सरल रेखा की प्रवणता (Gradient of a Straight Line)
सरल रेखा की प्रवणता ज्ञात करना
🔹 कोई सरल रेखा x-अक्ष की वामावर्त दिशा में x-अक्ष के साथ जो कोण (∠XAP = θ) बनाती है, उसके tangent या tanθ के मान को उस रेखा की प्रवणता या slope कहते हैं।
प्रवणता = m = tanθ
विशेष स्थितियाँ:
⭐ θ को वामावर्त दिशा में 0° से 180° के बीच लिया जाता है।
⭐ यदि सरल रेखा x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक न्यूनकोण (acute angle) बनाती है, तो उसकी slope धनात्मक होती है।
⭐ यदि सरल रेखा x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक अधिककोण (obtuse angle) बनाती है, तो उसकी slope ऋणात्मक होती है।
मुख्य अक्षों के समांतर सरल रेखाएँ
⭐ यदि कोई सरल रेखा x-अक्ष के समांतर है, तो उसकी slope शून्य होती है। अर्थात यदि θ = 0°, तो m = 0 (∵ tan 0° = 0)।
⭐ यदि कोई सरल रेखा y-अक्ष के समांतर है, तो उसकी slope अपरिभाषित (undefined) होती है। θ = 90° होने पर tan 90° परिभाषित नहीं है, इसलिए slope का कोई सीमित मान नहीं होता।
अक्ष के साथ विशेष कोण बनाने वाली रेखा की प्रवणता
⭐ यदि θ = 45°, तो m = 1 (∵ tan 45° = 1)।
⭐ यदि θ = 135°, तो m = -1 (∵ tan 135° = -1)।
दो बिंदुओं को मिलाने वाली सरल रेखा की प्रवणता
🔹 बिंदु P (x1, y1) और Q (x2, y2) को मिलाने वाली सरल रेखा की slope m या tanθ होगी:
∴
दो सरल रेखाओं के बीच का कोण
∴
🔹 यदि दो सरल रेखाओं की slopes m1 और m2 हों, तो उनके बीच का छोटा कोण θ ऊपर दिए गए सूत्र से ज्ञात किया जा सकता है।
विशेष स्थितियाँ:
🔹 दो रेखाएँ समांतर होंगी जब m1 = m2।
🔹 दो रेखाएँ लंब होंगी जब m1 m2 = -1।
🧠 जल्दी याद रखने वाले सूत्र
| विषय | सूत्र / परिणाम |
|---|---|
| Inclination से slope | m = tanθ |
| दो बिंदुओं से slope | |
| x-अक्ष के समांतर रेखा | m = 0 |
| y-अक्ष के समांतर रेखा | slope अपरिभाषित |
| समांतर रेखाएँ | m₁ = m₂ |
| लंब रेखाएँ | m₁m₂ = −1 |
| दो रेखाओं के बीच का कोण |
📚 महत्वपूर्ण बातें
🔹 Inclination θ सामान्यतः 0° ≤ θ < 180° माना जाता है।
🔹 0° < θ < 90° होने पर slope धनात्मक और 90° < θ < 180° होने पर slope ऋणात्मक होती है।
🔹 θ = 90° होने पर slope को अनंत कहना उचित नहीं है। गणितीय रूप से slope अपरिभाषित (undefined) होती है, क्योंकि tan90° परिभाषित नहीं है।
🔹 Two-point formula में x₂ − x₁ = 0 होने पर रेखा ऊर्ध्वाधर होती है, इसलिए उसकी slope अपरिभाषित होती है।
🔹 m₁m₂ = −1 की शर्त का सीधा उपयोग तभी करो जब दोनों रेखाओं की slopes सीमित हों।
🔹 दो रेखाओं के बीच छोटा कोण ज्ञात करने के लिए tangent सूत्र में absolute value लेना सुविधाजनक होता है।
✏️ हल सहित उदाहरण
उदाहरण 1: दो बिंदुओं से slope
A(2, 3) और B(6, 11) को मिलाने वाली रेखा की slope ज्ञात करो।
अतः slope m = 2।
उदाहरण 2: समांतरता की जाँच
दो रेखाओं की slopes क्रमशः 3 और 3 हैं। क्योंकि m₁ = m₂, इसलिए दोनों रेखाएँ समांतर हैं।
उदाहरण 3: लंब रेखा
यदि एक रेखा की slope 2 है, तो उस पर लंब रेखा की slope ज्ञात करो।
m₁m₂ = −1 2m₂ = −1 ⇒ m₂ = −1/2अतः लंब रेखा की slope −1/2 है।
