसरी भुजा की लंबाई क्या होगी?
तीन समानांतर रेखाएँ एक छेदक पर 5 cm और 5 cm के दो लगातार खंड बनाती हैं। दूसरी छेदक पर पहला खंड 7.2 cm है। दूसरा खंड ज्ञात कीजिए।
△PQR में M, PQ का मध्यबिंदु है और MN || QR। यदि QR = 20 cm तथा PR = 18 cm, तो MN और NR ज्ञात कीजिए।

उत्तर देखें

13 cm
16 cm
6.4 cm
22 cm
7.2 cm
MN = 10 cm, NR = 9 cm

📚 याद रखने योग्य महत्वपूर्ण बातें

👉 मध्यबिंदु किसी रेखाखंड को दो बराबर भागों में बाँटता है।

👉 त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है।

👉 उसी रेखाखंड की लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।

👉 किसी एक भुजा के मध्यबिंदु से दूसरी भुजा के समानांतर रेखा खींचने पर तीसरी भुजा भी समद्विभाजित होती है।

👉 तीन या अधिक समानांतर रेखाएँ एक छेदक पर बराबर खंड बनाएँ, तो वे दूसरे छेदक पर भी बराबर खंड बनाती हैं।

👉 प्रश्न में midpoint और parallel दोनों दिए हों, तो Midpoint Theorem या उसके converse के उपयोग की संभावना अवश्य जाँचें।