আয়তঘন ও ঘনকের আয়তন ও তলের ক্ষেত্রফল
ইট, বই বা জুতোর বাক্সের আকৃতি লক্ষ করেছ? এগুলি আয়তঘন (Cuboid)-এর পরিচিত উদাহরণ। আবার লুডোর ছক্কার আদর্শ আকৃতি হলো ঘনক (Cube)।
এই ঘনবস্তুগুলি কতটা স্থান দখল করে, তা জানতে আয়তন (Volume) নির্ণয় করতে হয়। আর বাইরের তলগুলি ঢাকতে কতটা কাগজ বা রং লাগবে, তা জানতে তলের ক্ষেত্রফল (Surface Area) নির্ণয় করতে হয়।
আয়তঘন ও ঘনক
📚 আয়তঘন ও ঘনক কাকে বলে?
আয়তঘন: ছয়টি আয়তাকার তল দ্বারা সীমাবদ্ধ ত্রিমাত্রিক (3D) ঘনবস্তুকে আয়তঘন বলে। এর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান হওয়া আবশ্যক নয়।
ঘনক: ছয়টি সমান বর্গাকার তল দ্বারা সীমাবদ্ধ ত্রিমাত্রিক ঘনবস্তুকে ঘনক বলে। এর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান।
মনে রাখো: ঘনক আয়তঘনের একটি বিশেষ রূপ। প্রত্যেক ঘনকই আয়তঘন, কিন্তু প্রত্যেক আয়তঘন ঘনক নয়।
📚 গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য
🔹 তল (Faces): উভয়েরই 6টি তল থাকে। বিপরীত তলগুলি সমান ও সমান্তরাল এবং সংলগ্ন তলগুলি পরস্পর লম্ব।
🔹 ধার বা প্রান্তরেখা (Edges): উভয়েরই 12টি ধার থাকে। দুটি সংলগ্ন তল যে রেখাংশে মিলিত হয়, তাকে ধার বলে।
🔹 শীর্ষবিন্দু (Vertices): উভয়েরই 8টি শীর্ষবিন্দু থাকে। প্রতিটি শীর্ষবিন্দুতে 3টি ধার মিলিত হয়।
🔹 ঘনকর্ণ (Space Diagonals): উভয়েরই 4টি ঘনকর্ণ থাকে। এগুলি ঘনবস্তুর ভিতর দিয়ে বিপরীত শীর্ষবিন্দুকে যুক্ত করে।
🔹 তলকর্ণ (Face Diagonals): প্রতিটি তলে 2টি করে মোট 12টি তলকর্ণ থাকে। প্রতিটি তলকর্ণ একই তলের বিপরীত শীর্ষবিন্দুকে যুক্ত করে।
👉 আয়তঘনের আয়তন ও তলের ক্ষেত্রফল
আয়তঘন
l = দৈর্ঘ্য (Length), b = প্রস্থ (Breadth), h = উচ্চতা (Height)
ধরি, আয়তঘনের দৈর্ঘ্য l, প্রস্থ b এবং উচ্চতা h।
⭐ আয়তন (Volume)
আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা
আয়তঘনের ভূমি আয়তাকার, তাই ভূমির ক্ষেত্রফল = l × b।
সুতরাং, আয়তন = l × b × h ঘন একক।
⭐ সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল (Total Surface Area)
আয়তঘনের ছয়টি তলের মধ্যে—
- উপরের ও নিচের তলের প্রত্যেকটির ক্ষেত্রফল = lb।
- সামনের ও পিছনের তলের প্রত্যেকটির ক্ষেত্রফল = lh।
- বাকি দুটি তলের প্রত্যেকটির ক্ষেত্রফল = bh।
সুতরাং, সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2lb + 2lh + 2bh।
অর্থাৎ, সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2(lb + bh + hl) বর্গ একক।
⭐ পার্শ্বীয় তলের ক্ষেত্রফল (Lateral Surface Area)
উপরের ও নিচের তল বাদ দিলে বাকি চারটি তলের ক্ষেত্রফলের যোগফলকে পার্শ্বীয় তলের ক্ষেত্রফল বলে।
পার্শ্বীয় তলের ক্ষেত্রফল = ভূমির পরিসীমা × উচ্চতা
সুতরাং, পার্শ্বীয় তলের ক্ষেত্রফল = 2(l + b) × h = 2h(l + b) বর্গ একক।
আয়তঘনাকার ঘরের চার দেওয়ালের মোট ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতেও এই সূত্র ব্যবহার করা হয়। এখানে ঘরের ভিতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা নিতে হবে।
খেয়াল রাখো: দরজা ও জানালা বাদ দিয়ে রং করতে হলে চার দেওয়ালের মোট ক্ষেত্রফল থেকে দরজা ও জানালার ক্ষেত্রফল বিয়োগ করতে হবে।
⭐ ঘনকর্ণের দৈর্ঘ্য (Space Diagonal)
আয়তঘনের একটি ঘনকর্ণের দৈর্ঘ্য—
এই দৈর্ঘ্য সাধারণ এককে, যেমন সেমি বা মিটারে প্রকাশ করা হয়।
⭐ সমস্ত ধারের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি
আয়তঘনে দৈর্ঘ্য বরাবর ৪টি, প্রস্থ বরাবর ৪টি এবং উচ্চতা বরাবর ৪টি ধার থাকে।
সুতরাং, সমস্ত ধারের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি = 4(l + b + h) একক।
👉 ঘনকের আয়তন ও তলের ক্ষেত্রফল
ঘনক
দৈর্ঘ্য = প্রস্থ = উচ্চতা = a
ধরি, ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য a।
ঘনকের সূত্রগুলি পাওয়ার জন্য আয়তঘনের সূত্রে l = b = h = a বসানো যায়।
⭐ ঘনকের আয়তন (Volume)
আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
সুতরাং, ঘনকের আয়তন = a × a × a = a³ ঘন একক।
⭐ সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল (Total Surface Area)
ঘনকের প্রতিটি তল বর্গাকার। তাই একটি তলের ক্ষেত্রফল = a²।
এমন 6টি সমান তল থাকে।
সুতরাং, ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গ একক।
⭐ পার্শ্বীয় তলের ক্ষেত্রফল (Lateral Surface Area)
উপরের ও নিচের তল বাদ দিলে ৪টি বর্গাকার তল থাকে।
সুতরাং, ঘনকের পার্শ্বীয় তলের ক্ষেত্রফল = 4a² বর্গ একক।
⭐ ঘনকর্ণের দৈর্ঘ্য (Space Diagonal)
ঘনকের একটি ঘনকর্ণের দৈর্ঘ্য—
অর্থাৎ, ঘনকর্ণের দৈর্ঘ্য = একক।
অন্যদিকে, একটি বর্গাকার তলের কর্ণ বা তলকর্ণের দৈর্ঘ্য = একক।
⭐ সমস্ত ধারের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি
ঘনকের 12টি ধারের প্রতিটির দৈর্ঘ্য a।
সুতরাং, সমস্ত ধারের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি = 12a একক।
এখানে “ঘনকের পরিসীমা” না বলে “সমস্ত ধারের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি” বলা অধিক স্পষ্ট।
👉 সহজ সমাধানসহ উদাহরণ
✏️ উদাহরণ 1: আয়তঘনের আয়তন ও তলের ক্ষেত্রফল
একটি আয়তঘনাকার বাক্সের দৈর্ঘ্য 5 সেমি, প্রস্থ 3 সেমি ও উচ্চতা 2 সেমি। এর আয়তন, সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল এবং পার্শ্বীয় তলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান:
এখানে l = 5 সেমি, b = 3 সেমি এবং h = 2 সেমি।
আয়তন
lbh = 5 × 3 × 2 = 30 ঘন সেমি।
সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল
2(lb + bh + hl) = 2(5 × 3 + 3 × 2 + 2 × 5)= 2(15 + 6 + 10) = 62 বর্গ সেমি।
পার্শ্বীয় তলের ক্ষেত্রফল
2h(l + b) = 2 × 2 × (5 + 3) = 32 বর্গ সেমি।
উত্তর: আয়তন 30 ঘন সেমি, সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 62 বর্গ সেমি এবং পার্শ্বীয় তলের ক্ষেত্রফল 32 বর্গ সেমি।
✏️ উদাহরণ 2: ঘনকের আয়তন ও তলের ক্ষেত্রফল
একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য 4 সেমি। এর আয়তন, সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল এবং পার্শ্বীয় তলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান:
এখানে a = 4 সেমি।
আয়তন = a³ = 4 × 4 × 4 = 64 ঘন সেমি।
সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a² = 6 × 4² = 6 × 16 = 96 বর্গ সেমি।
পার্শ্বীয় তলের ক্ষেত্রফল = 4a² = 4 × 4² = 4 × 16 = 64 বর্গ সেমি।
উত্তর: আয়তন 64 ঘন সেমি, সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 96 বর্গ সেমি এবং পার্শ্বীয় তলের ক্ষেত্রফল 64 বর্গ সেমি।
খেয়াল করো: এখানে আয়তন ও পার্শ্বীয় তলের ক্ষেত্রফলের সংখ্যামান একই হলেও রাশি দুটি আলাদা এবং তাদের এককও আলাদা।
✏️ উদাহরণ 3: ঘরের চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল
একটি আয়তঘনাকার ঘরের ভিতরের দৈর্ঘ্য 6 মিটার, প্রস্থ 4 মিটার ও উচ্চতা 3 মিটার। দরজা-জানালা বাদ না দিয়ে চার দেওয়ালের মোট ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান:
চার দেওয়ালের মোট ক্ষেত্রফল = 2h(l + b)
= 2 × 3 × (6 + 4)= 6 × 10 = 60 বর্গ মিটার।
উত্তর: চার দেওয়ালের মোট ক্ষেত্রফল 60 বর্গ মিটার।
এতে মেঝে ও ছাদের ক্ষেত্রফল অন্তর্ভুক্ত হয়নি।
✏️ উদাহরণ 4: আয়তঘনের ঘনকর্ণ
একটি আয়তঘনের দৈর্ঘ্য 3 সেমি, প্রস্থ 4 সেমি ও উচ্চতা 12 সেমি। এর একটি ঘনকর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
সমাধান:
উত্তর: ঘনকর্ণের দৈর্ঘ্য 13 সেমি।
✏️ উদাহরণ 5: আয়তন থেকে উচ্চতা নির্ণয়
একটি আয়তঘনের আয়তন 120 ঘন সেমি, দৈর্ঘ্য 6 সেমি এবং প্রস্থ 4 সেমি। এর উচ্চতা কত?
সমাধান:
আমরা জানি, আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা।
তাই, উচ্চতা = আয়তন ÷ (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ)।
উত্তর: আয়তঘনের উচ্চতা 5 সেমি।
🧠 মনে রাখার মতো গুরুত্বপূর্ণ বিষয়
- একক এক করো: সূত্রে মান বসানোর আগে দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতাকে একই এককে প্রকাশ করতে হবে।
- আয়তন: ঘন এককে প্রকাশ করো, যেমন ঘন সেমি বা ঘন মিটার।
- ক্ষেত্রফল: বর্গ এককে প্রকাশ করো, যেমন বর্গ সেমি বা বর্গ মিটার।
- কর্ণের দৈর্ঘ্য: সাধারণ এককে প্রকাশ করো, যেমন সেমি বা মিটার।
- সমগ্র তল: আয়তঘন ও ঘনকের ছয়টি তলই ধরতে হবে।
- পার্শ্বীয় তল: উপরের ও নিচের তল বাদ দিয়ে চারটি তল ধরতে হবে।
- ঢাকনাহীন বাক্স: সব ছয়টি তল থাকে না। তাই সমগ্র তলের সূত্র সরাসরি ব্যবহার না করে কোন কোন তল আছে, তা দেখে হিসাব করতে হবে।
- ধারণক্ষমতা: বাক্স বা পাত্র কতটা বস্তু ধারণ করতে পারে, তা নির্ণয়ে ভিতরের মাপ নিতে হবে।
✍️ নিজে চেষ্টা করো
🔹 1. একটি আয়তঘনের দৈর্ঘ্য 8 সেমি, প্রস্থ 5 সেমি ও উচ্চতা 2 সেমি। এর আয়তন কত?
🔹 2. একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য 3 সেমি। এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?
🔹 3. একটি আয়তঘনাকার ঘরের ভিতরের দৈর্ঘ্য 5 মিটার, প্রস্থ 4 মিটার ও উচ্চতা 3 মিটার। দরজা-জানালা বাদ না দিয়ে চার দেওয়ালের মোট ক্ষেত্রফল কত?
🔹 4. একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য 2 সেমি। এর একটি ঘনকর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
উত্তর মিলিয়ে নাও:
🔹 1. 80 ঘন সেমি।
🔹 2. 54 বর্গ সেমি।
🔹 3. 54 বর্গ মিটার।
🔹 4. সেমি।
💡 দ্রুত রিভিশন
এখানে আয়তঘনের দৈর্ঘ্য l, প্রস্থ b, উচ্চতা h এবং ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য a।
| পরিমাপ | আয়তঘন (Cuboid) | ঘনক (Cube) |
|---|---|---|
| আয়তন | lbh | a³ |
| সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল | 2(lb + bh + hl) | 6a² |
| পার্শ্বীয় তলের ক্ষেত্রফল | 2h(l + b) | 4a² |
| ঘনকর্ণের দৈর্ঘ্য | ||
| সমস্ত ধারের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি | 4(l + b + h) | 12a |
⭐ উভয়েরই: 6টি তল, 12টি ধার, 8টি শীর্ষবিন্দু ও ৪টি ঘনকর্ণ।
⭐ একক মনে রাখো: দৈর্ঘ্য → একক; ক্ষেত্রফল → বর্গ একক; আয়তন → ঘন একক।
