घनाभ और घन का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल
क्या तुमने ईंट, किताब या जूतों के डिब्बे का आकार देखा है? ये घनाभ (Cuboid) के परिचित उदाहरण हैं। लूडो के पासे का आदर्श आकार घन (Cube) होता है।
ये ठोस आकृतियाँ कितना स्थान घेरती हैं, यह जानने के लिए उनका आयतन (Volume) निकालते हैं। उनकी बाहरी सतहों को ढकने के लिए कितना कागज़ या रंग चाहिए, यह जानने के लिए पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area) निकालते हैं।
घनाभ और घन
📚 घनाभ और घन किसे कहते हैं?
घनाभ: 6 आयताकार फलकों से घिरे त्रिविमीय (3D) ठोस को घनाभ कहते हैं। इसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई का बराबर होना आवश्यक नहीं है।
घन: 6 समान वर्गाकार फलकों से घिरे त्रिविमीय ठोस को घन कहते हैं। इसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई बराबर होती हैं।
याद रखो: घन, घनाभ का एक विशेष रूप है। प्रत्येक घन एक घनाभ है, लेकिन प्रत्येक घनाभ घन नहीं होता।
📚 महत्वपूर्ण विशेषताएँ
🔹 फलक (Faces): दोनों में 6 फलक होते हैं। सम्मुख फलक समान और समांतर होते हैं तथा आसन्न फलक एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
🔹 किनारे (Edges): दोनों में 12 किनारे होते हैं। जिस रेखाखंड पर 2 आसन्न फलक मिलते हैं, उसे किनारा कहते हैं।
🔹 शीर्ष (Vertices): दोनों में 8 शीर्ष होते हैं। प्रत्येक शीर्ष पर 3 किनारे मिलते हैं।
🔹 अंतरिक्ष विकर्ण (Space Diagonals): दोनों में 4 अंतरिक्ष विकर्ण होते हैं। ये ठोस के भीतर से होकर उसके सम्मुख शीर्षों को जोड़ते हैं।
🔹 फलक विकर्ण (Face Diagonals): प्रत्येक फलक में 2 विकर्ण होते हैं, इसलिए कुल 12 फलक विकर्ण होते हैं। प्रत्येक फलक विकर्ण एक ही फलक के सम्मुख शीर्षों को जोड़ता है।
👉 घनाभ का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल
घनाभ
l = लंबाई (Length), b = चौड़ाई (Breadth), h = ऊँचाई (Height)
मान लो, घनाभ की लंबाई l, चौड़ाई b और ऊँचाई h है।
⭐ आयतन (Volume)
आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई
घनाभ का आधार आयताकार होता है, इसलिए आधार का क्षेत्रफल = l × b।
अतः आयतन = l × b × h घन इकाई।
⭐ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area)
घनाभ के 6 फलकों में:
- ऊपर और नीचे के प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल = lb।
- आगे और पीछे के प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल = lh।
- शेष 2 फलकों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल = bh।
अतः संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2lb + 2lh + 2bh।
अर्थात संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl) वर्ग इकाई।
⭐ पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (Lateral Surface Area)
ऊपर और नीचे के फलकों को छोड़कर शेष 4 फलकों के क्षेत्रफलों के योग को पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल कहते हैं।
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = आधार का परिमाप × ऊँचाई
अतः पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(l + b) × h = 2h(l + b) वर्ग इकाई।
इसी सूत्र से घनाभाकार कमरे की चारों दीवारों का कुल क्षेत्रफल भी निकाला जाता है। इसके लिए कमरे की अंदर की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई लेनी होगी।
ध्यान रखो: दरवाज़ों और खिड़कियों को छोड़कर रंग करना हो, तो चारों दीवारों के कुल क्षेत्रफल में से दरवाज़ों और खिड़कियों का क्षेत्रफल घटाना होगा।
⭐ अंतरिक्ष विकर्ण की लंबाई (Space Diagonal)
घनाभ के एक अंतरिक्ष विकर्ण की लंबाई:
यह लंबाई सामान्य लंबाई की इकाइयों में व्यक्त की जाती है, जैसे सेमी या मीटर।
⭐ सभी किनारों की लंबाइयों का योग
घनाभ में लंबाई की दिशा में 4, चौड़ाई की दिशा में 4 और ऊँचाई की दिशा में 4 किनारे होते हैं।
अतः सभी किनारों की लंबाइयों का योग = 4(l + b + h) इकाई।
👉 घन का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल
घन
लंबाई = चौड़ाई = ऊँचाई = a
मान लो, घन के प्रत्येक किनारे की लंबाई a है।
घन के सूत्र प्राप्त करने के लिए घनाभ के सूत्रों में l = b = h = a रख सकते हैं।
⭐ घन का आयतन (Volume)
आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई
अतः घन का आयतन = a × a × a = a³ घन इकाई।
⭐ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area)
घन का प्रत्येक फलक वर्गाकार होता है। इसलिए एक फलक का क्षेत्रफल = a²।
ऐसे 6 समान फलक होते हैं।
अतः घन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a² वर्ग इकाई।
⭐ पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (Lateral Surface Area)
ऊपर और नीचे के फलकों को छोड़ने पर 4 वर्गाकार फलक बचते हैं।
अतः घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4a² वर्ग इकाई।
⭐ अंतरिक्ष विकर्ण की लंबाई (Space Diagonal)
घन के एक अंतरिक्ष विकर्ण की लंबाई:
अर्थात अंतरिक्ष विकर्ण की लंबाई = इकाई।
वहीं, एक वर्गाकार फलक के विकर्ण, अर्थात फलक विकर्ण की लंबाई = इकाई।
⭐ सभी किनारों की लंबाइयों का योग
घन के 12 किनारों में से प्रत्येक की लंबाई a होती है।
अतः सभी किनारों की लंबाइयों का योग = 12a इकाई।
यहाँ “घन का परिमाप” कहने के बजाय “सभी किनारों की लंबाइयों का योग” कहना अधिक स्पष्ट है।
👉 सरल हल सहित उदाहरण
✏️ उदाहरण 1: घनाभ का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल
एक घनाभाकार डिब्बे की लंबाई 5 सेमी, चौड़ाई 3 सेमी और ऊँचाई 2 सेमी है। उसका आयतन, संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करो।
हल:
यहाँ l = 5 सेमी, b = 3 सेमी और h = 2 सेमी।
आयतन
lbh = 5 × 3 × 2 = 30 घन सेमी।
संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल
2(lb + bh + hl) = 2(5 × 3 + 3 × 2 + 2 × 5)= 2(15 + 6 + 10) = 62 वर्ग सेमी।
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
2h(l + b) = 2 × 2 × (5 + 3) = 32 वर्ग सेमी।
उत्तर: आयतन 30 घन सेमी, संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 62 वर्ग सेमी और पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 32 वर्ग सेमी।
✏️ उदाहरण 2: घन का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल
एक घन के प्रत्येक किनारे की लंबाई 4 सेमी है। उसका आयतन, संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करो।
हल:
यहाँ a = 4 सेमी।
आयतन = a³ = 4 × 4 × 4 = 64 घन सेमी।
संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a² = 6 × 4² = 6 × 16 = 96 वर्ग सेमी।
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4a² = 4 × 4² = 4 × 16 = 64 वर्ग सेमी।
उत्तर: आयतन 64 घन सेमी, संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 96 वर्ग सेमी और पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 64 वर्ग सेमी।
ध्यान दो: यहाँ आयतन और पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल के संख्यात्मक मान समान हैं, लेकिन ये अलग-अलग राशियाँ हैं और इनकी इकाइयाँ भी अलग हैं।
✏️ उदाहरण 3: कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल
एक घनाभाकार कमरे की अंदर की लंबाई 6 मीटर, चौड़ाई 4 मीटर और ऊँचाई 3 मीटर है। दरवाज़ों और खिड़कियों का क्षेत्रफल घटाए बिना चारों दीवारों का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करो।
हल:
चारों दीवारों का कुल क्षेत्रफल = 2h(l + b)
= 2 × 3 × (6 + 4)= 6 × 10 = 60 वर्ग मीटर।
उत्तर: चारों दीवारों का कुल क्षेत्रफल 60 वर्ग मीटर है।
इसमें फ़र्श और छत का क्षेत्रफल शामिल नहीं है।
✏️ उदाहरण 4: घनाभ का अंतरिक्ष विकर्ण
एक घनाभ की लंबाई 3 सेमी, चौड़ाई 4 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है। उसके एक अंतरिक्ष विकर्ण की लंबाई ज्ञात करो।
हल:
उत्तर: अंतरिक्ष विकर्ण की लंबाई 13 सेमी है।
✏️ उदाहरण 5: आयतन से ऊँचाई ज्ञात करना
एक घनाभ का आयतन 120 घन सेमी, लंबाई 6 सेमी और चौड़ाई 4 सेमी है। उसकी ऊँचाई कितनी है?
हल:
हम जानते हैं, आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई।
इसलिए ऊँचाई = आयतन ÷ (लंबाई × चौड़ाई)।
उत्तर: घनाभ की ऊँचाई 5 सेमी है।
🧠 याद रखने योग्य महत्वपूर्ण बातें
- इकाइयाँ समान करो: सूत्र में मान रखने से पहले लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई को एक ही इकाई में व्यक्त करो।
- आयतन: घन इकाइयों में व्यक्त करो, जैसे घन सेमी या घन मीटर।
- क्षेत्रफल: वर्ग इकाइयों में व्यक्त करो, जैसे वर्ग सेमी या वर्ग मीटर।
- विकर्ण की लंबाई: लंबाई की इकाइयों में व्यक्त करो, जैसे सेमी या मीटर।
- संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल: घनाभ या घन के सभी 6 फलक शामिल करो।
- पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल: ऊपर और नीचे के फलकों को छोड़कर शेष 4 फलक शामिल करो।
- बिना ढक्कन का डिब्बा: इसमें सभी 6 फलक नहीं होते। इसलिए संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र सीधे लगाने के बजाय, देखो कि कौन-कौन से फलक मौजूद हैं।
- धारिता: डिब्बे या पात्र में कितना पदार्थ समा सकता है, यह जानने के लिए अंदर की माप लो।
✍️ स्वयं प्रयास करो
🔹 1. एक घनाभ की लंबाई 8 सेमी, चौड़ाई 5 सेमी और ऊँचाई 2 सेमी है। उसका आयतन कितना है?
🔹 2. एक घन के प्रत्येक किनारे की लंबाई 3 सेमी है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है?
🔹 3. एक घनाभाकार कमरे की अंदर की लंबाई 5 मीटर, चौड़ाई 4 मीटर और ऊँचाई 3 मीटर है। दरवाज़ों और खिड़कियों का क्षेत्रफल घटाए बिना चारों दीवारों का कुल क्षेत्रफल कितना है?
🔹 4. एक घन के प्रत्येक किनारे की लंबाई 2 सेमी है। उसके एक अंतरिक्ष विकर्ण की लंबाई कितनी है?
अपने उत्तर जाँचो:
🔹 1. 80 घन सेमी।
🔹 2. 54 वर्ग सेमी।
🔹 3. 54 वर्ग मीटर।
🔹 4. सेमी।
💡 त्वरित पुनरावृत्ति
यहाँ घनाभ की लंबाई l, चौड़ाई b, ऊँचाई h और घन के प्रत्येक किनारे की लंबाई a है।
| माप | घनाभ (Cuboid) | घन (Cube) |
|---|---|---|
| आयतन | lbh | a³ |
| संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल | 2(lb + bh + hl) | 6a² |
| पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल | 2h(l + b) | 4a² |
| अंतरिक्ष विकर्ण की लंबाई | ||
| सभी किनारों की लंबाइयों का योग | 4(l + b + h) | 12a |
⭐ दोनों में होते हैं: 6 फलक, 12 किनारे, 8 शीर्ष और 4 अंतरिक्ष विकर्ण।
⭐ इकाइयाँ याद रखो: लंबाई → इकाई; क्षेत्रफल → वर्ग इकाई; आयतन → घन इकाई।
