বীজগণিতের পরিচয় ও প্রাথমিক ধারণা (Introduction to Algebra)

একটি কলমের দাম 5 টাকা হলে 3টি কলমের দাম 15 টাকা। কিন্তু কলমটির দাম এখনো জানা না থাকলে মোট দাম কীভাবে লিখবে? সংখ্যার জায়গায় একটি অক্ষর ব্যবহার করলেই তা লেখা যায়। এই সহজ ধারণা থেকেই বীজগণিত শেখা শুরু করি।

👉 সংখ্যা থেকে অক্ষরে

একই দামের 3টি কলম কেনা হচ্ছে। একটি কলমের দাম বদলালে মোট দামও বদলাবে।

এখানে x দিয়ে একটি কলমের দাম বোঝানো হয়েছে। তাই প্রতিবার নতুন করে নিয়ম না লিখে 3x লিখলেই তিনটি কলমের মোট দাম প্রকাশ করা যায়।

⭐ সংখ্যা ও অক্ষরের সাহায্যে পরিমাণ, তাদের সম্পর্ক এবং সাধারণ নিয়ম নিয়ে গণিতের যে শাখায় আলোচনা করা হয়, তাকে বীজগণিত (Algebra) বলে।

👉 চলক ও ধ্রুবক

🔹 চলক (Variable)

⭐ যে প্রতীক বিভিন্ন মান নিতে পারে তাকে চলক বলে। সাধারণত x, y, a বা n দিয়ে চলক প্রকাশ করা হয়।

কলমের উদাহরণে দাম 5 টাকা হলে x = 5, আর দাম 8 টাকা হলে x = 8।

অন্যদিকে, x + 3 = 10 সমীকরণে x একটি অজানা সংখ্যা। শর্তটি পূরণ করতে এখানে x = 7 হতে হবে। অর্থাৎ চলকের মান সবসময় ইচ্ছামতো বেছে নেওয়া যায় না; সমস্যার শর্তও মানতে হয়।

📚 একই সমস্যায় একই অক্ষর একই পরিমাণ বোঝায়। একটি কলমের দাম x ধরলে সেই সমস্যায় হঠাৎ x দিয়ে কলমের সংখ্যা বোঝাবে না।

🔹 ধ্রুবক (Constant)

⭐ নির্দিষ্ট মানের সংখ্যাকে ধ্রুবক বলে। যেমন 3, 5 ও 10।

3x + 5 রাশিতে x বদলাতে পারে, কিন্তু লেখা থাকা 3 ও 5 নির্দিষ্ট সংখ্যা।

👉 বীজগাণিতিক রাশি

⭐ সংখ্যা, চলক ও গাণিতিক প্রক্রিয়ার সাহায্যে গঠিত রাশিকে বীজগাণিতিক রাশি (Algebraic Expression) বলে।

যেমন, x + 3, 2x, 3x + 5 এবং a − 4। একটি চলকও নিজে একটি রাশি হতে পারে, যেমন x।

⭐ উদাহরণ ১ কলম ও খাতার মোট দাম

একটি কলমের দাম x টাকা। একই দামের 3টি কলম এবং 20 টাকা দামের একটি খাতা কিনলে মোট খরচ কত?

3টি কলমের দাম = 3x টাকা।

খাতার দাম যোগ করলে মোট খরচ = 3x + 20 টাকা।

উত্তর: মোট খরচ প্রকাশকারী রাশি 3x + 20। কলমের দাম জানা না থাকলেও মোট খরচের সম্পর্কটি লেখা গেল।

👉 বীজগণিতে গুণ ও ভাগ কীভাবে লিখি

📚 3x মানে 3 + x নয়। এখানে সংখ্যা ও অক্ষরের মাঝে গুণচিহ্ন লেখা হয়নি। তবে 3 × 5 কে 35 লেখা যাবে না; দুটি সংখ্যা পাশাপাশি লিখলে আলাদা সংখ্যা তৈরি হয়।

x একটি অক্ষর; × গুণের চিহ্ন। দুটিকে গুলিয়ে ফেলবে না।

👉 পদ সহগ ও ধ্রুবক পদ

রাশিটি দেখি: 3x + 2y − 5।

🔹 পদ (Term)

যোগ বা বিয়োগ দিয়ে যুক্ত রাশির অংশগুলোকে পদ বলে। পদ চেনার সময় তার আগের চিহ্নটিও সঙ্গে নিতে হয়।

3x + 2y − 5 রাশির তিনটি পদ: 3x, 2y ও −5।

3x একটি পদ, কারণ 3 ও x গুণ আকারে যুক্ত আছে।

🔹 সহগ (Coefficient)

⭐ একটি পদের চলক অংশের সঙ্গে গুণ আকারে থাকা সংখ্যাটিকে তার সংখ্যাগত সহগ বলে।

🔹 ধ্রুবক পদ (Constant Term)

⭐ রাশির যে পদে চলক থাকে না তাকে ধ্রুবক পদ বলে।

3x + 2y − 5 রাশিতে ধ্রুবক পদ −5।

📚 3x + 5 রাশিতে 3 একটি ধ্রুবক সংখ্যা এবং x এর সহগ। কিন্তু এটি আলাদা ধ্রুবক পদ নয়। এই রাশির ধ্রুবক পদ হলো 5।

⭐ উদাহরণ ২ রাশির অংশ চেনা

5a − 3 রাশিতে:

🔸 চলক: a।

🔸 পদ: 5a ও −3।

🔸 a এর সহগ: 5।

🔸 ধ্রুবক পদ: −3।

👉 ঘাতের প্রথম ধারণা

একই রাশিকে বারবার গুণ করলে ঘাতের সাহায্যে সংক্ষেপে লেখা যায়।

⭐ x × x = x²

⭐ x × x × x = x³

⭐ x³ এ x হলো ভিত্তি (Base) এবং 3 হলো সূচক (Exponent)। এখানে সূচক বলে দেয় x কে গুণফলে কতবার নেওয়া হয়েছে।

⭐ উদাহরণ ৩ গুণিতক ও ঘাতের পার্থক্য

⭐ x = 2 হলে:

⭐ 3x = 3 × 2 = 6

⭐ x³ = 2 × 2 × 2 = 8

তাই 3x ও x³ একই রাশি নয়। একইভাবে x + x = 2x, কিন্তু x × x = x²।

👉 সদৃশ ও বিসদৃশ পদ

⭐ যেসব পদের চলক অংশ একই, অর্থাৎ একই চলকের একই ঘাত থাকে, তাদের সদৃশ পদ (Like Terms) বলে।

চলক অংশ আলাদা হলে পদগুলো বিসদৃশ পদ (Unlike Terms)। শুধু সহগ সমান হলেই পদ সদৃশ হয় না।

⭐ উদাহরণ ৪ সহজ যোগ ও বিয়োগ

কিন্তু 3x + 2y এর পদ দুটি বিসদৃশ। এগুলো যোগ করে 5x, 5y বা 5xy লেখা যাবে না।

👉 যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগে চিহ্নের নিয়ম

বীজগণিতে সংখ্যা ও পদের যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ করার সময় চিহ্নের হিসাব ঠিক রাখতে হয়। ধনাত্মক (Positive) সংখ্যার আগে + এবং ঋণাত্মক (Negative) সংখ্যার আগে − চিহ্ন থাকে। ধনাত্মক সংখ্যার আগে + না লিখলেও চলে। শূন্য ধনাত্মক বা ঋণাত্মক কোনোটিই নয়।

🔹 ১. যোগের নিয়ম (Addition Rules)

একই চিহ্নযুক্ত সংখ্যা: সংখ্যা দুটির চিহ্ন বাদ দিয়ে পাওয়া মান যোগ করো। যোগফলের আগে তাদের একই চিহ্ন বসাও।

বিপরীত চিহ্নযুক্ত সংখ্যা: চিহ্ন বাদ দিয়ে পাওয়া বড় মান থেকে ছোট মান বিয়োগ করো। যে সংখ্যার চিহ্ন বাদ দেওয়া মান বড়, তার চিহ্ন ফলাফলের আগে বসাও। এই চিহ্ন বাদ দেওয়া মানকে পরমমান (Absolute Value) বলে।

এখানে 7, 4 এর চেয়ে বড় বলে ফল ঋণাত্মক। মনে রাখবে, সংখ্যার ক্রমে কিন্তু −7, +4 এর চেয়ে ছোট। আমরা এখানে তাদের পরমমান তুলনা করছি।

সমান পরমমানের বিপরীত চিহ্নযুক্ত দুটি সংখ্যার যোগফল শূন্য: (−5) + (+5) = 0।

সদৃশ পদের ক্ষেত্রে: সহগগুলো একই নিয়মে যোগ করো; চলক অংশ অপরিবর্তিত রাখো।

🔹 ২. বিয়োগের নিয়ম (Subtraction Rules)

⭐ কোনো সংখ্যা বিয়োগ করার অর্থ তার বিপরীত সংখ্যা যোগ করা। তাই দ্বিতীয় সংখ্যাটির চিহ্ন বদলে প্রথম সংখ্যার সঙ্গে যোগ করো।

সদৃশ পদের ক্ষেত্রেও একই নিয়ম: 5x − (−2x) = 5x + 2x = 7x।

📚 শুধু “মাইনাসে মাইনাসে প্লাস” মুখস্থ করবে না। 5 − (−2) এ ঋণাত্মক সংখ্যা বিয়োগ হচ্ছে বলে যোগ হয়; কিন্তু (−5) + (−2) = −7।

🔹 ৩. গুণের নিয়ম (Multiplication Rules)

⭐ দুটি অশূন্য সংখ্যার চিহ্ন একই হলে গুণফল ধনাত্মক; চিহ্ন বিপরীত হলে গুণফল ঋণাত্মক।

যেকোনো সংখ্যাকে শূন্য দিয়ে গুণ করলে গুণফল শূন্য হয়।

বীজগাণিতিক পদ গুণ করার সময় সহগগুলো গুণ করো এবং চলক অংশগুলো গুণ করো:

এখানে সহগের গুণফল +12 এবং x × x = x²।

🔹 ৪. ভাগের নিয়ম (Division Rules)

⭐ দুটি অশূন্য সংখ্যার চিহ্ন একই হলে ভাগফল ধনাত্মক; চিহ্ন বিপরীত হলে ভাগফল ঋণাত্মক।

যেমন, ।

📚 শূন্য দিয়ে ভাগ করা যায় না। তবে শূন্যকে যেকোনো অশূন্য সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল শূন্য: 0 ÷ 3 = 0।

👉 গুণ ও ভাগে সূচকের প্রাথমিক নিয়ম

🔹 একই ভিত্তির ঘাত গুণ করলে সূচক যোগ হয়

এখানে মোট পাঁচটি x গুণ আকারে আছে। তাই সূচক 2 + 3 = 5। সাধারণভাবে, ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা m ও n এর জন্য:

🔹 একই ভিত্তির ঘাত ভাগ করলে সূচক বিয়োগ হয়

লব ও হরের সাধারণ গুণনীয়ক কাটাকাটি করলে তিনটি x থাকে। তাই সূচক 5 − 2 = 3। এই প্রাথমিক পাঠে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা m ও n এবং m > n ধরে লিখি:

📚 সূচক যোগ বা বিয়োগের এই নিয়মে ভিত্তি একই হতে হবে। যোগের অঙ্কে এই নিয়ম চলবে না: x² + x³ কে x⁵ লেখা ভুল।

👉 পদের বিন্যাসে চিহ্ন সঙ্গে রাখো

যোগের ক্ষেত্রে পদগুলোর স্থান বদলালেও মান বদলায় না, যদি প্রতিটি পদের চিহ্ন তার সঙ্গে থাকে। সদৃশ পদ পাশাপাশি সাজালে হিসাব সহজ হয়।

এখানে −2y পদটি সরানোর সময় ঋণাত্মক চিহ্নটিও সঙ্গে রাখা হয়েছে।

গুণের ক্ষেত্রেও গুণনীয়কের স্থান বদলানো যায়: 3 × x × 2 = 3 × 2 × x = 6x।

কিন্তু বিয়োগ ও ভাগে সরাসরি সংখ্যা দুটির স্থান বদলালে সাধারণত ফল বদলায়: 7 − 3 = 4, অথচ 3 − 7 = −4; আবার 8 ÷ 2 = 4, অথচ 2 ÷ 8 = 0.25।

👉 কথায় দেওয়া তথ্য থেকে রাশি

ধরি, অজানা সংখ্যাটি x।

📚 শেষের দুটি বাক্য আলাদা। 2x + 3 এ আগে সংখ্যাটিকে দ্বিগুণ করা হয়। 2(x + 3) এ আগে 3 যোগ করে পুরো যোগফলকে দ্বিগুণ করা হয়। বন্ধনী এই পার্থক্যটি বোঝায়।

👉 চলকের মান বসিয়ে রাশির মান

চলকের জায়গায় দেওয়া মান বসিয়ে গাণিতিক কাজ করলে রাশির মান পাওয়া যায়।

⭐ উদাহরণ ৫ রাশির মান নির্ণয়

x = 4 হলে 3x + 2 এর মান কত?

উত্তর: 14। এখানে যোগের আগে গুণ করা হয়েছে।

⭐ উদাহরণ ৬ বন্ধনীসহ রাশির মান

x = 4 হলে 2(x + 3) এর মান কত?

কিন্তু একই মানে 2x + 3 = 2 × 4 + 3 = 11। তাই বন্ধনী বাদ দিলে রাশির অর্থ ও মান বদলে যেতে পারে।

👉 গুণ ও ভাগের ছোট পরিচয়

🔹 বন্ধনীর প্রতিটি পদকে গুণ

দুটি প্যাকেটে প্রতিটিতে x টি পেন্সিল ও আরও 3টি করে পেন্সিল আছে। মোট পেন্সিল:

অর্থাৎ বাইরের 2 দিয়ে বন্ধনীর x ও 3, উভয়কেই গুণ করতে হয়েছে। একে বণ্টন সূত্র (Distributive Law) বলে।

🔹 সমান ভাগ করা

6x টি পেন্সিল 3 জনকে সমান ভাগে দিলে প্রত্যেকে পাবে:

টি পেন্সিল।

এখানে 6 কে 3 দিয়ে ভাগ করা হয়েছে। কোনো সংখ্যা বা রাশিকে শূন্য দিয়ে ভাগ করা যায় না।

👉 রাশি (Expression) ও সমীকরণ (Equation)

⭐ দুটি রাশির সমতা প্রকাশকারী গাণিতিক বাক্যকে সমীকরণ বলে।

= চিহ্নের অর্থ হলো দুই পক্ষের মান সমান।

⭐ উদাহরণ ৭ অজানা সংখ্যা খোঁজা

একটি সংখ্যার সঙ্গে 3 যোগ করলে 10 হয়। সংখ্যাটি কত?

ধরি, সংখ্যাটি x। তাহলে x + 3 = 10।

উভয়পক্ষ থেকে 3 বিয়োগ করি:

👉 যাচাই: 7 + 3 = 10। তাই সংখ্যাটি 7।

এখানে একটি চলক x আছে এবং তার ঘাত 1। এটি এক চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণের একটি সহজ উদাহরণ। সমাধানের বিস্তারিত নিয়ম পরের পাঠগুলোতে শিখবে।

👉 সাধারণ ভুল এড়িয়ে চলো

🔸 3x মানে 3 × x, 3 + x নয়।

🔸 x + x = 2x, কিন্তু x × x = x²।

🔸 −4x এর সহগ −4; ঋণাত্মক চিহ্নটি বাদ দেবে না।

🔸 3x + 2y কে 5xy লেখা যায় না।

🔸 2(x + 3) = 2x + 6, 2x + 3 নয়।

🧠 মনে রাখার মতো গুরুত্বপূর্ণ বিষয়

🔹 চলক, ধ্রুবক ও সহগ: 3x + 5 রাশিতে x চলক, 3 হলো x এর সহগ এবং 5 ধ্রুবক পদ।

🔹 চিহ্নসহ পদ চেনো: 3x − 2y + 5 রাশির পদগুলো হলো 3x, −2y ও +5। পদের স্থান বদলালে তার চিহ্নটিও সঙ্গে রাখবে।

🔹 সদৃশ পদের যোগ-বিয়োগ: শুধু সহগগুলোর যোগ-বিয়োগ হয়; চলক অংশ একই থাকে। যেমন, 3x + 5x = 8x। কিন্তু 3x + 5y কে এক পদে যোগ করা যায় না।

🔹 একই চিহ্নের সংখ্যার যোগ: পরমমানগুলো যোগ করে একই চিহ্ন বসাও। যেমন, (−5) + (−3) = −8।

🔹 বিপরীত চিহ্নের সংখ্যার যোগ: বড় পরমমান থেকে ছোট পরমমান বিয়োগ করে বড় পরমমানের সংখ্যাটির চিহ্ন বসাও। যেমন, (−7) + (+4) = −3। পরমমান সমান হলে যোগফল শূন্য।

🔹 বিয়োগের সময় চিহ্ন বদলাও: দ্বিতীয় সংখ্যার বিপরীত সংখ্যা প্রথমটির সঙ্গে যোগ করো। যেমন, 5 − (−2) = 5 + 2 = 7।

🔹 গুণ ও ভাগের চিহ্ন: দুটি অশূন্য সংখ্যার চিহ্ন একই হলে ফল ধনাত্মক, বিপরীত হলে ফল ঋণাত্মক।

🔹 যোগ আর গুণ এক নয়: x + x = 2x, কিন্তু x × x = x²।

🔹 একই ভিত্তির ঘাত: গুণে সূচক যোগ হয়, ভাগে সূচক বিয়োগ হয়। যেমন, এবং ।

🔹 বন্ধনীর প্রতিটি পদকে গুণ করো: 2(x + 3) = 2x + 6। শুধু প্রথম পদকে গুণ করলে ভুল হবে।

🔹 শূন্য দিয়ে ভাগ করা যায় না: কোনো ভগ্নাংশের হর বা ভাগের ভাজক শূন্য হতে পারবে না।

🔹 রাশি ও সমীকরণ আলাদা: 2x + 3 একটি রাশি; 2x + 3 = 9 একটি সমীকরণ। সমীকরণের সমান চিহ্ন দুই পক্ষের সমতা বোঝায়।

✍️ নিজে চেষ্টা করো

প্রথমে উত্তর না দেখে চেষ্টা করো। আটকে গেলে সংশ্লিষ্ট উদাহরণটি আবার পড়ো।

🔹 1. একটি খাতার দাম p টাকা হলে একই দামের 4টি খাতার দাম কত?

🔹 2. 7x + 4 রাশিতে চলক, x এর সহগ এবং ধ্রুবক পদ লেখো।

🔹 3. 5a − 2b + 6 রাশির পদগুলো লেখো।

🔹 4. −x এর সংখ্যাগত সহগ কত?

🔹 5. কোন জোড়াটি সদৃশ: (ক) 2x, 5x; (খ) 2x, 2y; (গ) x, x²?

🔹 6. একটি সংখ্যা n হলে তার তিন গুণ থেকে 5 বিয়োগ করার রাশি লেখো।

🔹 7. x = 3 হলে 2x + 5 এর মান নির্ণয় করো।

🔹 8. a = 2 হলে a³ এর মান কত?

🔹 9. সরল করো: 4x + 3x এবং 9y − 5y।

🔹 10. বন্ধনী খোলো: 3(x + 2)।

🔹 11. ভাগ করো: ।

🔹 12. কোনটি সমীকরণ: 2x + 7, নাকি 2x + 7 = 15?

🔹 13. x + 4 = 9 সমীকরণে x এর মান নির্ণয় করে যাচাই করো।

🔹 14. x = 2 হলে 3x ও x³ এর মান কি সমান?

🔹 15. রিয়ার কাছে m টি বই আছে। সে আরও 3টি বই পেল। তার মোট বইয়ের সংখ্যা প্রকাশ করো। m = 5 হলে মোট বই কয়টি?

👉 উত্তরমালা

🔸 1. 4p টাকা।

🔸 2. চলক x, সহগ 7 এবং ধ্রুবক পদ 4।

🔸 3. 5a, −2b ও 6।

🔸 4. −1।

🔸 5. (ক), কারণ দুটির চলক অংশ x।

🔸 6. 3n − 5।

🔸 7. 2 × 3 + 5 = 11।

🔸 8. 2 × 2 × 2 = 8।

🔸 9. যথাক্রমে 7x ও 4y।

🔸 10. 3x + 6।

🔸 11. 2a।

🔸 12. 2x + 7 = 15।

🔸 13. x = 5; যাচাই: 5 + 4 = 9।

🔸 14. না; 3x = 6 এবং x³ = 8।

🔸 15. m + 3 টি; m = 5 হলে 5 + 3 = 8 টি বই।

⭐ এরপর কী শিখবে

সদৃশ পদ ভালোভাবে চিনে রাশির যোগ ও বিয়োগ অনুশীলন করবে। তারপর গুণ, সূচকের নিয়ম, ভাগ ও সরলীকরণ শিখবে। এই ধারণাগুলো পরিষ্কার হলে এক চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ এবং তার প্রয়োগ শেখা সহজ হবে।

📚 বীজগণিতে অক্ষর দিয়ে পরিমাণ প্রকাশ করা হয়। অক্ষরটি কী বোঝাচ্ছে তা আগে বুঝবে, তারপর রাশির পদ ও চিহ্ন দেখবে। ছোট উদাহরণে মান বসিয়ে অনুশীলন করলে নতুন নিয়মগুলোর অর্থ পরিষ্কার হবে।