এক চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ (Linear Equations in One Variable)
🎯 এই অধ্যায় শেষে তুমি কি কি জানবে?
👉 এক চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণের ধারণা
👉 সমীকরণের সমতার নিয়ম
👉 সমীকরণ সমাধান করার সময় পক্ষান্তর করা এবং বন্ধনী মুক্ত করা।
👉 ভগ্নাংশ ও দশমিকযুক্ত সমীকরণ সমাধান
👉 ৯টি সমাধানসহ উদাহরণ
👉 সমীকরণের ধারণা
🔸 চলক (Variable) : সমীকরণে পরিবর্তনশীল পদটি হলো চলক। একটি প্রতীক বা বর্ণ, সাধারণত ইংরেজি বর্ণমালার ছোট হাতের অক্ষর যেমন x, y, z, ইত্যাদি দিয়ে চলকে প্রকাশ করা হয়।
🔸 ধ্রুবক (Constant) : যার মান সর্বদা নির্দিষ্ট ও অপরিবর্তনশীল থাকে তাকেই ধ্রুবক বলে।
🔸 সহগ (Coefficient) : যখন কোনো ধ্রুবকপদ বা সংখ্যা কোনো চলকের সাথে গুণ অবস্থায় থাকে, তখন সেই ধ্রুবকপদ বা সংখ্যাটিকে ওই চলকের সহগ বলা হয়।
এই পদের সাথে কোনো ধরনের বীজগাণিতিক চলক থাকে না।
3x + 5 রাশিতে x চলক, 3 হলো x এর সহগ, আর 5 ধ্রুবক পদ।
⭐ সমীকরণ (Equation) হলো দুটি রাশির মধ্যে সমতা প্রকাশকারী গাণিতিক রূপ।
যেমন 3x + 5 = 20।
📚 সমান চিহ্নের বাঁ দিক বামপক্ষ (LHS) এবং ডান দিক ডানপক্ষ (RHS)।
📚 শুধু 3x + 5 একটি রাশি, সমীকরণ নয়।
🔹 এক চলক এবং একঘাত বলতে কী বোঝায়
যে সমীকরণকে সরল করে ax + b = 0 আকারে লেখা যায়, যেখানে a ও b ধ্রুবক এবং a ≠ 0, তাকে এক চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ বলে। এখানে একটিমাত্র চলক আছে এবং তার সর্বোচ্চ ঘাত 1।
📚 x2 + 3 = 12 একঘাত নয়;
📚 x + y = 10 এ দুটি চলক আছে।
📚 মূল আকারে একঘাত নয়, তবে x ≠ 0 শর্তে একঘাত সমীকরণে রূপান্তর করা যায়।
🔹 সমাধান বা মূল
চলকের যে মানে সমীকরণের দুই পক্ষ সমান হয়, সেটিই সমাধান বা মূল (Solution or Root)। 2x + 7 = 15 এ x = 4, কারণ 2 × 4 + 7 = 15।
👉 সমতা বজায় রেখে সমাধান
সমীকরণকে ভারসাম্যযুক্ত দাঁড়িপাল্লার মতো ভাবো। দুই পক্ষের সমতা বজায় রাখতে উভয়পক্ষে একই সংখ্যা যোগ বা বিয়োগ এবং একই অশূন্য সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করা যায়। শূন্য দিয়ে ভাগ করা যায় না।
⭐ উদাহরণ 1 উভয়পক্ষে একই প্রক্রিয়া
সমাধান করো 3x + 4 = 19।
উভয়পক্ষ থেকে 4 বিয়োগ করি।
3x + 4 − 4 = 19 − 4 3x = 15উভয়পক্ষকে 3 দিয়ে ভাগ করি।
উত্তর: x = 5।
👉 যাচাই: 3 × 5 + 4 = 19।
🔹 পক্ষান্তর পদ্ধতি (Transposition)
একটি যোগ বা বিয়োগের পদকে অপর পক্ষে বিপরীত চিহ্নে লেখা হলো পক্ষান্তর। এটি আসলে দুই পক্ষে একই সংখ্যা যোগ বা বিয়োগ করার সংক্ষিপ্ত রূপ। সহগ দূর করতে পুরো পক্ষকে সেই অশূন্য সহগ দিয়ে ভাগ করতে হয়।
⭐ উদাহরণ 2 পক্ষান্তর প্রয়োগ
সমাধান করো 5x − 7 = 8।
5x = 8 + 7 = 15উত্তর: x = 3।
👉 যাচাই: 5 × 3 − 7 = 8।
⭐ উদাহরণ 3 ঋণাত্মক সহগ
সমাধান করো 7 − 2x = 15।
−2x = 15 − 7 = 8উত্তর: x = −4।
👉 যাচাই: 7 − 2 × (−4) = 15।
📚 মনে রাখবে: 2x + 3 = 11 থেকে লেখা ভুল। 2 দিয়ে ভাগ করলে পুরো পক্ষকে ভাগ করতে হবে। আগে 3 বিয়োগ করে 2x = 8 লিখলে কাজ সহজ হয়।
👉 দুই পক্ষে চলক ও বন্ধনীর ব্যবহার
⭐ উদাহরণ 4 উভয়পক্ষে চলক
সমাধান করো 5x − 7 = 2x + 8।
5x − 2x = 8 + 7 3x = 15 x = 5উত্তর: x = 5।
👉 যাচাই: বামপক্ষ = 25 − 7 = 18; ডানপক্ষ = 10 + 8 = 18।
⭐ উদাহরণ 5 বন্ধনী অপসারণ
সমাধান করো 3(x − 2) + 4 = 2(x + 5)।
3x − 6 + 4 = 2x + 10 3x − 2 = 2x + 10 3x − 2x = 10 + 2 x = 12উত্তর: x = 12।
👉 যাচাই: বামপক্ষ = 3 × 10 + 4 = 34; ডানপক্ষ = 2 × 17 = 34।
⭐ উদাহরণ 6 বন্ধনীর আগে বিয়োগ
সমাধান করো 5 − (2x − 3) = 12।
5 − 2x + 3 = 12 −2x = 12 − 8 = 4 x = −2উত্তর: x = −2।
👉 যাচাই: 5 − (−4 − 3) = 12।
🔹 একটি বিশেষ পর্যবেক্ষণ
সব চলকযুক্ত সমীকরণের একটিমাত্র সমাধান হয় না। সরল করার পরে চলকের সহগ শূন্য হয়ে গেলে আলাদা করে বিচার করতে হয়।
2(x + 3) = 2x + 6 → 6 = 6এটি সব বাস্তব x এর জন্য সত্য, তাই অসংখ্য সমাধান আছে।
2(x + 3) = 2x + 9 → 6 = 9এটি কখনো সত্য নয়, তাই কোনো সমাধান নেই। এই দুটি ক্ষেত্রে ax + b = 0 আকারে a ≠ 0 শর্তটি পূরণ হয় না।
👉 ভগ্নাংশ ও দশমিকযুক্ত সমীকরণ
⭐ উদাহরণ 7 হরের লসাগু দিয়ে গুণ
সমাধান করো ।
হর 3 ও 2 এর লসাগু 6। সমীকরণের প্রতিটি পদকে 6 দিয়ে গুণ করি।
2(x − 1) + 3(x + 2) = 36 2x − 2 + 3x + 6 = 36 5x + 4 = 36উত্তর: ।
👉 যাচাই: ।
🔹 বজ্রগুণন (Cross Multiplication)
হলে AD = BC , যেখানে B ≠ 0 এবং D ≠ 0। দুই পক্ষকে BD দিয়ে গুণ করলেই এই নিয়ম পাওয়া যায়। এক পক্ষে একাধিক ভগ্নাংশের যোগ থাকলে আগে একক ভগ্নাংশে আনবে অথবা লসাগু ব্যবহার করবে।
⭐ উদাহরণ 8 দুই ভগ্নাংশের সমতা
সমাধান করো ।
2(x + 1) = 3 × 4 2x + 2 = 12 2x = 10 x = 5উত্তর: x = 5।
👉 যাচাই: ।
⭐ উদাহরণ 9 দশমিক দূর করা
সমাধান করো 0.4x + 1.2 = 3.6।
উভয়পক্ষকে 10 দিয়ে গুণ করি।
4x + 12 = 36 4x = 24 x = 6উত্তর: x = 6।
👉 যাচাই: 0.4 × 6 + 1.2 = 3.6।
সমাধানের ধাপ: প্রয়োজনমতো বন্ধনী খোলো ও হর দূর করো → সদৃশ পদ একত্র করো → চলকযুক্ত পদ এক পক্ষে আনো → সহগ দিয়ে ভাগ করো → মূল সমীকরণে যাচাই করো।
👉 সাধারণ ভুল এড়িয়ে চলো
🔸 বন্ধনীর আগে বিয়োগ থাকলে প্রতিটি পদের চিহ্ন বদলাবে: −(2x − 3) = −2x + 3।
🔸 হর দূর করার সময় সমীকরণের প্রতিটি পদকে লসাগু দিয়ে গুণ করবে।
🔸 সহগ দিয়ে ভাগ করলে পুরো পক্ষকে ভাগ করবে। শূন্য দিয়ে ভাগ করা যায় না।
🔸 উত্তর মূল সমীকরণে বসিয়ে দুই পক্ষের মান মিলিয়ে দেখবে।
✍️ নিজে অনুশীলন করো
প্রতিটি সমাধানের ধাপ দেখাও এবং মূল সমীকরণে উত্তর যাচাই করো।
🔸 1. 4x + 7 রাশি, না সমীকরণ? কারণ লেখো।
🔸 2. কোনটি এক চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ: (ক) x2 = 9, (খ) 3x − 2 = 10, (গ) x + y = 7?
🔸 3. x + 9 = 17
🔸 4. 6x − 5 = 31
🔸 5. 8 − 3x = 20
🔸 6. 7x + 2 = 4x + 17
🔸 7. 2(x − 3) = 14
🔸 8. 4 − (x − 2) = 9
🔸 9.
🔸 10.
🔸 11.
🔸 12. 0.5x + 1.5 = 5
🔸 13. 3(x + 2) = 3x + 6 এর সমাধান কতটি?
🔸 14. 4x + 1 = 4x + 5 এর সমাধান কতটি?
👉 উত্তরমালা
🔸 1. রাশি; সমান চিহ্নসহ দুটি পক্ষ নেই।
🔸 2. (খ)।
🔸 3. x = 8।
🔸 4. x = 6।
🔸 5. x = −4।
🔸 6. x = 5।
🔸 7. x = 10।
🔸 8. x = −3।
🔸 9. x = 13।
🔸 10. x = 12।
🔸 11. x = 13।
🔸 12. x = 7।
🔸 13. অসংখ্য।
🔸 14. কোনো সমাধান নেই।
⭐ মনে রাখো
📚 উভয়পক্ষে একই বৈধ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে সমতা বজায় রাখবে। সদৃশ পদ একত্র করে চলককে একা করবে। শেষে মূল সমীকরণে পাওয়া মান বসিয়ে যাচাই করবে।
👉 পরের পাঠ: একঘাত সমীকরণের প্রয়োগ।
