ठोस और खोखले बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
🎯 इस पाठ में तुम क्या सीखोगे?
👉 ठोस और खोखले बेलन की रचना पहचानना।
👉 वक्र और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल में अंतर समझना।
👉 सूत्र कैसे मिलते हैं, इसे सरल ढंग से समझाना।
👉 पाइप के पदार्थ का आयतन और पात्र की धारिता निकालना।
👉 प्रश्न के अनुसार सही पृष्ठ, माप और इकाइयाँ चुनना।
डिब्बे पर लेबल लगाने में कितना कागज़ लगेगा? पाइप बनाने में कितनी धातु लगेगी? पात्र को लबालब भरने में कितने लीटर पानी लगेगा? इन प्रश्नों में क्रमशः क्षेत्रफल, पदार्थ का आयतन और धारिता उपयोग करते हैं।
👉 बेलन (Cylinder) किसे कहते हैं?
बेलन
यहाँ बेलन से लंब वृत्तीय बेलन (Right Circular Cylinder) का अर्थ है। इसके 2 बराबर और समांतर वृत्ताकार फलक होते हैं। उनके केंद्रों को जोड़ने वाला अक्ष दोनों फलकों पर लंबवत होता है। उनके बीच की लंबवत दूरी ऊँचाई है।
यहाँ के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र लंब वृत्तीय बेलन के लिए हैं; तिरछे बेलन पर सीधे लागू नहीं होते। ठोस बेलन (Solid Cylinder) अंदर से भरा होता है, जैसे आदर्श बेलनाकार धातु की छड़। खोखले बेलन (Hollow Cylinder) का अंदरूनी भाग खाली होता है, जैसे सीधा पाइप।
👉 ठोस बेलन के मुख्य माप
⭐ आधार की त्रिज्या = r
⭐ आधार का व्यास = d = 2r
⭐ लंबवत ऊँचाई = h
यहाँ r और h धनात्मक हैं। व्यास दिया हो, तो r = d2 लो।
π का मान: π अपरिमेय संख्या है। π ≈ 3.14 या π ≈ 227 सन्निकट मान लिए जा सकते हैं; ये यथार्थ मान नहीं हैं। प्रश्न में दिया मान लो या यथार्थ उत्तर में π रहने दो।
👉 ठोस बेलन के सूत्र और व्याख्या
1. एक आधार का क्षेत्रफल
आधार वृत्ताकार है, इसलिए:
⭐ B = πr2
यहाँ B एक वृत्ताकार फलक का क्षेत्रफल है। दोनों फलकों का कुल क्षेत्रफल 2πr2 है।
2. पार्श्व या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved Surface Area)
⭐ CSA = 2πrh
इसमें केवल चारों ओर का वक्र पृष्ठ है; ऊपर और नीचे के वृत्ताकार फलक नहीं हैं।
💡 सूत्र की व्याख्या
🔹 बेलनाकार डिब्बे का लेबल ऊँचाई के अनुदिश काटकर समतल पर फैलाओ। जोड़ने के लिए अतिरिक्त भाग न हो, तो एक आयत मिलता है।
🔹 आयत की लंबाई = आधार की परिधि = 2πr।
🔹 आयत की चौड़ाई = बेलन की ऊँचाई = h।
🔹 वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = 2πr × h = 2πrh।
3. संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area)
पूरे ठोस बेलन में वक्र पृष्ठ के साथ दोनों वृत्ताकार फलक जोड़ो:
⭐ TSA = 2πrh + 2πr2 = 2πr(h + r)
📚 याद रखो: वक्र पृष्ठ + ऊपर का फलक + नीचे का फलक = संपूर्ण पृष्ठ।
4. आयतन (Volume)
⭐ V = πr2h
आधार के समांतर प्रत्येक अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल समान, πr², है। समान आकार की बहुत पतली वृत्ताकार परतों को h ऊँचाई तक रखने की कल्पना से आयतन का सूत्र समझ आता है:
आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई।
यह सरल ज्यामितीय व्याख्या है। नियम हर त्रिविमीय ठोस पर लागू नहीं होता। उदाहरण के लिए, शंकु और पिरामिड में अनुप्रस्थ काट का आकार ऊँचाई के साथ बदलता है।
यदि व्यास d हो:
⭐
👉 खुले पात्र के लिए कौन-सा क्षेत्रफल लें?
पतली चादर से पात्र बनाने में दीवार की मोटाई, जोड़ का अतिरिक्त भाग और बर्बादी उपेक्षित मानने पर:
🔹 दोनों वृत्ताकार फलकों वाला बंद पात्र: 2πrh + 2πr²
🔹 ऊपर खुला और नीचे एक फलक: 2πrh + πr²
🔹 केवल पार्श्व चादर या लेबल: 2πrh
ये चादर के एक ओर के क्षेत्रफल हैं। अंदर और बाहर दोनों ओर रंग करने में प्रश्न के अनुसार दोनों पृष्ठ लो। मोटी दीवार या तली के लिए अतिरिक्त माप चाहिए।
👉 खोखले बेलन की रचना (Hollow Cylinder)
खोखला बेलन
यहाँ खोखले बेलन से दोनों सिरों पर खुला, समान मोटाई वाला सीधा पाइप समझो। बाहरी और भीतरी बेलन का अक्ष एक ही है तथा ऊँचाइयाँ समान हैं।
मान लो:
🔹 बाहरी त्रिज्या R
🔹 भीतरी त्रिज्या r
🔹 ऊँचाई या लंबाई h
🔹 दीवार की मोटाई t = R − r
यहाँ R > r > 0 और h > 0। बाहरी व्यास D और भीतरी व्यास d हो, तो:
सावधानी: केवल व्यासों का अंतर मोटाई नहीं है; उस अंतर को 2 से भाग दो।
👉 खोखले बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल
1. बाहरी और भीतरी वक्र पृष्ठ
बाहरी त्रिज्या R है, इसलिए बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल:
⭐
भीतरी त्रिज्या r है, इसलिए भीतरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल:
⭐
दोनों वक्र पृष्ठ एक साथ लेने पर:
⭐
केवल बाहर रंग करना हो तो भीतरी क्षेत्रफल मत जोड़ो। प्रश्न में वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल से कौन-सा पृष्ठ समझाया गया है, पहले देखो।
2. दोनों सिरों के वलयों का क्षेत्रफल (Annular Ends)
प्रत्येक सिरे पर एक समतल वलय होता है। उसका क्षेत्रफल = बड़े वृत्त का क्षेत्रफल − अंदर के खाली वृत्त का क्षेत्रफल।
⭐
इसलिए दोनों सिरों का कुल क्षेत्रफल:
⭐
बीच का खाली छेद पाइप का पृष्ठ नहीं है। उसे क्षेत्रफल में नहीं जोड़ते।
3. संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल
भीतरी और बाहरी वक्र पृष्ठ तथा दोनों सिरों के वलय जोड़ो:
⭐
⭐
💡 गुणनखंड करके सूत्र निकालें
🔹 हम जानते हैं, R² − r² = (R + r)(R − r)।
🔹 इसलिए संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πh(R + r) + 2π(R + r)(R − r)।
🔹 उभयनिष्ठ गुणनखंड 2π(R + r) बाहर लेने पर:
🔹 ।
इस सूत्र में ढक्कन या बंद तली शामिल नहीं है। एक सिरे पर बंद मोटे पात्र के सभी पृष्ठों के लिए तली की रचना और मोटाई भी चाहिए।
👉 खोखले बेलन के पदार्थ का आयतन
बाहरी पूरे बेलन के आयतन से अंदर का खाली आयतन घटाओ:
⭐
वलयाकार अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल को लंबाई से गुणा करने पर भी यही परिणाम मिलता है।
यह पाइप की धातु, प्लास्टिक या अन्य पदार्थ का आयतन देता है, द्रव्यमान नहीं। द्रव्यमान के लिए घनत्व भी चाहिए:
द्रव्यमान = पदार्थ का आयतन × घनत्व, जहाँ इकाइयाँ संगत हों।
👉 अंदर का खाली आयतन और पात्र की धारिता
पाइप के अंदर के खाली भाग का आयतन:
⭐
दोनों सिरों पर खुला पाइप अपने आप पानी नहीं रोक सकता। बेलनाकार पात्र की धारिता (Capacity) के लिए उसकी भीतरी त्रिज्या और उपयोग योग्य भीतरी ऊँचाई इसी सूत्र में लो।
इकाइयों का रूपांतरण:
🔹 1 घन सेमी = 1 मिलीलीटर
🔹 1000 घन सेमी = 1 लीटर
🔹 1 घन मीटर = 1000 लीटर
बाहरी ऊँचाई से तली की मोटाई घटानी पड़ सकती है। बाहरी और भीतरी माप समान मत मानो।
👉 सरल हल सहित उदाहरण
✏️ उदाहरण 1: ठोस बेलन का क्षेत्रफल और आयतन
ठोस बेलन की त्रिज्या 3 सेमी और ऊँचाई 5 सेमी है। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन निकालो।
हल:
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2π × 3 × 5 = 30π वर्ग सेमी।
संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2π × 3 × (3 + 5) = 48π वर्ग सेमी।
आयतन = π × 3² × 5 = 45π घन सेमी।
उत्तर: क्रमशः 30π वर्ग सेमी, 48π वर्ग सेमी और 45π घन सेमी।
✏️ उदाहरण 2: व्यास से आयतन
बेलन का व्यास 10 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी है। आयतन निकालो।
हल: त्रिज्या r = 10 ÷ 2 = 5 सेमी।
आयतन = π × 5² × 4 = 100π घन सेमी।
उत्तर: 100π घन सेमी। π ≈ 3.14 लेने पर लगभग 314 घन सेमी।
✏️ उदाहरण 3: डिब्बे के लेबल का क्षेत्रफल
डिब्बे की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है। केवल वक्र पृष्ठ ढकने के लिए कितना कागज़ चाहिए? जोड़ का अतिरिक्त भाग उपेक्षित मानो और लो।
हल:
वर्ग सेमी।
उत्तर: लगभग 440 वर्ग सेमी कागज़। ऊपर और नीचे के फलक नहीं ढकने हैं।
✏️ उदाहरण 4: ऊपर खुले पात्र की चादर
ऊपर खुले बेलनाकार पात्र की त्रिज्या 3 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी है। मोटाई, जोड़ और बर्बादी उपेक्षित मानकर चादर का क्षेत्रफल निकालो।
हल: एक वक्र पृष्ठ और एक वृत्ताकार आधार लो।
A = 2π × 3 × 4 + π × 3² = 24π + 9π = 33π वर्ग सेमी।
उत्तर: 33π वर्ग सेमी चादर।
✏️ उदाहरण 5: पानी के पात्र की धारिता
बेलनाकार पात्र की भीतरी त्रिज्या 10 सेमी और भीतरी ऊँचाई 20 सेमी है। लबालब भरने पर कितने लीटर पानी समाएगा? π ≈ 3.14 लो।
हल:
धारिता = π × 10² × 20 = 2000π घन सेमी।
लीटर में = 2000π ÷ 1000 = 2π ≈ 6.28 लीटर।
उत्तर: लगभग 6.28 लीटर।
✏️ उदाहरण 6: पाइप का पदार्थ और अंदर का खाली भाग
पाइप की बाहरी त्रिज्या 5 सेमी, भीतरी त्रिज्या 4 सेमी और लंबाई 10 सेमी है। मोटाई, पदार्थ का आयतन और अंदर का खाली आयतन निकालो।
हल: मोटाई = 5 − 4 = 1 सेमी।
पदार्थ का आयतन = π × 10 × (5² − 4²) = 90π घन सेमी।
अंदर का खाली आयतन = π × 4² × 10 = 160π घन सेमी।
उत्तर: 1 सेमी, 90π घन सेमी और 160π घन सेमी। दोनों आयतन जोड़ने पर बाहरी पूरे बेलन का आयतन 250π घन सेमी मिलता है।
✏️ उदाहरण 7: पाइप का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल
दोनों सिरों पर खुले पाइप की बाहरी त्रिज्या 3 सेमी, भीतरी त्रिज्या 2 सेमी और लंबाई 5 सेमी है। अंदर-बाहर और सिरों सहित कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालो।
हल: बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2π × 3 × 5 = 30π वर्ग सेमी।
भीतरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2π × 2 × 5 = 20π वर्ग सेमी।
दोनों सिरों के वलय = 2π(3² − 2²) = 10π वर्ग सेमी।
संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 30π + 20π + 10π = 60π वर्ग सेमी।
उत्तर: 60π वर्ग सेमी। संक्षिप्त सूत्र से भी 2π(3 + 2)(5 + 3 − 2) = 60π।
✏️ उदाहरण 8: आयतन से ऊँचाई
बेलन का आयतन 72π घन सेमी और त्रिज्या 3 सेमी है। ऊँचाई निकालो।
हल: V = πr²h से:
सेमी।
उत्तर: ऊँचाई 8 सेमी।
✍️ स्वयं हल करो
जहाँ उचित हो, उत्तर में π रहने दो।
🔹 1. ठोस बेलन की त्रिज्या 2 सेमी और ऊँचाई 5 सेमी है। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन निकालो।
🔹 2. बेलन का व्यास 6 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी है। आयतन निकालो।
🔹 3. ऊपर खुले पतले पात्र की त्रिज्या 2 सेमी और ऊँचाई 3 सेमी है। मोटाई और जोड़ उपेक्षित मानकर चादर का क्षेत्रफल निकालो।
🔹 4. पाइप का बाहरी व्यास 10 सेमी, भीतरी व्यास 6 सेमी और लंबाई 7 सेमी है। मोटाई और पदार्थ का आयतन निकालो।
🔹 5. दोनों सिरों पर खुले पाइप की बाहरी त्रिज्या 4 सेमी, भीतरी त्रिज्या 3 सेमी और लंबाई 6 सेमी है। दोनों वक्र पृष्ठों का कुल क्षेत्रफल और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालो।
🔹 6. बेलनाकार पात्र की भीतरी त्रिज्या 5 सेमी और भीतरी ऊँचाई 20 सेमी है। धारिता लीटर में निकालो। π ≈ 3.14 लो।
✅ उत्तर और संक्षिप्त गणना
🔸 1. वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 20π वर्ग सेमी; संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 28π वर्ग सेमी; आयतन
20π घन सेमी।
🔸 2. त्रिज्या 3 सेमी; आयतन π × 3² × 4 = 36π घन सेमी।
🔸 3. चादर का क्षेत्रफल 2π × 2 × 3 + π × 2² = 16π वर्ग सेमी।
🔸 4. त्रिज्याएँ 5 सेमी और 3 सेमी; मोटाई 2 सेमी; पदार्थ का आयतन
π × 7 × (25 − 9) = 112π घन सेमी।
🔸 5. दोनों वक्र पृष्ठों का क्षेत्रफल 2π × 6 × (4 + 3) = 84π वर्ग सेमी; संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल
2π × 7 × (6 + 1) = 98π वर्ग सेमी।
🔸 6. धारिता π × 5² × 20 = 500π घन सेमी = 0.5π लीटर, अर्थात लगभग 1.57 लीटर।
🧠 याद रखने योग्य मुख्य बातें
🔹 सही आकृति: ये वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र लंब वृत्तीय बेलन के लिए हैं।
🔹 त्रिज्या: व्यास दिया हो तो पहले 2 से भाग दो।
🔹 आवश्यक पृष्ठ: लेबल, रंग, खुले और बंद पात्र के प्रश्नों में अलग-अलग पृष्ठ लेने पड़ सकते हैं।
🔹 दोनों सिरों पर खुला पाइप: सिरों पर 2 वलय होते हैं, 2 पूरे वृत्त नहीं।
🔹 पदार्थ और खाली भाग: पदार्थ के आयतन में R² − r² और अंदर के खाली भाग में केवल r² लगता है।
🔹 वर्गों का अंतर: सामान्यतः R² − r² और (R − r)² बराबर नहीं हैं।
🔹 इकाइयाँ: क्षेत्रफल में वर्ग इकाई और आयतन में घन इकाई लिखो। सभी लंबाइयाँ पहले समान इकाई में बदलो।
🔹 धारिता: भीतरी त्रिज्या और भीतरी ऊँचाई लो।
🔹 आकार में परिवर्तन: ऊँचाई समान रखकर त्रिज्या दोगुनी करने पर आयतन 4 गुना होता है। त्रिज्या और ऊँचाई दोनों दोगुनी करने पर आयतन 8 गुना होता है।
💡 त्वरित पुनरावृत्ति
| आकृति | पृष्ठीय क्षेत्रफल | आयतन |
|---|---|---|
| ठोस बेलन; त्रिज्या r, ऊँचाई h | वक्र पृष्ठ 2πrh; संपूर्ण पृष्ठ 2πr(r + h) | πr²h |
| दोनों सिरों पर खुला खोखला बेलन; त्रिज्याएँ R और r, ऊँचाई h | दोनों वक्र पृष्ठ 2πh(R + r); संपूर्ण पृष्ठ 2π(R + r)(h + R − r) | पदार्थ: πh(R² − r²) |
⭐ खाली भाग का आयतन πr²h है। पात्र की धारिता में r और h भीतरी माप होने चाहिए।
