নিরেট ও ফাঁপা চোঙের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন
🎯 এই অধ্যায় শেষে তুমি কী কী জানবে?
👉 নিরেট ও ফাঁপা চোঙের গঠন চিনতে।
👉 বক্রতল ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের পার্থক্য বুঝতে।
👉 সূত্রগুলি কীভাবে পাওয়া যায়, তা সহজভাবে ব্যাখ্যা করতে।
👉 পাইপের উপাদানের আয়তন ও পাত্রের ধারণক্ষমতা নির্ণয় করতে।
👉 প্রশ্ন অনুযায়ী সঠিক পৃষ্ঠ, মাপ ও একক বেছে নিতে।
একটি কৌটোর চারপাশে লেবেল লাগাতে কত কাগজ দরকার? একটি পাইপ তৈরিতে কত ধাতু লাগে? একটি জলভর্তি পাত্রে কত লিটার জল আছে? এই প্রশ্নগুলিতে যথাক্রমে ক্ষেত্রফল, উপাদানের আয়তন এবং ধারণক্ষমতা ব্যবহার করি।
👉 চোঙ বা বেলন কাকে বলে? (Cylinder)
এখানে চোঙ বলতে লম্ব বৃত্তাকার চোঙ বা বেলন (Right Circular Cylinder) বোঝানো হয়েছে। এর দুটি সমান ও সমান্তরাল বৃত্তাকার তল থাকে। তল দুটির কেন্দ্রসংযোগকারী অক্ষ উভয় তলের উপর লম্ব। তাদের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্বই উচ্চতা।
এই পাতার বক্রতলের সূত্রগুলি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের জন্য। হেলানো চোঙে একই সূত্র সরাসরি ব্যবহার করা যাবে না। নিরেট চোঙ (Solid Cylinder) ভেতর থেকে সম্পূর্ণ ভরাট, যেমন আদর্শ চোঙাকার ধাতব দণ্ড। ফাঁপা চোঙ (Hollow Cylinder) -এর ভেতরে ফাঁকা অংশ থাকে, যেমন সোজা পাইপ।
👉 নিরেট চোঙের প্রধান মাপ
⭐ ভূমির ব্যাসার্ধ = r
⭐ ভূমির ব্যাস = d = 2r
⭐ লম্ব উচ্চতা = h
এখানে r ও h ধনাত্মক। ব্যাস দেওয়া থাকলে r = d2 নেবে।
π-এর মান: π একটি অমূলদ সংখ্যা। π ≈ 3.14 অথবা π ≈ 227 নেওয়া যায়। এগুলি আসন্ন মান, নির্ভুল মান নয়। প্রশ্নে দেওয়া মান অনুসরণ করবে; সঠিক উত্তর চাইলে π রেখেও লেখা যায়।
👉 নিরেট চোঙের সূত্র ও ব্যাখ্যা
1. একটি ভূমির ক্ষেত্রফল
ভূমিটি বৃত্তাকার, তাই:
⭐ B = πr2
এখানে B একটি বৃত্তাকার তলের ক্ষেত্রফল। দুটি তলের মোট ক্ষেত্রফল 2πr2।
2. পার্শ্বতল বা বক্রতলের ক্ষেত্রফল (Curved Surface Area)
⭐ CSA = 2πrh
এটি শুধু চারপাশের বাঁকা পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল। উপর ও নিচের বৃত্তাকার তল এতে নেই।
💡 সূত্রটির ব্যাখ্যা
🔹 একটি চোঙাকার কৌটোর গায়ের লেবেলটি উচ্চতা বরাবর কেটে সমতলে বিছিয়ে দাও। লেবেলে বাড়তি জোড়া লাগানোর অংশ নেই ধরে নিলে একটি আয়তক্ষেত্র পাওয়া যাবে
🔹 আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ভূমির পরিধি = 2πr।
🔹 আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = চোঙের উচ্চতা = h।
🔹 তাই বক্রতলের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = 2πr × h = 2πrh।
3. সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল (Total Surface Area)
সম্পূর্ণ নিরেট চোঙে বাঁকা পৃষ্ঠের সঙ্গে দুটি বৃত্তাকার তল যোগ হবে:
⭐ TSA = 2πrh + 2πr2 = 2πr(h + r)
📚 মনে রাখো: বক্রতল + উপরের তল + নিচের তল = সমগ্রতল।
4. আয়তন বা ঘনফল (Volume)
⭐ V = πr2h
চোঙের ভূমির সমান্তরাল প্রতিটি প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল একই, πr²। একই মাপের খুব পাতলা বৃত্তাকার স্তর সাজিয়ে উচ্চতা h পর্যন্ত তোলার কথা ভাবলে আয়তনের সূত্রটি বোঝা যায়:
আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা।
এটি একটি সহজ জ্যামিতিক ব্যাখ্যা। নিয়মটি সব ত্রিমাত্রিক বস্তুর জন্য নয়। যেমন, শঙ্কু বা পিরামিডের প্রস্থচ্ছেদের মাপ উচ্চতার সঙ্গে বদলায়।
ব্যাস d দেওয়া থাকলে:
⭐
👉 খোলা পাত্রে কোন ক্ষেত্রফল নেবে?
পাতলা পাত দিয়ে পাত্র তৈরি করার অঙ্কে দেয়ালের পুরুত্ব, জোড়ার বাড়তি অংশ ও অপচয় উপেক্ষা করলে:
🔹 দুই তলসহ বন্ধ পাত্র: 2πrh + 2πr²
🔹 উপর খোলা, নিচে একটি তল: 2πrh + πr²
🔹 শুধু পাশের পাত বা লেবেল: 2πrh
এগুলি পাতের এক পাশের ক্ষেত্রফলের হিসাব। ভেতর ও বাইরে উভয় দিকে রং করার অঙ্কে প্রশ্ন অনুযায়ী উভয় পৃষ্ঠ ধরতে হবে। পুরু দেয়াল বা তলা থাকলে আরও মাপ প্রয়োজন।
👉 ফাঁপা চোঙের গঠন (Hollow Cylinder)
এখানে ফাঁপা চোঙ বলতে দুই প্রান্ত খোলা, সমান পুরুত্বের সোজা পাইপ ধরা হয়েছে। বাইরের ও ভেতরের চোঙের অক্ষ একই এবং উচ্চতা সমান।
ধরি:
🔹 বহিঃব্যাসার্ধ R
🔹 অন্তর্ব্যাসার্ধ r
🔹 উচ্চতা বা দৈর্ঘ্য h
🔹 দেয়ালের পুরুত্ব t = R − r
এখানে R > r > 0 এবং h > 0। বাইরের ব্যাস D ও ভেতরের ব্যাস d হলে:
সতর্কতা: বাইরের ব্যাস থেকে ভেতরের ব্যাস বিয়োগ করলেই পুরুত্ব পাওয়া যায় না; ফলটিকে 2 দিয়ে ভাগ করতে হবে।
👉 ফাঁপা চোঙের ক্ষেত্রফল
1. বাইরের ও ভেতরের বক্রতল
বাইরের পৃষ্ঠের ব্যাসার্ধ R, তাই বাইরের বক্রতলের ক্ষেত্রফল:
⭐
ভেতরের পৃষ্ঠের ব্যাসার্ধ r, তাই ভেতরের বক্রতলের ক্ষেত্রফল:
⭐
উভয় বক্রতল একসঙ্গে ধরলে:
⭐
শুধু বাইরের দিকে রং করতে হলে ভেতরের ক্ষেত্রফল যোগ করবে না। “বক্রতলের ক্ষেত্রফল” বলতে প্রশ্নে কোন পৃষ্ঠ বোঝানো হয়েছে, তা আগে দেখবে।
2. দুই প্রান্তের বলয়ের ক্ষেত্রফল (Annular Ends)
পাইপের প্রতিটি প্রান্তে একটি সমতল বলয় থাকে। তার ক্ষেত্রফল = বড় বৃত্তের ক্ষেত্রফল − ভেতরের ফাঁকা বৃত্তের ক্ষেত্রফল।
⭐
তাই দুটি প্রান্তের মোট ক্ষেত্রফল:
⭐
খোলা মুখের মাঝের ফাঁকা অংশ পাইপের পৃষ্ঠ নয়। সেটি ক্ষেত্রফলে যোগ হবে না।
3. সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
ভেতর ও বাইরের বক্রতল এবং দুটি প্রান্তের বলয় যোগ করো:
⭐
⭐
💡 উৎপাদক বিশ্লেষণ করে সূত্রটি পাই
🔹 আমরা জানি, R² − r² = (R + r)(R − r)।
🔹 তাই সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πh(R + r) + 2π(R + r)(R − r)।
🔹 সাধারণ উৎপাদক 2π(R + r) বাইরে নিলে পাই:
🔹 ।
এই সূত্রে কোনো ঢাকনা বা বন্ধ তলা ধরা নেই। এক প্রান্ত বন্ধ পুরু পাত্রের সব পৃষ্ঠের হিসাব করতে তলার গঠন ও পুরুত্বও জানতে হবে।
👉 ফাঁপা চোঙের উপাদানের আয়তন
বাইরের সম্পূর্ণ চোঙের আয়তন থেকে ভেতরের ফাঁকা অংশ বাদ দাও:
⭐
অথবা, একটি বলয়াকার প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফলকে দৈর্ঘ্য দিয়ে গুণ করলেও একই ফল পাওয়া যায়।
এটি পাইপ তৈরির ধাতু, প্লাস্টিক বা অন্য উপাদানের আয়তন, ভর নয়। ভর নির্ণয়ে ঘনত্ব জানতে হবে:
ভর = উপাদানের আয়তন × ঘনত্ব, যেখানে এককগুলি সামঞ্জস্যপূর্ণ হতে হবে।
👉 ভেতরের ফাঁকা অংশ ও পাত্রের ধারণক্ষমতা
পাইপের ভেতরের ফাঁকা অংশের আয়তন:
⭐
দুই প্রান্ত খোলা পাইপ নিজে জল ধরে রাখতে পারে না। কোনো চোঙাকার পাত্রের ধারণক্ষমতা বের করতে তার ভেতরের ব্যাসার্ধ এবং ভেতরের ব্যবহারযোগ্য উচ্চতা নিতে হবে। তখন একই সূত্র প্রযোজ্য।
একক রূপান্তর:
🔹 1 ঘন সেমি = 1 মিলিলিটার
🔹 1000 ঘন সেমি = 1 লিটার
🔹 1 ঘন মিটার = 1000 লিটার
পাত্রের বাইরের উচ্চতা থেকে তলার পুরুত্ব বাদ দেওয়ার প্রয়োজন হতে পারে। তাই বাইরের মাপকে সরাসরি ভেতরের মাপ ধরে নেবে না।
👉 সহজ সমাধানসহ উদাহরণ
✏️ উদাহরণ 1: নিরেট চোঙের ক্ষেত্রফল ও আয়তন
একটি নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধ 3 সেমি এবং উচ্চতা 5 সেমি। বক্রতল, সমগ্রতল ও আয়তন নির্ণয় করো।
সমাধান:
বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2π × 3 × 5 = 30π বর্গ সেমি।
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2π × 3 × (3 + 5) = 48π বর্গ সেমি।
আয়তন = π × 3² × 5 = 45π ঘন সেমি।
উত্তর: যথাক্রমে 30π বর্গ সেমি, 48π বর্গ সেমি এবং 45π ঘন সেমি।
✏️ উদাহরণ 2: ব্যাস থেকে আয়তন
একটি চোঙের ব্যাস 10 সেমি ও উচ্চতা 4 সেমি। তার আয়তন নির্ণয় করো।
সমাধান: ব্যাসার্ধ r = 10 ÷ 2 = 5 সেমি।
আয়তন = π × 5² × 4 = 100π ঘন সেমি।
উত্তর: 100π ঘন সেমি। π ≈ 3.14 নিলে প্রায় 314 ঘন সেমি।
✏️ উদাহরণ 3: কৌটোর লেবেলের ক্ষেত্রফল
একটি কৌটোর ব্যাসার্ধ 7 সেমি ও উচ্চতা 10 সেমি। শুধু বাঁকা পৃষ্ঠটি ঢাকতে কত কাগজ লাগবে? জোড়া লাগানোর বাড়তি অংশ উপেক্ষা করো এবং নাও।
সমাধান:
বর্গ সেমি।
উত্তর: প্রায় 440 বর্গ সেমি কাগজ। উপরের বা নিচের তল ঢাকতে হবে না।
✏️ উদাহরণ 4: উপর খোলা পাত্র তৈরির পাত
একটি উপর খোলা চোঙাকার পাত্রের ব্যাসার্ধ 3 সেমি ও উচ্চতা 4 সেমি। পুরুত্ব, জোড়ার অংশ ও অপচয় উপেক্ষা করে কত ক্ষেত্রফলের পাত লাগবে?
সমাধান: একটি বক্রতল এবং একটি বৃত্তাকার তল ধরতে হবে।
A = 2π × 3 × 4 + π × 3² = 24π + 9π = 33π বর্গ সেমি।
উত্তর: 33π বর্গ সেমি পাত।
✏️ উদাহরণ 5: জলপাত্রের ধারণক্ষমতা
একটি চোঙাকার পাত্রের ভেতরের ব্যাসার্ধ 10 সেমি এবং ভেতরের উচ্চতা 20 সেমি। কানায় পূর্ণ করলে কত লিটার জল ধরবে? π ≈ 3.14 নাও।
সমাধান:
ধারণক্ষমতা = π × 10² × 20 = 2000π ঘন সেমি।
লিটারে = 2000π ÷ 1000 = 2π ≈ 6.28 লিটার।
উত্তর: প্রায় 6.28 লিটার।
✏️ উদাহরণ 6: পাইপের উপাদান ও ভেতরের ফাঁকা অংশ
একটি পাইপের বহিঃব্যাসার্ধ 5 সেমি, অন্তর্ব্যাসার্ধ 4 সেমি এবং দৈর্ঘ্য 10 সেমি। পুরুত্ব, উপাদানের আয়তন ও ভেতরের ফাঁকা অংশের আয়তন নির্ণয় করো।
সমাধান: পুরুত্ব = 5 − 4 = 1 সেমি।
উপাদানের আয়তন = π × 10 × (5² − 4²) = 90π ঘন সেমি।
ভেতরের ফাঁকা অংশের আয়তন = π × 4² × 10 = 160π ঘন সেমি।
উত্তর: 1 সেমি, 90π ঘন সেমি এবং 160π ঘন সেমি। দুটি আয়তন যোগ করলে বাইরের সম্পূর্ণ চোঙের আয়তন 250π ঘন সেমি পাওয়া যায়।
✏️ উদাহরণ 7: পাইপের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
একটি দুই প্রান্ত খোলা পাইপের বহিঃব্যাসার্ধ 3 সেমি, অন্তর্ব্যাসার্ধ 2 সেমি এবং দৈর্ঘ্য 5 সেমি। ভেতর-বাইরে ও প্রান্তসহ মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান: বাইরের বক্রতল = 2π × 3 × 5 = 30π বর্গ সেমি।
ভেতরের বক্রতল = 2π × 2 × 5 = 20π বর্গ সেমি।
দুটি প্রান্তের বলয় = 2π(3² − 2²) = 10π বর্গ সেমি।
সমগ্রতল = 30π + 20π + 10π = 60π বর্গ সেমি।
উত্তর: 60π বর্গ সেমি। সংক্ষিপ্ত সূত্রেও 2π(3 + 2)(5 + 3 − 2) = 60π।
✏️ উদাহরণ 8: আয়তন থেকে উচ্চতা
একটি চোঙের আয়তন 72π ঘন সেমি এবং ব্যাসার্ধ 3 সেমি। উচ্চতা কত?
সমাধান: V = πr²h থেকে:
সেমি।
উত্তর: উচ্চতা 8 সেমি।
✍️ নিজে চেষ্টা করো
প্রয়োজনমতো π রেখে উত্তর দাও।
🔹 1. ব্যাসার্ধ 2 সেমি ও উচ্চতা 5 সেমি বিশিষ্ট নিরেট চোঙের বক্রতল, সমগ্রতল এবং আয়তন নির্ণয় করো।
🔹 2. একটি চোঙের ব্যাস 6 সেমি ও উচ্চতা 4 সেমি। আয়তন কত?
🔹 3. উপর খোলা পাতলা পাত্রের ব্যাসার্ধ 2 সেমি ও উচ্চতা 3 সেমি। পুরুত্ব ও জোড়ার অংশ উপেক্ষা করে কত ক্ষেত্রফলের পাত লাগবে?
🔹 4. পাইপের বাইরের ব্যাস 10 সেমি, ভেতরের ব্যাস 6 সেমি এবং দৈর্ঘ্য 7 সেমি। পুরুত্ব ও উপাদানের আয়তন বের করো।
🔹 5. দুই প্রান্ত খোলা পাইপের বহিঃব্যাসার্ধ 4 সেমি, অন্তর্ব্যাসার্ধ 3 সেমি ও দৈর্ঘ্য 6 সেমি। উভয় বক্রতল এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
🔹 6. চোঙাকার পাত্রের ভেতরের ব্যাসার্ধ 5 সেমি ও ভেতরের উচ্চতা 20 সেমি। ধারণক্ষমতা কত লিটার? π ≈ 3.14 নাও।
✅ উত্তর ও সংক্ষিপ্ত হিসাব
🔸 1. বক্রতল 20π বর্গ সেমি; সমগ্রতল 28π বর্গ সেমি; আয়তন 20π ঘন সেমি।
🔸 2. ব্যাসার্ধ 3 সেমি; আয়তন π × 3² × 4 = 36π ঘন সেমি।
🔸 3. পাতের ক্ষেত্রফল 2π × 2 × 3 + π × 2² = 16π বর্গ সেমি।
🔸 4. ব্যাসার্ধ দুটি 5 ও 3 সেমি। পুরুত্ব 2 সেমি; উপাদানের আয়তন π × 7 × (25 − 9) = 112π ঘন সেমি।
🔸 5. উভয় বক্রতল 2π × 6 × (4 + 3) = 84π বর্গ সেমি; সমগ্রতল 2π × 7 × (6 + 1) = 98π বর্গ সেমি।
🔸 6. ধারণক্ষমতা π × 5² × 20 = 500π ঘন সেমি = 0.5π লিটার, অর্থাৎ প্রায় 1.57 লিটার।
🧠 মনে রাখার মতো গুরুত্বপূর্ণ বিষয়
🔹 সঠিক আকৃতি: এই বক্রতলের সূত্রগুলি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের জন্য।
🔹 ব্যাসার্ধ: ব্যাস দেওয়া থাকলে আগে 2 দিয়ে ভাগ করো।
🔹 প্রয়োজনীয় পৃষ্ঠ: লেবেল, রং, খোলা পাত্র ও বন্ধ পাত্রের অঙ্কে একই পৃষ্ঠ ধরা হয় না।
🔹 দুই প্রান্ত খোলা পাইপ: প্রান্তে দুটি বলয় থাকে; দুটি পূর্ণ বৃত্ত নয়।
🔹 উপাদান বনাম ফাঁকা অংশ: উপাদানের আয়তনে R² − r²; ভেতরের ফাঁকা অংশে শুধু r² লাগে।
🔹 বর্গের অন্তর: R² − r² এবং (R − r)² এক নয়।
🔹 একক: ক্ষেত্রফলে বর্গ একক এবং আয়তনে ঘন একক লিখবে। সব দৈর্ঘ্য আগে একই এককে আনবে।
🔹 ধারণক্ষমতা: পাত্রের ভেতরের ব্যাসার্ধ ও ভেতরের উচ্চতা নেবে।
🔹 আকারের পরিবর্তন: উচ্চতা অপরিবর্তিত রেখে ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করলে আয়তন 4 গুণ হয়। ব্যাসার্ধ ও উচ্চতা দুটোই দ্বিগুণ করলে আয়তন 8 গুণ হয়।
💡 দ্রুত রিভিশন
| আকৃতি | পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল | আয়তন |
|---|---|---|
| নিরেট চোঙ; ব্যাসার্ধ r, উচ্চতা h | বক্রতল 2πrh; সমগ্রতল 2πr(r + h) | πr²h |
| দুই প্রান্ত খোলা ফাঁপা চোঙ; ব্যাসার্ধ R ও r, উচ্চতা h | উভয় বক্রতল 2πh(R + r); সমগ্রতল 2π(R + r)(h + R − r) | উপাদান: πh(R² − r²) |
⭐ ফাঁপা অংশের আয়তন πr²h। পাত্রের ধারণক্ষমতা নির্ণয়ের সময় r ও h অবশ্যই ভেতরের মাপ হবে।
