👉 सरल रेखा के समीकरण के विभिन्न रूप
सरल रेखा का समीकरण
🔹 y = 0, x-अक्ष का समीकरण है और x = 0, y-अक्ष का समीकरण है।
🔹 x-अक्ष के समांतर सरल रेखा का समीकरण y = b होता है। यहाँ b, x-अक्ष से उस रेखा की लंब दूरी को दर्शाता है।
🔹 y-अक्ष के समांतर सरल रेखा का समीकरण x = a होता है। यहाँ a, y-अक्ष से उस रेखा की लंब दूरी को दर्शाता है।
सरल रेखा का समीकरण
y = mx + c
सरल रेखा के इस समीकरण में m रेखा की slope को और c y-अक्ष पर उसके intercept को दर्शाता है।
y = mx
यह उस सरल रेखा का समीकरण है जो मूलबिंदु (0, 0) से गुजरती है, अर्थात यहाँ c = 0 होता है।
एक दिए गए बिंदु और slope से सरल रेखा का समीकरण
(y - y1) = m (x - x1)
यह रेखा (x1, y1) बिंदु से गुजरती है और इसकी slope m = tan θ होती है।
दो बिंदुओं से गुजरने वाली सरल रेखा का समीकरण
यह (x1, y1) और (x2, y2) इन दोनों बिंदुओं से गुजरने वाली सरल रेखा का समीकरण है।
Intercept Form में सरल रेखा का समीकरण
यहाँ a और b क्रमशः x-अक्ष और y-अक्ष पर रेखा के intercept हैं।
सरल रेखा का Normal Form
x cosα + y sinα = p
यह सरल रेखा का normal form है। यहाँ p मूलबिंदु से रेखा पर खींची गई लंब दूरी है और यह लंब x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ α कोण बनाता है।
📚 p का मान हमेशा धनात्मक लिया जाता है, जबकि α न्यूनकोण या अधिककोण हो सकता है।
सरल रेखा का Symmetric Form
इस समीकरण में r, बिंदुओं Q (x, y) और P (x1, y1) के बीच की दूरी है। रेखा x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ θ कोण बनाती है।
📚 x = x1 + r cosθ और y = y1 + r sinθ
दी गई रेखा के समांतर सरल रेखा का समीकरण
🔹 दी गई रेखा ax + by + c = 0 के समांतर किसी रेखा का समीकरण ax + by + k = 0 होगा, जहाँ k एक नियतांक है।
दी गई रेखा पर लंब सरल रेखा का समीकरण
दी गई रेखा ax + by + c = 0 पर लंब सरल रेखा का समीकरण bx - ay + k = 0 होगा, जहाँ k एक नियतांक है।
दो दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु से गुजरने वाली सरल रेखा
यदि दो दी गई सरल रेखाएँ क्रमशः a1x + b1y + c1 = 0 और a2x + b2y + c2 = 0 हों, तो उनके प्रतिच्छेद बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का सामान्य समीकरण है:
a1x + b1y + c1 + k (a2x + b2y + c2) = 0
जहाँ k एक नियतांक है।
🧠 जल्दी याद रखने वाले सूत्र
| विषय | सूत्र / परिणाम |
|---|---|
| Slope-Intercept Form | y = mx + c |
| मूलबिंदु से गुजरने वाली रेखा | y = mx |
| Point-Slope Form | y − y₁ = m(x − x₁) |
| Two-Point Form | |
| Intercept Form | |
| Normal Form | x cosα + y sinα = p |
| x-अक्ष के समांतर | y = b |
| y-अक्ष के समांतर | x = a |
📚 महत्वपूर्ण बातें
🔹 y = mx + c में m रेखा की slope और c y-अक्ष पर उसका intercept है।
🔹 ऊर्ध्वाधर रेखा की slope अपरिभाषित होती है, इसलिए उसे y = mx + c के रूप में नहीं लिखा जा सकता। ऊर्ध्वाधर रेखा का समीकरण x = a होता है।
🔹 Point-Slope Form सबसे सुविधाजनक तब होता है जब एक बिंदु और slope ज्ञात हों।
🔹 Two-Point Form का उपयोग करने से पहले देखो कि x₂ − x₁ ≠ 0 है। यदि x₁ = x₂, तो रेखा ऊर्ध्वाधर होगी और उसका समीकरण x = x₁ होगा।
🔹 ax + by + c = 0 और ax + by + k = 0 रेखाएँ परस्पर समांतर होती हैं।
🔹 दो रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु अलग से निकाले बिना भी L₁ + λL₂ = 0 का उपयोग करके उस बिंदु से गुजरने वाली रेखा प्राप्त की जा सकती है।
✏️ हल सहित उदाहरण
उदाहरण 1: एक बिंदु और slope से
(2, 3) बिंदु से गुजरने वाली और slope 4 वाली सरल रेखा का समीकरण ज्ञात करो।
y − 3 = 4(x − 2) ⇒ y = 4x − 5अतः सरल रेखा का समीकरण 4x − y − 5 = 0 है।
उदाहरण 2: दो बिंदुओं से
A(1, 2) और B(5, 10) से गुजरने वाली सरल रेखा का समीकरण ज्ञात करो।
y − 2 = 2(x − 1) ⇒ 2x − y = 0उदाहरण 3: समांतर रेखा
3x + 2y − 7 = 0 के समांतर और (2, 1) बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करो।
समांतर रेखा का रूप 3x + 2y + k = 0 होगा। दिए गए बिंदु को रखने पर,
6 + 2 + k = 0 ⇒ k = −8अतः आवश्यक समीकरण 3x + 2y − 8 = 0 है।
