গোলক ও অর্ধগোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন

একটি গোলাকার বলে রং করতে হলে তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল (Surface Area) জানতে হবে। একটি নিরেট গোলাকার বস্তু কতটা জায়গা দখল করে, তা জানতে প্রয়োজন আয়তন (Volume)। আবার একটি বাটিতে কতটা জল ধরবে, সেটি তার ধারণক্ষমতা (Capacity)। এই 3টি ধারণার ব্যবহার আলাদা।

👉 গোলক কাকে বলে? (Sphere)

গোলক একটি সম্পূর্ণ গোলাকার ত্রিমাত্রিক আকৃতি। এর পৃষ্ঠের প্রতিটি বিন্দু একটি নির্দিষ্ট কেন্দ্র থেকে সমান দূরত্বে থাকে। মার্বেল বা মসৃণ গোলাকার বলকে প্রায় গোলকের উদাহরণ হিসেবে ধরা যায়।

এই অধ্যায়ে গোলকের আয়তন বলতে তার পৃষ্ঠের ভেতরে আবদ্ধ স্থানের আয়তন বোঝাবে। বস্তুটি নিরেট হলে সেটিই তার উপাদানের আয়তন; ফাঁপা হলে দুটো এক নয়।

গোলকের প্রধান উপাদান

⭐ কেন্দ্র (Centre): গোলকের পৃষ্ঠের সব বিন্দু থেকে সমদূরবর্তী বিন্দু।

⭐ ব্যাসার্ধ (Radius): কেন্দ্র থেকে পৃষ্ঠের যেকোনো বিন্দুর দূরত্ব। একে r দিয়ে প্রকাশ করি।

⭐ ব্যাস (Diameter): কেন্দ্র দিয়ে যাওয়া এমন রেখাংশ যার উভয় প্রান্ত গোলকের পৃষ্ঠে থাকে। এর দৈর্ঘ্য d = 2r।

ব্যাস জানা থাকলে প্রথমে ব্যাসার্ধ বের করো:

উদাহরণ: ব্যাস 10 সেমি হলে ব্যাসার্ধ 10 ÷ 2 = 5 সেমি।

👉 গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল

গোলকের কোনো সমতল তল নেই। তাই তার বক্রপৃষ্ঠই সম্পূর্ণ পৃষ্ঠ।

এখানে S পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল এবং r ব্যাসার্ধ। ব্যাস দিয়ে লিখলে:

📚 মনে রাখার উপায়: একই ব্যাসার্ধের 1টি বৃত্তের ক্ষেত্রফল πr²। গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল তার 4 গুণ। এটি সূত্র মনে রাখার সম্পর্ক, পূর্ণ জ্যামিতিক প্রমাণ নয়।

একক: বর্গ সেমি, বর্গ মিটার ইত্যাদি।

👉 গোলকের আয়তন

ব্যাস দিয়ে লিখলে:

একক: ঘন সেমি, ঘন মিটার ইত্যাদি। আয়তন বলতে শুধু বাতাসে বা মহাশূন্যে থাকা কোনো বস্তুর আয়তন বোঝায় না; বস্তু যেখানেই থাকুক, তার দখল করা ত্রিমাত্রিক স্থানের মাপই আয়তন।

👉 নিরেট অর্ধগোলক (Solid Hemisphere)

গোলকের কেন্দ্র দিয়ে যাওয়া একটি সমতল দিয়ে কাটলে 2টি সমান অর্ধগোলক পাওয়া যায়। নিরেট অর্ধগোলকের ভেতরটি ভরাট থাকে। এর একটি বাঁকানো পৃষ্ঠ এবং একটি সমতল বৃত্তাকার তল আছে।

অর্ধেক কাটা নিরেট মার্বেল এর উদাহরণ। সাধারণ বাটি ফাঁপা, তাই সেটিকে নিরেট অর্ধগোলক বলা ঠিক নয়।

1. বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল (Curved Surface Area)

গোলকের বাঁকানো পৃষ্ঠের অর্ধেক:

2. সমগ্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল (Total Surface Area)

বক্রপৃষ্ঠের সঙ্গে সমতল বৃত্তাকার তলের ক্ষেত্রফল যোগ করতে হবে:

খেয়াল করো: সমগ্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল গোলকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক নয়। কাটার ফলে নতুন সমতল তল তৈরি হয়েছে।

3. আয়তন (Volume)

নিরেট অর্ধগোলকের ক্ষেত্রে এটি বস্তুটির আয়তন। ভেতরে ফাঁকা জায়গা নেই বলে একে বাটির মতো ধারণক্ষমতা বলা হবে না।

👉 ফাঁপা অর্ধগোলক (Hollow Hemisphere)

একটি পুরু দেয়ালযুক্ত অর্ধগোলাকার বাটির বাইরের ও ভেতরের মাপ আলাদা।

ধরি:

• বহিঃব্যাসার্ধ বা বাইরের ব্যাসার্ধ R।
• অন্তর্ব্যাসার্ধ বা ভেতরের ব্যাসার্ধ r।
• দেয়ালের পুরুত্ব t = R − r।

📚 এই সূত্রগুলির শর্ত: বাইরের এবং ভেতরের পৃষ্ঠ একই কেন্দ্রবিশিষ্ট অর্ধগোলক, এবং উভয়ের মুখ একই সমতলে। এখানে R > r > 0। বাস্তব বাটির আকার এর থেকে আলাদা হলে একই সূত্র সরাসরি প্রযোজ্য নাও হতে পারে।

1. ব্যবহৃত উপাদানের আয়তন (Volume of Material)

বাইরের নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন থেকে ভেতরের ফাঁকা অংশ বাদ দাও:

এটি দিয়ে বাটি তৈরি করতে কত আয়তনের ধাতু, কাচ বা অন্য উপাদান লেগেছে, তা পাওয়া যায়। ভর বের করতে হলে উপাদানের ঘনত্বও জানতে হবে।

2. বাটির ধারণক্ষমতা (Capacity)

বাটির কানায় পূর্ণ অবস্থায় যতটা তরল ধরবে, তা ভেতরের অর্ধগোলাকার ফাঁকা অংশের আয়তন:

এখানে ভেতরের ব্যাসার্ধ ব্যবহার করতে হবে।

1 ঘন সেমি = 1 মিলিলিটার

1000 ঘন সেমি = 1 লিটার

3. কোন বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল চাই?

প্রশ্নে কোন পৃষ্ঠের কথা বলা হয়েছে, তা আগে পড়ো।

📚 শুধু বাইরের বক্রপৃষ্ঠ: 2πR²।

📚 শুধু ভেতরের বক্রপৃষ্ঠ: 2πr²।

📚 ভেতর ও বাইরের উভয় বক্রপৃষ্ঠ: 2π(R² + r²)।

তাই শুধু “বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল” লেখা থাকলেই সব প্রশ্নে ভেতর-বাইরের ক্ষেত্রফল যোগ করবে না। প্রশ্নের বিবরণ বা চিত্র থেকে প্রয়োজনীয় পৃষ্ঠ নির্ধারণ করবে।

4. সমগ্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল

খোলা মুখের পুরু বাটির মোট পৃষ্ঠে 3টি অংশ আছে:

🔹 বাইরের বক্রপৃষ্ঠ: 2πR²।

🔹 ভেতরের বক্রপৃষ্ঠ: 2πr²।

🔹 মুখের সমতল বলয়াকার ধার: π(R² − r²)।

তাই:

সতর্কতা: খোলা মুখের মাঝের ফাঁকা বৃত্তটি বাটির পৃষ্ঠ নয়। শুধু তার চারপাশের বলয়াকার ধার যোগ হবে। আলাদা ঢাকনা থাকলে তার ক্ষেত্রফল এই সূত্রে ধরা নেই।

👉 ফাঁপা গোলক ও ফাঁপা অর্ধগোলকের পার্থক্য

ফাঁপা গোলক একটি সম্পূর্ণ গোলাকার খোলক (Spherical Shell)। এর ভেতরের ও বাইরের গোলক একই কেন্দ্রবিশিষ্ট হলে:

উপাদানের আয়তন:

শুধু বাইরের পৃষ্ঠ: 4πR²।

ভেতর ও বাইরের মোট পৃষ্ঠ: 4π(R² + r²)।

সম্পূর্ণ বন্ধ খোলকে অর্ধগোলাকার বাটির মতো মুখের বলয়াকার ধার থাকে না। একই ব্যাসার্ধগুলির ফাঁপা অর্ধগোলকের উপাদানের আয়তন এই খোলকের উপাদানের আয়তনের অর্ধেক।

👉 সহজ সমাধানসহ উদাহরণ

গণনার নিয়ম: নিচের অঙ্কগুলিতে প্রয়োজনমতো π রেখে সঠিক উত্তর দেওয়া হয়েছে। দশমিক মান চাইলে প্রশ্নে দেওয়া π-এর আসন্ন মান ব্যবহার করবে। π ≈ 3.14 এবং ; কোনোটিই π-এর নির্ভুল মান নয়।

✏️ উদাহরণ 1: গোলকের ক্ষেত্রফল ও আয়তন

একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 3 সেমি। পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় করো।

সমাধান:

পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 4π × 3² = 36π বর্গ সেমি।

আয়তন ঘন সেমি।

উত্তর: ক্ষেত্রফল 36π বর্গ সেমি, আয়তন 36π ঘন সেমি। সংখ্যামান একই হলেও একক এবং অর্থ আলাদা।

✏️ উদাহরণ 2: ব্যাস থেকে গোলকের মাপ

একটি গোলকের ব্যাস 12 সেমি। তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন কত?

সমাধান: ব্যাসার্ধ r = 12 ÷ 2 = 6 সেমি।

ক্ষেত্রফল = 4π × 6² = 144π বর্গ সেমি।

আয়তন ঘন সেমি।

উত্তর: 144π বর্গ সেমি এবং 288π ঘন সেমি।

✏️ উদাহরণ 3: নিরেট অর্ধগোলক

3 সেমি ব্যাসার্ধের নিরেট অর্ধগোলকের বক্রপৃষ্ঠ, সমগ্রপৃষ্ঠ ও আয়তন নির্ণয় করো।

সমাধান:

বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2π × 3² = 18π বর্গ সেমি।

সমগ্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 3π × 3² = 27π বর্গ সেমি।

আয়তন ঘন সেমি।

উত্তর: যথাক্রমে 18π বর্গ সেমি, 27π বর্গ সেমি এবং 18π ঘন সেমি।

✏️ উদাহরণ 4: বাটিতে কতটা জল ধরবে?

একটি বাটির ভেতরের অংশ অর্ধগোলাকার। অন্তর্ব্যাসার্ধ 3 সেমি হলে কানায় পূর্ণ বাটির ধারণক্ষমতা কত? π ≈ 3.14 নাও।

সমাধান:

ঘন সেমি।

উত্তর: প্রায় 56.52 মিলিলিটার। এখানে বাইরের ব্যাসার্ধ জানার প্রয়োজন নেই।

✏️ উদাহরণ 5: বাটি তৈরিতে কত উপাদান লেগেছে?

একটি ফাঁপা অর্ধগোলাকার বাটির বহিঃব্যাসার্ধ 6 সেমি ও অন্তর্ব্যাসার্ধ 3 সেমি। উপাদানের আয়তন এবং দেয়ালের পুরুত্ব নির্ণয় করো।

সমাধান:

ঘন সেমি।

পুরুত্ব t = 6 − 3 = 3 সেমি।

উত্তর: উপাদানের আয়তন 126π ঘন সেমি, পুরুত্ব 3 সেমি।

✏️ উদাহরণ 6: ফাঁপা বাটির বিভিন্ন পৃষ্ঠ

একটি ফাঁপা অর্ধগোলকের বাইরের ব্যাসার্ধ 5 সেমি এবং ভেতরের ব্যাসার্ধ 4 সেমি। উভয় বক্রপৃষ্ঠ এবং ধারসহ সমগ্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান: বাইরের বক্রপৃষ্ঠ = 2π × 5² = 50π বর্গ সেমি।

ভেতরের বক্রপৃষ্ঠ = 2π × 4² = 32π বর্গ সেমি।

উভয় বক্রপৃষ্ঠ = 50π + 32π = 82π বর্গ সেমি।

বলয়াকার ধার = π(5² − 4²) = 9π বর্গ সেমি।

সমগ্রপৃষ্ঠ = 82π + 9π = 91π বর্গ সেমি।

উত্তর: উভয় বক্রপৃষ্ঠ 82π বর্গ সেমি; ধারসহ সমগ্রপৃষ্ঠ 91π বর্গ সেমি।

✏️ উদাহরণ 7: শুধু বাইরের পৃষ্ঠে রং

একটি অর্ধগোলাকার বাটির বহিঃব্যাসার্ধ 7 সেমি। শুধু বাইরের বাঁকানো পৃষ্ঠে রং করতে হবে। রং করার ক্ষেত্রফল কত? নাও।

সমাধান:

বর্গ সেমি।

উত্তর: প্রায় 308 বর্গ সেমি। এখানে ভেতরের পৃষ্ঠ বা মুখের ধার যোগ হবে না।

✏️ উদাহরণ 8: ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ হলে

একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 2 সেমি থেকে 4 সেমি হলো। ক্ষেত্রফল ও আয়তন কত গুণ হবে?

সমাধান: নতুন ব্যাসার্ধ পুরোনোটির 2 গুণ। ক্ষেত্রফল ব্যাসার্ধের বর্গের এবং আয়তন ব্যাসার্ধের ঘনের সমানুপাতে বদলায়।

উত্তর: ক্ষেত্রফল 4 গুণ, আয়তন 8 গুণ হবে।

✍️ নিজে চেষ্টা করো

উত্তর π-এর সাহায্যে প্রকাশ করো।

🔹 1. 2 সেমি ব্যাসার্ধের গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন বের করো।

🔹 2. 6 সেমি ব্যাসের নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ও আয়তন বের করো।

🔹 3. একটি অর্ধগোলাকার বাটির অন্তর্ব্যাসার্ধ 6 সেমি। এর ধারণক্ষমতা কত মিলিলিটার?

🔹 4. ফাঁপা অর্ধগোলকের বহিঃব্যাসার্ধ 4 সেমি এবং অন্তর্ব্যাসার্ধ 3 সেমি। পুরুত্ব ও উপাদানের আয়তন নির্ণয় করো।

🔹 5. ফাঁপা অর্ধগোলকের বহিঃব্যাসার্ধ 3 সেমি এবং অন্তর্ব্যাসার্ধ 2 সেমি। উভয় বক্রপৃষ্ঠ ও সমগ্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

🔹 6. একই কেন্দ্রবিশিষ্ট ফাঁপা গোলকের বহিঃব্যাসার্ধ 3 সেমি এবং অন্তর্ব্যাসার্ধ 2 সেমি। উপাদানের আয়তন ও শুধু বাইরের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল বের করো।

🧠 মনে রাখার মতো গুরুত্বপূর্ণ বিষয়

ব্যাস বনাম ব্যাসার্ধ: ব্যাস দেওয়া থাকলে 2 দিয়ে ভাগ করে ব্যাসার্ধ বের করবে।

সঠিক একক: ক্ষেত্রফলে বর্গ একক, আয়তনে ঘন একক। হিসাবের আগে সব দৈর্ঘ্য একই এককে আনবে।

নিরেট অর্ধগোলক: সমগ্রপৃষ্ঠের জন্য সমতল বৃত্তাকার তল যোগ করতে হবে।

ফাঁপা বাটি: উপাদানের আয়তন পেতে বাইরের আয়তন থেকে ভেতরের ফাঁকা অংশ বাদ দেবে। ধারণক্ষমতায় শুধু অন্তর্ব্যাসার্ধ লাগবে।

ঘনের বিয়োগ: R³ − r³ এবং (R − r)³ এক নয়। শুধু পুরুত্ব জানলে উপাদানের আয়তন নির্ণয় করা যায় না।

রং বা পালিশ: প্রশ্নে বাইরের, ভেতরের, নাকি সব পৃষ্ঠ চাওয়া হয়েছে, তা দেখে সূত্র বেছে নেবে।

আসন্ন মান: π রেখে উত্তর সঠিকভাবে প্রকাশ করা যায়। দশমিক উত্তর চাইলে নির্দিষ্ট আসন্ন মান ব্যবহার করবে।

একই আকারের পরিবর্তন: সব দৈর্ঘ্য k গুণ হলে পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল k² গুণ এবং আয়তন k³ গুণ হয়।

💡 দ্রুত রিভিশন

⭐ ফাঁপা অর্ধগোলাকার বাটির ধারণক্ষমতা আলাদাভাবে মনে রাখো: , যেখানে r ভেতরের ব্যাসার্ধ।