একঘাত সমীকরণের প্রয়োগ (Applications of Linear Equations in One Variable)
দ্বিতীয় পাঠ • সপ্তম ও অষ্টম শ্রেণি • কথার সমস্যা থেকে সমীকরণ গঠন
📚 সংখ্যা, বয়স, দাম বা দৈর্ঘ্যের সমস্যা থেকে কীভাবে সমীকরণ তৈরি করতে হয়, এই পাঠে তা শিখবে। প্রথমে অজানা পরিমাণ ধরবে, তারপর প্রশ্নের শর্তকে গাণিতিক সমতায় লিখবে। এখানে ১৩টি সমাধানসহ উদাহরণ এবং উত্তরমালাসহ ১১টি অনুশীলনী আছে।
👉 আগে পড়ো: এক চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ সমাধানের নিয়ম।
👉 কথার সমস্যা থেকে সমীকরণ
প্রথমে কী জানতে চাওয়া হয়েছে বুঝে চলক ধরো এবং তার একক লেখো। অন্য পরিমাণগুলো সেই চলকের সাহায্যে প্রকাশ করো। তারপর প্রশ্নের শর্ত থেকে সমতা তৈরি করে সমাধান ও যাচাই করো। শুধু কোনো একটি শব্দ দেখে গাণিতিক চিহ্ন বসাবে না; পুরো বাক্যের অর্থ বোঝো।
🔹 সমীকরণ গঠনের পাঁচটি ধাপ
ধাপ 1: কী জানতে চাওয়া হয়েছে বোঝো এবং অজানা পরিমাণকে x ধরো। তার এককও লেখো।
ধাপ 2: অন্য পরিমাণগুলো একই চলকের সাহায্যে প্রকাশ করো।
ধাপ 3: প্রশ্নের যে শর্তে দুটি পরিমাণ সমান হয়, সেই শর্ত থেকে সমীকরণ তৈরি করো।
ধাপ 4: সমীকরণ সমাধান করে চাওয়া পরিমাণ নির্ণয় করো।
ধাপ 5: মূল শর্ত, একক এবং উত্তরের বাস্তব অর্থ যাচাই করো।
🔹 ভাষা থেকে গাণিতিক রূপ
একটি সংখ্যার 5 বেশি → x + 5; সংখ্যাটি থেকে 5 কম → x − 5।
একটি সংখ্যাকে 5 থেকে বিয়োগ → 5 − x; সংখ্যার দ্বিগুণ → 2x।
সংখ্যার এক তৃতীয়াংশ → ; সংখ্যার ।
পরপর তিনটি পূর্ণসংখ্যা → x, x + 1, x + 2।
পরপর তিনটি জোড় বা বিজোড় সংখ্যা → x, x + 2, x + 4; উত্তরে যথাযথ জোড় বা বিজোড় হওয়া যাচাই করবে।
👉 সংখ্যা বিষয়ক সমস্যা
⭐ উদাহরণ 1 সংখ্যার সম্পর্ক
একটি সংখ্যার 4 গুণের সঙ্গে 5 যোগ করলে সংখ্যাটির 3 গুণের চেয়ে 11 বেশি হয়। সংখ্যাটি কত?
ধরি, সংখ্যাটি x। প্রশ্নমতে,
4x + 5 = 3x + 11 x = 11 − 5 = 6উত্তর: সংখ্যাটি 6।
👉 যাচাই: 4 × 6 + 5 = 29 এবং 3 × 6 + 11 = 29।
⭐ উদাহরণ 2 ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা
তিনটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার সমষ্টি 36। সংখ্যাগুলো নির্ণয় করো।
ধরি, সংখ্যাগুলো x, x + 1 এবং x + 2।
x + (x + 1) + (x + 2) = 36 3x + 3 = 36 x = 11উত্তর: সংখ্যাগুলো 11, 12 ও 13।
👉 যাচাই: 11 + 12 + 13 = 36।
⭐ উদাহরণ 3 দুই অঙ্কের সংখ্যা
দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার দশকের অঙ্ক এককের অঙ্কের তিন গুণ। অঙ্ক দুটির যোগফল 8। সংখ্যাটি কত?
এককের অঙ্ক x হলে দশকের অঙ্ক 3x।
x + 3x = 8 → x = 2 10 × (3 × 2) + 2 = 62উত্তর: সংখ্যাটি 62।
👉 যাচাই: 6 = 3 × 2 এবং 6 + 2 = 8।
👉 বয়সের সমস্যা
📚 x বছর বর্তমান বয়স হলে 5 বছর পরে বয়স x + 5 এবং 5 বছর আগে x − 5। একই সময়ের তুলনায় সবার বয়স একই সময়ের হিসাবে লিখবে।
⭐ উদাহরণ 4 ভবিষ্যৎ বয়সের যোগফল
পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের চার গুণ। 5 বছর পরে তাঁদের বয়সের সমষ্টি 60 বছর হবে। বর্তমান বয়স কত?
পুত্রের বর্তমান বয়স x বছর; পিতার 4x বছর। পাঁচ বছর পরে দুজনেরই বয়স 5 বছর করে বাড়বে।
(x + 5) + (4x + 5) = 60 5x + 10 = 60 → x = 10উত্তর: পুত্রের বয়স 10 বছর, পিতার 40 বছর।
👉 যাচাই: পাঁচ বছর পরে 15 + 45 = 60 বছর।
⭐ উদাহরণ 5 বয়সের গুণিতক সম্পর্ক
মায়ের বর্তমান বয়স মেয়ের বয়সের পাঁচ গুণ। 10 বছর পরে মায়ের বয়স মেয়ের বয়সের তিন গুণ হবে। বর্তমান বয়স নির্ণয় করো।
মেয়ের বর্তমান বয়স x বছর হলে মায়ের বয়স 5x বছর।
5x + 10 = 3(x + 10) 5x + 10 = 3x + 30 2x = 20 → x = 10উত্তর: মেয়ের বয়স 10 বছর, মায়ের 50 বছর।
👉 যাচাই: 10 বছর পরে 60 = 3 × 20।
👉 জ্যামিতিক পরিমাপের সমস্যা
⭐ উদাহরণ 6 আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা
একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে 4 মিটার বেশি। পরিসীমা 36 মিটার হলে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত?
প্রস্থ x মিটার; দৈর্ঘ্য x + 4 মিটার। পরিসীমা = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)।
2(x + x + 4) = 36 4x + 8 = 36 → x = 7উত্তর: প্রস্থ 7 মিটার, দৈর্ঘ্য 11 মিটার।
👉 যাচাই: 2 × (11 + 7) = 36 মিটার।
⭐ উদাহরণ 7 ত্রিভুজের কোণের অনুপাত
একটি ত্রিভুজের তিন কোণের অনুপাত 2 : 3 : 4। কোণগুলো নির্ণয় করো।
কোণগুলো 2x°, 3x° এবং 4x° ধরি।
2x + 3x + 4x = 180 → x = 20উত্তর: কোণগুলো 40°, 60° ও 80°।
👉 যাচাই: 40° + 60° + 80° = 180°।
👉 কেনাকাটা ও মুদ্রার সমস্যা
⭐ উদাহরণ 8 কলম ও খাতার দাম
সায়ান সমান দামের 5টি কলম এবং 10 টাকা দামের একটি খাতা কিনে মোট 60 টাকা খরচ করল। প্রতিটি কলমের দাম কত?
প্রতিটি কলমের দাম x টাকা ধরি।
5x + 10 = 60 → 5x = 50 → x = 10উত্তর: প্রতিটি কলমের দাম 10 টাকা।
👉 যাচাই: 5 × 10 + 10 = 60 টাকা।
⭐ উদাহরণ 9 মুদ্রার সংখ্যা
একটি সংগ্রহে 5 টাকা ও 2 টাকার মোট 30টি মুদ্রা আছে। মোট মূল্য 120 টাকা। প্রতিটি ধরনের মুদ্রা কয়টি?
5 টাকার মুদ্রা x টি হলে 2 টাকার মুদ্রা 30 − x টি।
5x + 2(30 − x) = 120 5x + 60 − 2x = 120 3x = 60 → x = 20উত্তর: 5 টাকার মুদ্রা 20টি এবং 2 টাকার মুদ্রা 10টি।
👉 যাচাই: 20 + 10 = 30টি; 5 × 20 + 2 × 10 = 120 টাকা।
👉 গতিবেগ সময় ও দূরত্ব
📚 দূরত্ব = গতিবেগ × সময়। গতিবেগ কিমি/ঘণ্টায় থাকলে সময় ঘণ্টায় নেবে।
⭐ উদাহরণ 10 একই অভিমুখে চলা
দুটি গাড়ি একই সময়ে একই স্থান থেকে একই অভিমুখে যথাক্রমে 60 ও 80 কিমি/ঘণ্টা সমবেগে চলল। কত ঘণ্টা পরে তাদের দূরত্বের ব্যবধান 40 কিমি হবে?
সময় x ঘণ্টা ধরি। অতিক্রান্ত দূরত্ব যথাক্রমে 60x ও 80x কিমি।
80x − 60x = 40 20x = 40 → x = 2উত্তর: 2 ঘণ্টা পরে।
👉 যাচাই: দূরত্বের ব্যবধান 160 − 120 = 40 কিমি।
🔹 শর্ত ও একক যাচাই
জিনিসের সংখ্যা এবং তার মূল্য আলাদা পরিমাণ। মুদ্রার সংখ্যার উত্তর অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হতে হবে। দূরত্ব = গতিবেগ × সময় ব্যবহার করার আগে সময় ও গতিবেগের একক মিলিয়ে নেবে।
সব জ্যামিতি বা গতির সমস্যা একঘাত হয় না। যেমন দৈর্ঘ্য x + 4 এবং প্রস্থ x হলে ক্ষেত্রফল x(x + 4), যাতে x2 থাকে। তাই এই অধ্যায়ে একঘাত সমীকরণে প্রকাশযোগ্য সমস্যা বেছে নেওয়া হয়েছে।
👉 অংশ ও শতকরার সমস্যা
📚 মোট টাকার শতকরা এবং অবশিষ্ট টাকার শতকরা এক নয়। কোন পরিমাণের উপর শতকরা নেওয়া হচ্ছে আগে বোঝো।
⭐ উদাহরণ 11 অবশিষ্ট টাকার শতকরা
এক ব্যক্তি মাসিক আয়ের এক তৃতীয়াংশ বাড়িভাড়া দেন। অবশিষ্ট টাকার 20% সঞ্চয় করেন। সঞ্চয় 4000 টাকা হলে তাঁর মাসিক আয় কত?
আয় x টাকা হলে ভাড়ার পরে থাকে টাকা।
উত্তর: মাসিক আয় 30000 টাকা।
👉 যাচাই: ভাড়া 10000; অবশিষ্ট 20000; তার 20% = 4000 টাকা।
👉 কাজ ও সময়
📚 নিচের কাজ ও মিশ্রণের উদাহরণ দুটি একটু বেশি মনোযোগ দিয়ে পড়ো। আগে প্রতি একক সময়ে করা কাজ বা অপরিবর্তিত উপাদানের পরিমাণ নির্ণয় করো।
⭐ উদাহরণ 12 দুই নলের কাজ
একটি নল খালি চৌবাচ্চা 10 মিনিটে পূর্ণ করে; অন্য নল পূর্ণ চৌবাচ্চা 15 মিনিটে খালি করে। হার ধ্রুব থাকলে খালি চৌবাচ্চায় দুটি নল একসঙ্গে খুলে কত সময়ে পূর্ণ হবে?
সময় x মিনিট। এক মিনিটে নিট পূর্ণ হয় অংশ।
3x − 2x = 30 → x = 30উত্তর: 30 মিনিটে।
👉 যাচাই: পূর্ণ চৌবাচ্চা।
কাজের অঙ্কে পুরো কাজকে 1 ধরা যায়। দুটি ব্যক্তি যথাক্রমে A ও B দিনে কাজ শেষ করলে, ধ্রুব হারে একত্রে x দিনে করা কাজ । সম্পূর্ণ কাজের জন্য এর মান 1।
👉 মিশ্রণের সমস্যা
⭐ উদাহরণ 13 মিশ্রণের অনুপাত
30 লিটার আম ও কমলার রসের মিশ্রণে অনুপাত 2 : 1। কত লিটার কমলার রস যোগ করলে আম ও কমলার অনুপাত 1 : 2 হবে?
প্রথমে আমের রস 20 লিটার, কমলার রস 10 লিটার। x লিটার কমলার রস যোগ করি; আমের রস অপরিবর্তিত থাকবে।
40 = 10 + x → x = 30উত্তর: 30 লিটার কমলার রস যোগ করতে হবে।
👉 যাচাই: নতুন অনুপাত 20 : 40 = 1 : 2।
মিশ্রণের এই হিসাবে আয়তন সরাসরি যোগ হচ্ছে ধরে নেওয়া হয়েছে। যে উপাদান যোগ করা হচ্ছে তার পরিমাণ বাড়ে; অপর উপাদানটি অপরিবর্তিত থাকে।
✍️ নিজে অনুশীলন করো
প্রতিটি সমস্যায় চলক ধরো, সমীকরণ গঠন করো, সমাধান করো এবং এককসহ উত্তর লেখো।
🔸 1. একটি সংখ্যার তিন গুণ থেকে 4 বিয়োগ করলে 23 হয়। সংখ্যাটি কত?
🔸 2. তিনটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার সমষ্টি 54। সংখ্যাগুলো কত?
🔸 3. পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের তিন গুণ। 4 বছর পরে তাঁদের বয়সের সমষ্টি 56 বছর হবে। বর্তমান বয়স কত?
🔸 4. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে 5 সেমি বেশি। পরিসীমা 50 সেমি হলে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত?
🔸 5. 4টি সমান দামের খাতা এবং 20 টাকার একটি কলমের মোট দাম 140 টাকা। প্রতিটি খাতার দাম কত?
🔸 6. 2 টাকা ও 5 টাকার মোট 20টি মুদ্রার মূল্য 70 টাকা। প্রতিটি ধরনের মুদ্রা কয়টি?
🔸 7. একই স্থান থেকে একই সময়ে একই অভিমুখে দুটি গাড়ি 45 ও 60 কিমি/ঘণ্টা সমবেগে চলে। কত সময় পরে ব্যবধান 45 কিমি হবে?
🔸 8. আয়ের এক চতুর্থাংশ খরচের পরে অবশিষ্ট টাকার 20% সঞ্চয় করা হয়। সঞ্চয় 3000 টাকা হলে আয় কত?
🔸 9. দুই ব্যক্তি একা একটি কাজ যথাক্রমে 12 ও 6 দিনে করেন। ধ্রুব হারে একসঙ্গে কাজ করলে কত দিন লাগবে?
🔸 10. 20 লিটার দুধ ও জলের মিশ্রণে অনুপাত 3 : 1। কত লিটার জল যোগ করলে অনুপাত 1 : 1 হবে?
🔸 11. একটি ত্রিভুজের তিন কোণের অনুপাত 1 : 2 : 3। কোণগুলো কত?
👉 উত্তরমালা
🔸 1. 3x − 4 = 23; সংখ্যাটি 9।
🔸 2. x + (x + 2) + (x + 4) = 54; সংখ্যা 16, 18, 20।
🔸 3. (x + 4) + (3x + 4) = 56; পুত্র 12 বছর, পিতা 36 বছর।
🔸 4. 2(x + x + 5) = 50; প্রস্থ 10 সেমি, দৈর্ঘ্য 15 সেমি।
🔸 5. 4x + 20 = 140; প্রতিটি খাতা 30 টাকা।
🔸 6. 5 টাকার মুদ্রা x টি ধরে 5x + 2(20 − x) = 70; উভয় ধরনের 10টি করে।
🔸 7. (60 − 45)x = 45; 3 ঘণ্টা।
🔸 8. ; আয় 20000 টাকা।
🔸 9. ; 4 দিন।
🔸 10. ; 10 লিটার জল।
🔸 11. x + 2x + 3x = 180; কোণগুলো 30°, 60°, 90°।
⭐ মনে রাখো
📚 শুধু শব্দ দেখে চিহ্ন বসাবে না; পুরো বাক্যের অর্থ বুঝবে। বয়সের হিসাবে সবার জন্য একই সময় নেবে। দাম, সংখ্যা ও একক আলাদা করে দেখবে। পাওয়া উত্তর প্রশ্নের সব শর্ত পূরণ করছে কি না যাচাই করবে।
👉 নিয়ম আবার দেখে নাও: এক চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ।
