শঙ্কুর বক্রতল, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন
🎯 এই অধ্যায় শেষে তুমি কী কী জানবে?
👉 লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর গঠন ও বিভিন্ন অংশ চিনতে।
👉 লম্ব উচ্চতা এবং তির্যক উচ্চতার পার্থক্য বুঝতে।
👉 বক্রতল, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তনের সূত্র ব্যবহার করতে।
👉 ক্ষেত্রাংশের সাহায্যে বক্রতলের সূত্র ব্যাখ্যা করতে।
👉 টুপি, তাঁবু ও পাত্রের সহজ সমস্যা সমাধান করতে।
জন্মদিনের শঙ্কু আকৃতির টুপি বানাতে কত কাগজ প্রয়োজন? একটি শঙ্কু আকৃতির পাত্রে কতটা জল ধরবে? প্রথম প্রশ্নে বক্রতলের ক্ষেত্রফল (Curved Surface Area), আর দ্বিতীয় প্রশ্নে ভেতরের আয়তন (Volume) জানতে হবে।
👉 শঙ্কু (Cone) কাকে বলে?
শঙ্কুর একটি বৃত্তাকার ভূমি এবং একটি বক্রতল থাকে। বক্রতলটি একটি বিন্দুতে মিলিত হয়, যাকে শীর্ষবিন্দু (Vertex) বলে।
এই অধ্যায়ে লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone) নিয়ে আলোচনা করছি। এতে শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্ব ভূমির কেন্দ্র দিয়ে যায়। এখানে দেওয়া তির্যক উচ্চতা ও বক্রতলের সূত্রগুলি এই ধরনের শঙ্কুর জন্য।
সমকোণী ত্রিভুজ ঘুরিয়ে শঙ্কু তৈরি
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণসংলগ্ন যেকোনো একটি বাহুকে অক্ষ ধরে পূর্ণ একবার ঘোরালে লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি হয়। তখন:
- স্থির রাখা বাহুর দৈর্ঘ্য হয় শঙ্কুর উচ্চতা।
- অপর লম্ব বাহুর দৈর্ঘ্য হয় ভূমির ব্যাসার্ধ।
- অতিভুজের দৈর্ঘ্য হয় তির্যক উচ্চতা।
অতিভুজকে অক্ষ ধরে ঘোরালে একই গঠন পাওয়া যায় না। তাই কোন বাহুকে স্থির রাখা হচ্ছে, সেটি গুরুত্বপূর্ণ।
👉 শঙ্কুর প্রধান মাপ ও প্রতীক
🔹 ভূমির ব্যাসার্ধ (Radius), r: বৃত্তাকার ভূমির কেন্দ্র থেকে পরিধির যেকোনো বিন্দুর দূরত্ব।
🔹 লম্ব উচ্চতা (Perpendicular Height), h: শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমির কেন্দ্র পর্যন্ত লম্ব দূরত্ব।
🔹 তির্যক বা হেলানো উচ্চতা (Slant Height), l: শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমির পরিধির একটি বিন্দু পর্যন্ত সরলরেখাংশের দৈর্ঘ্য। লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুতে এই দৈর্ঘ্য সব দিকে সমান।
🔹 ভূমির ব্যাস (Diameter), d: ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ, অর্থাৎ d = 2r।
এখানে r > 0 এবং h > 0। l হলো ইংরেজি ছোট হাতের এল, সংখ্যা 1 নয়।
👉 তির্যক উচ্চতার সূত্র ও প্রমাণ
শীর্ষবিন্দু A, ভূমির কেন্দ্র O এবং ভূমির পরিধির একটি বিন্দু B ধরি। তাহলে:
AO = h, OB = r, AB = l এবং ∠AOB = 90°।
সমকোণী ত্রিভুজ AOB-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
⭐ l2 = r2 + h2
তাই:
⭐
প্রয়োজনে একই সম্পর্ক থেকে পাই:
⭐
মনে রাখো: তির্যক উচ্চতা অতিভুজ। তাই l > h এবং l > r। উচ্চতা ও ব্যাসার্ধ সরাসরি যোগ করে তির্যক উচ্চতা পাওয়া যায় না।
👉 শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল
⭐ CSA = πrl
এখানে তির্যক উচ্চতা l লাগে, লম্ব উচ্চতা h নয়। এটি শুধু বাঁকা পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল; ভূমির বৃত্ত এতে নেই।
💡 বক্রতল খুলে সূত্রটি প্রমাণ করি
🔹 শঙ্কুর বক্রতলকে একটি তির্যক রেখা বরাবর কেটে সমতলে বিছালে বৃত্তের একটি ক্ষেত্রাংশ (Sector) পাওয়া যায়।
🔹 ক্ষেত্রাংশটির ব্যাসার্ধ = শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা = l।
🔹 ক্ষেত্রাংশটির চাপের দৈর্ঘ্য = শঙ্কুর ভূমির পরিধি = 2πr।
🔹 একই l ব্যাসার্ধের সম্পূর্ণ বৃত্তের পরিধি 2πl এবং ক্ষেত্রফল πl²।
🔹 একই ব্যাসার্ধের ক্ষেত্রে ক্ষেত্রাংশের ক্ষেত্রফল চাপের দৈর্ঘ্যের সমানুপাতে বদলায়। তাই বক্রতলের ক্ষেত্রফল:
🔹
🔹 এখানে একটি স্থির ব্যাসার্ধের বৃত্তের ক্ষেত্রাংশ তুলনা করা হয়েছে; বিভিন্ন ব্যাসার্ধের বৃত্তের ক্ষেত্রফলকে শুধু পরিধির সমানুপাতে ধরা হয়নি।
অতিরিক্ত সম্পর্ক: খোলা ক্ষেত্রাংশের কেন্দ্রীয় কোণ
ক্ষেত্রাংশটির কেন্দ্রীয় কোণের ডিগ্রি মান θ হলে:
⭐
অর্থাৎ কেন্দ্রীয় কোণ । টুপি তৈরির কাগজের নকশা বুঝতে এই সম্পর্কটি কাজে লাগে। এখানে জোড়া লাগানোর বাড়তি অংশ ধরা হয়নি।
👉 ভূমি ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
বৃত্তাকার ভূমির ক্ষেত্রফল:
⭐ B = πr2
বক্রতল ও ভূমি একসঙ্গে ধরলে:
⭐ TSA = πrl + πr2 = πr(l + r)
টুপি বা মেঝে ছাড়া তাঁবু: শুধু বক্রতল, πrl।
ভূমিসহ সম্পূর্ণ শঙ্কুর বাইরের পৃষ্ঠ: πr(l + r)।
কাপড় বা কাগজের অঙ্কে প্রশ্ন অনুযায়ী দরজা, বাড়তি জোড়া, পুরুত্ব ও অপচয় ধরতে হবে। শুধু আদর্শ আকৃতির ক্ষেত্রফল চাইলে এগুলি উপেক্ষা করা হয়।
👉 শঙ্কুর আয়তন
⭐ V = 13 πr2h
অর্থাৎ আয়তন = 13 × ভূমির ক্ষেত্রফল × লম্ব উচ্চতা।
একই ভূমির ব্যাসার্ধ ও একই উচ্চতার বেলনের আয়তন πr2h। শঙ্কুর আয়তন তার এক-তৃতীয়াংশ।
⭐
সমান ভেতরের ব্যাসার্ধ ও উচ্চতার শঙ্কু এবং বেলন আকৃতির পাত্র নিলে, শঙ্কু আকৃতির পাত্রটি 3 বার কানায় ভরে জল ঢাললে বেলনটি পূর্ণ হয়, যদি জল না পড়ে বা থেকে না যায়। এটি সম্পর্কটির ব্যবহারিক প্রদর্শন, নিজে পূর্ণ গাণিতিক প্রমাণ নয়।
সতর্কতা: আয়তনের সূত্রে h ব্যবহার করবে, l নয়। তির্যক উচ্চতা দেওয়া থাকলে আগে লম্ব উচ্চতা বের করো।
ব্যাস d দিয়ে লিখলে:
⭐
🔎 উচ্চতর স্তরের জন্য: কলনবিদ্যায় আয়তনের প্রমাণ
🔹 এই অংশটি ঐচ্ছিক। প্রাথমিক অঙ্ক করার জন্য কলনবিদ্যা জানা প্রয়োজন নেই।
🔹 শীর্ষবিন্দু থেকে অক্ষ বরাবর ভূমির দিকে দূরত্ব x ধরি। শীর্ষে x = 0 এবং ভূমিতে x = h।
🔹 ওই অবস্থানে ভূমির সমান্তরাল বৃত্তাকার প্রস্থচ্ছেদের ব্যাসার্ধ ρহলে সদৃশ ত্রিভুজ থেকে:
🔹 ।
🔹 সুতরাং প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল ।
🔹 অতি পাতলা চাকতিগুলির আয়তন সমাকলন করলে:
🔹
🔹
🔹 এখানে x শীর্ষ থেকে মাপা হয়েছে। ভূমি থেকে মাপলে প্রস্থচ্ছেদের ব্যাসার্ধের রাশিটিও সেই অনুযায়ী বদলাতে হবে।
👉 আয়তন, উপাদান ও ধারণক্ষমতা
⭐ নিরেট শঙ্কু: 13 πr2h বস্তুটির উপাদানের আয়তন।
⭐ শঙ্কু আকৃতির পাত্র: ভেতরের ফাঁকা অংশের ব্যাসার্ধ ও লম্ব উচ্চতা দিয়ে একই সূত্রে ধারণক্ষমতা পাওয়া যায়।
⭐ পুরু দেয়ালযুক্ত ফাঁপা বস্তু: উপাদানের আয়তন পেতে বাইরের আয়তন থেকে ভেতরের ফাঁকা অংশ বাদ দিতে হয়। উভয়ের সঠিক মাপ জানতে হবে।
1 ঘন সেমি = 1 মিলিলিটার এবং 1000 ঘন সেমি = 1 লিটার।
👉 সহজ সমাধানসহ উদাহরণ
π ব্যবহারের নিয়ম: π রেখে সঠিক উত্তর লেখা যায়। 3.14 ও 227 কেবল আসন্ন মান। প্রশ্নে যে মান দেওয়া থাকবে, সেটি ব্যবহার করবে।
✏️ উদাহরণ 1: তির্যক উচ্চতা
একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 3 সেমি এবং লম্ব উচ্চতা 4 সেমি। তির্যক উচ্চতা কত?
সমাধান:
সেমি।
উত্তর: 5 সেমি। সরাসরি 3 + 4 করলে সঠিক উত্তর পাওয়া যাবে না।
✏️ উদাহরণ 2: বক্রতল ও সমগ্রতল
একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 3 সেমি এবং তির্যক উচ্চতা 5 সেমি। বক্রতল ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান: বক্রতল = π × 3 × 5 = 15π বর্গ সেমি।
ভূমি = π × 3² = 9π বর্গ সেমি।
সমগ্রতল = 15π + 9π = 24π বর্গ সেমি।
উত্তর: 15π বর্গ সেমি ও 24π বর্গ সেমি।
✏️ উদাহরণ 3: শঙ্কুর আয়তন
একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 3 সেমি ও লম্ব উচ্চতা 4 সেমি। আয়তন নির্ণয় করো।
সমাধান:
ঘন সেমি।
উত্তর: 12π ঘন সেমি। একই ভূমি ও উচ্চতার বেলনের আয়তন 36π ঘন সেমি।
✏️ উদাহরণ 4: ব্যাস দেওয়া থাকলে
একটি শঙ্কুর ভূমির ব্যাস 10 সেমি এবং লম্ব উচ্চতা 12 সেমি। তির্যক উচ্চতা ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল বের করো।
সমাধান: ব্যাসার্ধ r = 10 ÷ 2 = 5 সেমি।
সেমি।
সমগ্রতল = π × 5 × (13 + 5) = 90π বর্গ সেমি।
উত্তর: তির্যক উচ্চতা 13 সেমি, সমগ্রতল 90π বর্গ সেমি।
✏️ উদাহরণ 5: তির্যক উচ্চতা থেকে আয়তন
একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 5 সেমি এবং তির্যক উচ্চতা 13 সেমি। আয়তন কত?
সমাধান: আগে লম্ব উচ্চতা বের করি।
সেমি।
ঘন সেমি।
উত্তর: 100π ঘন সেমি। আয়তনের সূত্রে 13 বসানো যাবে না।
✏️ উদাহরণ 6: তাঁবুর কাপড়
একটি শঙ্কু আকৃতির তাঁবুর ভূমির ব্যাসার্ধ 7 মিটার এবং তির্যক উচ্চতা 10 মিটার। মেঝে ছাড়া কত কাপড় লাগবে? দরজার ফাঁক, জোড়া ও অপচয় উপেক্ষা করো। নাও।
সমাধান: শুধু বক্রতল ধরতে হবে।
বর্গ মিটার।
উত্তর: প্রায় 220 বর্গ মিটার কাপড়।
✏️ উদাহরণ 7: পাত্রের ধারণক্ষমতা
একটি পাত্রের ভেতরের ফাঁকা অংশ শঙ্কু আকৃতির। ভেতরের ব্যাসার্ধ 3 সেমি এবং লম্ব উচ্চতা 10 সেমি। কানায় পূর্ণ করলে কত মিলিলিটার জল ধরবে? π ≈ 3.14 নাও।
সমাধান:
ঘন সেমি।
উত্তর: প্রায় 94.2 মিলিলিটার।
✏️ উদাহরণ 8: আয়তন থেকে উচ্চতা
একটি শঙ্কুর আয়তন 48π ঘন সেমি এবং ব্যাসার্ধ 4 সেমি। লম্ব উচ্চতা নির্ণয় করো।
সমাধান: আয়তনের সূত্র থেকে:
সেমি।
উত্তর: লম্ব উচ্চতা 9 সেমি।
✍️ নিজে চেষ্টা করো
প্রয়োজনমতো π রেখে সঠিক উত্তর দাও।
🔹 1. শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 6 সেমি এবং উচ্চতা 8 সেমি। তির্যক উচ্চতা কত?
🔹 2. শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 4 সেমি এবং তির্যক উচ্চতা 5 সেমি। বক্রতল ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল বের করো।
🔹 3. শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 2 সেমি এবং লম্ব উচ্চতা 9 সেমি। আয়তন নির্ণয় করো।
🔹 4. শঙ্কুর ভূমির ব্যাস 12 সেমি এবং তির্যক উচ্চতা 10 সেমি। লম্ব উচ্চতা ও আয়তন নির্ণয় করো।
🔹 5. একটি শঙ্কুর বক্রতল খুলে পাওয়া ক্ষেত্রাংশের ব্যাসার্ধ 10 সেমি। শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ 5 সেমি হলে ক্ষেত্রাংশটির কেন্দ্রীয় কোণ কত?
🔹 6. শঙ্কু আকৃতির পাত্রের ভেতরের ব্যাসার্ধ 6 সেমি এবং লম্ব উচ্চতা 10 সেমি। ধারণক্ষমতা কত মিলিলিটার? π ≈ 3.14 নাও।
✅ উত্তর ও সংক্ষিপ্ত হিসাব
🔸 1. সেমি।
🔸 2. বক্রতল 20π বর্গ সেমি; সমগ্রতল π × 4 × (5 + 4) = 36π বর্গ সেমি।
🔸 3. আয়তন ঘন সেমি।
🔸 4. ব্যাসার্ধ 6 সেমি; উচ্চতা সেমি; আয়তন 96π ঘন সেমি।
🔸 5. কেন্দ্রীয় কোণ ।
🔸 6. ধারণক্ষমতা 120π ঘন সেমি, অর্থাৎ প্রায় 376.8 মিলিলিটার।
🧠 মনে রাখার মতো গুরুত্বপূর্ণ বিষয়
⭐ আকৃতির শর্ত: তির্যক উচ্চতা ও বক্রতলের আলোচিত সূত্রগুলি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর জন্য।
⭐ বক্রতলে তির্যক উচ্চতা: πrl-এ l লাগে।
⭐ আয়তনে লম্ব উচ্চতা: আয়তনের সূত্রে h লাগে এবং 3 দিয়ে ভাগ করতে হয়।
⭐ ব্যাস বনাম ব্যাসার্ধ: ব্যাস দেওয়া থাকলে 2 দিয়ে ভাগ করবে।
⭐ ভূমি যোগ হবে কি না: টুপি বা মেঝেবিহীন তাঁবুতে ভূমি যোগ হবে না; সমগ্রতলে ভূমি যোগ হবে।
⭐ ক্ষেত্রাংশের মাপ: খোলা ক্ষেত্রাংশের ব্যাসার্ধ l, শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ r নয়।
⭐ একক: ক্ষেত্রফলে বর্গ একক, আয়তনে ঘন একক। সব দৈর্ঘ্য আগে একই এককে আনবে।
⭐ ধারণক্ষমতা: পাত্রের ভেতরের মাপ ব্যবহার করবে।
⭐ আকারের পরিবর্তন: সদৃশ শঙ্কুর সব দৈর্ঘ্য k গুণ হলে ক্ষেত্রফল k² গুণ এবং আয়তন k³ গুণ হয়।
💡 দ্রুত রিভিশন
| যা নির্ণয় করবে | সূত্র |
|---|---|
| তির্যক উচ্চতা | |
| লম্ব উচ্চতা | |
| বক্রতলের ক্ষেত্রফল | πrl |
| ভূমির ক্ষেত্রফল | πr² |
| সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল | πr(l + r) |
| আয়তন |
⭐ এখানে r ভূমির ব্যাসার্ধ, h লম্ব উচ্চতা এবং l তির্যক উচ্চতা।
