वृत्त का समीकरण (Equation of a Circle)
समतल में ऐसे चल बिंदु के पथ को वृत्त (Circle) कहते हैं जो एक निश्चित बिंदु से हमेशा समान दूरी पर रहता है।
उस निश्चित बिंदु को वृत्त का केंद्र (Centre) और स्थिर दूरी को वृत्त की त्रिज्या (Radius) कहते हैं।
मान लो वृत्त का केंद्र O और त्रिज्या r है। वृत्त पर किसी भी बिंदु P के लिए,
OP = r
इसी ज्यामितीय शर्त को निर्देशांकों की सहायता से व्यक्त करने पर वृत्त का समीकरण प्राप्त होता है।
👉 मूलबिंदु केंद्रित वृत्त का समीकरण
मान लो कार्तीय समतल में वृत्त का केंद्र मूलबिंदु O(0, 0) है और वृत्त पर कोई बिंदु P(x, y) है। वृत्त की त्रिज्या = a है।
Distance Formula के अनुसार,
OP = √(x² + y²)और OP = a।
अतः,
√(x² + y²) = aदोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
x² + y² = a²
यह मूलबिंदु केंद्रित और a त्रिज्या वाले वृत्त का मानक या Standard Equation है।
उदाहरण
यदि किसी वृत्त का केंद्र (0, 0) और त्रिज्या 5 इकाई है, तो उसका समीकरण,
x² + y² = 5²अर्थात,
x² + y² = 25
👉 केंद्र (α, β) होने पर वृत्त का समीकरण
मान लो वृत्त का केंद्र Q(α, β), वृत्त पर कोई बिंदु P(x, y) और त्रिज्या a है।
तब,
QP = aDistance Formula से,
√((x - α)² + (y - β)²) = aदोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
(x - α)² + (y - β)² = a²
यह केंद्र (α, β) और त्रिज्या a वाले वृत्त का Standard Form है।
याद रखो
(x - α)² + (y - β)² = a² से सीधे मिलता है:
- केंद्र (Centre) = (α, β)
- त्रिज्या (Radius) = a
उदाहरण
(x - 3)² + (y + 2)² = 16यहाँ,
- केंद्र = (3, -2)
- त्रिज्या = 4
क्योंकि (y + 2) = (y - (-2))।
👉 वृत्त का सामान्य समीकरण (General Equation of a Circle)
वृत्त का standard equation,
(x - α)² + (y - β)² = a²का विस्तार करने पर,
x² + y² - 2αx - 2βy + α² + β² - a² = 0इसे सामान्यतः लिखा जाता है,
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
तुलना करने पर,
g = -α और f = -β
अतः वृत्त का केंद्र,
(-g, -f)
और त्रिज्या,
r = √(g² + f² - c)
वास्तविक वृत्त के लिए आवश्यक है कि,
g² + f² - c > 0हो।
उदाहरण
वृत्त का समीकरण है,
x² + y² - 6x + 4y - 3 = 0यहाँ,
2g = -6 ⇒ g = -3 2f = 4 ⇒ f = 2और c = -3।
अतः केंद्र,
(-g, -f) = (3, -2)और त्रिज्या,
r = √(g² + f² - c) = √(9 + 4 + 3) = 4अतः वृत्त का केंद्र (3, -2) और त्रिज्या 4 इकाई है।
👉 Completing the Square से केंद्र और त्रिज्या ज्ञात करना
यदि वृत्त का general equation दिया हो, तो completing the square विधि से भी उसे standard form में बदला जा सकता है।
उदाहरण के लिए,
x² + y² - 6x + 4y - 3 = 0तब,
(x² - 6x) + (y² + 4y) = 3पूर्ण वर्ग बनाने पर,
(x - 3)² - 9 + (y + 2)² - 4 = 3अर्थात,
(x - 3)² + (y + 2)² = 16
अतः केंद्र (3, -2) और त्रिज्या 4 है।
👉 वृत्त की Parametric Equation
मान लो मूलबिंदु O(0, 0) वृत्त का केंद्र है, त्रिज्या a है और वृत्त पर एक बिंदु P(x, y) है। यदि OP, धनात्मक x-अक्ष के साथ θ कोण बनाता है, तो त्रिकोणमितीय अनुपातों से,
cosθ = x/aऔर
sinθ = y/aअतः,
x = a cosθ और y = a sinθ
ये मूलबिंदु केंद्रित वृत्त की Parametric Equations हैं।
यदि वृत्त का केंद्र (α, β) हो, तो parametric equations होंगी,
x = α + a cosθ
y = β + a sinθ
👉 व्यास के दोनों सिरे दिए होने पर वृत्त का समीकरण
यदि किसी वृत्त के व्यास के दोनों सिरे A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) हों, तो वृत्त पर किसी भी बिंदु P(x, y) के लिए ∠APB = 90° होगा।
इस शर्त से वृत्त का समीकरण,
(x - x₁)(x - x₂) + (y - y₁)(y - y₂) = 0
उदाहरण
यदि व्यास के दोनों सिरे A(2, 0) और B(6, 0) हों, तो
(x - 2)(x - 6) + y² = 0अर्थात,
x² - 8x + 12 + y² = 0इसलिए,
x² + y² - 8x + 12 = 0
यहाँ केंद्र (4, 0) और त्रिज्या 2 है।
👉 जल्दी याद रखने वाले सूत्र
| वृत्त का प्रकार | समीकरण |
|---|---|
| केंद्र (0, 0), त्रिज्या a | x² + y² = a² |
| केंद्र (α, β), त्रिज्या a | (x - α)² + (y - β)² = a² |
| सामान्य रूप | x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 |
| सामान्य रूप से केंद्र | (-g, -f) |
| सामान्य रूप से त्रिज्या | √(g² + f² - c) |
| Parametric form, केंद्र (0,0) | x = a cosθ, y = a sinθ |
👉 महत्वपूर्ण बातें
- वृत्त के समीकरण में x² और y² के गुणांक समान होते हैं।
- सामान्य वृत्त के समीकरण में xy पद नहीं होता।
- Standard form से केंद्र और त्रिज्या सीधे ज्ञात किए जा सकते हैं।
- General form से केंद्र (-g, -f) और त्रिज्या √(g² + f² - c) मिलती है।
- Parametric form वृत्त पर किसी चल बिंदु के निर्देशांक व्यक्त करने में विशेष रूप से उपयोगी है।
इन सूत्रों को स्पष्ट रूप से समझ लेने पर वृत्त का समीकरण बनाना, केंद्र और त्रिज्या ज्ञात करना तथा निर्देशांक ज्यामिति के अनेक प्रश्न हल करना आसान हो जाता है।
