একঘাত দ্বিচলবিশিষ্ট সমীকরণ কী?
যে সমীকরণকে আকারে লেখা যায়, তাকে একঘাত দ্বিচলবিশিষ্ট সমীকরণ (Linear equation in two variables) বলে। এখানে চল, ধ্রুবক এবং একই সঙ্গে শূন্য নয়।
চলের ঘাত 1 হয়। বা একঘাত সমীকরণ নয়। তবে -কেও আকারে দুই চলের সমীকরণ হিসেবে বিবেচনা করা যায়।
সহজ উদাহরণ: সমীকরণটি প্রত্যেকটি সংখ্যাজোড়ার জন্য সত্য। বাস্তব সংখ্যায় এর অসংখ্য সমাধান আছে।
দুটি সমীকরণকে একসঙ্গে বিবেচনা করলে একটি সমীকরণ জোট বা সহসমীকরণ (Pair of simultaneous equations) পাওয়া যায়। যে সংখ্যাজোড়া দুটি সমীকরণকেই সত্য করে, সেটিই জোটের সমাধান। দুটি সমীকরণ থাকলেই একটিমাত্র সমাধান হবে, এমন নয়।
একই উদাহরণে সমাধানের 5টি পদ্ধতি
আমরা নিচের সমীকরণ জোটটি অপনয়ন, প্রতিস্থাপন, তুলনা, বজ্রগুণন ও লেখচিত্র, এই 5টি প্রচলিত পদ্ধতিতে সমাধান করব। এগুলিই একমাত্র সম্ভাব্য পদ্ধতি নয়; তুলনামূলক পদ্ধতিকে প্রতিস্থাপনের একটি রূপ হিসেবেও দেখা যায়।
1. অপনয়ন পদ্ধতি (Method of Elimination)
মূল ধারণা: একটি চলের সহগ সমান বা বিপরীত করে সমীকরণ দুটি বিয়োগ বা যোগ করি। এতে সেই চলটি বাদ যায়। প্রয়োজন হলে প্রথমে সম্পূর্ণ সমীকরণকে উপযুক্ত অশূন্য সংখ্যা দিয়ে গুণ করতে হয়।
ধাপ 1: সমীকরণ (1) ও (2)-এ y-এর সহগ বিপরীত। তাই যোগ করি।
ধাপ 2: সমীকরণ (1)-এ x = 4 বসাই।
সমাধান: ।
2. প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Method of Substitution)
মূল ধারণা: একটি সমীকরণ থেকে একটি চলকে অন্য চলের মাধ্যমে প্রকাশ করে দ্বিতীয় সমীকরণে বসাই।
ধাপ 1: সমীকরণ (2) থেকে পাই:
ধাপ 2: x-এর এই রাশিটি সমীকরণ (1)-এ বসাই।
ধাপ 3: সমীকরণ (3)-এ y = 3 বসাই।
সমাধান: ।
3. তুলনামূলক পদ্ধতি (Method of Comparison)
মূল ধারণা: দুটি সমীকরণ থেকেই একই চলকে অন্য চলের মাধ্যমে প্রকাশ করি। একই চলের রাশি দুটি সমান করে নতুন সমীকরণ তৈরি করি।
ধাপ 1: সমীকরণ (1) থেকে ।
ধাপ 2: সমীকরণ (2) থেকে ।
ধাপ 3: দুটি রাশি সমান করি।
ধাপ 4: ।
সমাধান: ।
4. বজ্রগুণন পদ্ধতি (Method of Cross-Multiplication)
প্রথমে দুটি সমীকরণ একই সাধারণ আকারে সাজাই:
ধরি, । D অশূন্য হলে একটিমাত্র সমাধান পাওয়া যায়:
প্রচলিত অনুপাতের রূপটি হলো:
সতর্কতা: অনুপাতের রূপে প্রতিটি হর অশূন্য হতে হবে। প্রথম বা দ্বিতীয় হর শূন্য হলেও D অশূন্য থাকলে উপরের সরাসরি সূত্র ব্যবহার করা যায়; সংশ্লিষ্ট চলের মান তখন 0 হয়। D = 0 হলে এই ভাগের সূত্র ব্যবহার করা যাবে না।
ধাপ 1: আমাদের সমীকরণ দুটি সাজিয়ে পাই:
অতএব, এবং । ঋণাত্মক চিহ্নসহ সহগ লিখতে হবে।
ধাপ 2: সূত্রে বসাই।
ধাপ 3: চলের মান নির্ণয় করি।
5. লেখচিত্র পদ্ধতি (Graphical Method)
প্রতিটি একঘাত দ্বিচলবিশিষ্ট সমীকরণ একটি সরলরেখা নির্দেশ করে। দুটি রেখার সাধারণ বিন্দুর স্থানাঙ্কই সমীকরণ জোটের সমাধান।
ধাপ 1: সুবিধাজনক x-এর মান বসিয়ে y-এর মানের ছক তৈরি করি।
| সমীকরণ | x | y | বিন্দু | | --- | --- | --- | --- | | x + y = 7 | 0 | 7 | (0, 7) | | x + y = 7 | 4 | 3 | (4, 3) | | x + y = 7 | 7 | 0 | (7, 0) | | x − y = 1 | 1 | 0 | (1, 0) | | x − y = 1 | 4 | 3 | (4, 3) | | x − y = 1 | 7 | 6 | (7, 6) |
ধাপ 2: ছক কাগজে অনুভূমিক x-অক্ষ ও উল্লম্ব y-অক্ষ আঁকি। উভয় অক্ষে প্রতি ঘরকে 1 একক ধরে বিন্দুগুলি বসাই। প্রতিটি সমীকরণের বিন্দুগুলি দিয়ে একটি করে সরলরেখা টানি। একটি সরলরেখা আঁকতে 2টি পৃথক বিন্দুই যথেষ্ট; তৃতীয় বিন্দুটি যাচাইয়ে সাহায্য করে।
ধাপ 3: রেখা দুটি (4, 3) বিন্দুতে ছেদ করে। তাই x = 4, y = 3। নিচের চিত্রে একই বিষয় দেখানো হয়েছে।
লেখচিত্র থেকে পাওয়া মান সব ক্ষেত্রে নিখুঁতভাবে পড়া সম্ভব নাও হতে পারে। সঠিক মান নিশ্চিত করতে মূল সমীকরণে বসিয়ে যাচাই করো।
সমাধান যাচাই করি
প্রাপ্ত x = 4 ও y = 3 মূল সমীকরণ দুটিতে বসাই:
- সমীকরণ (1): 4 + 3 = 7। সঠিক।
- সমীকরণ (2): 4 − 3 = 1। সঠিক।
অতএব, (4, 3) উভয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান। সংখ্যাজোড়ায় প্রথমটি x-এর এবং দ্বিতীয়টি y-এর মান।
আরও সহজ সমাধানসহ উদাহরণ
উদাহরণ 1: গুণ করে সহগ সমান করা
সমাধান করো: ।
প্রথম সমীকরণকে 3 দিয়ে ও দ্বিতীয়টিকে 2 দিয়ে গুণ করি:
প্রথমটি থেকে দ্বিতীয়টি বিয়োগ করলে:
এখন প্রথম মূল সমীকরণে বসাই:
উত্তর: x = 3, y = 2। যাচাই: 6 + 6 = 12 এবং 9 + 4 = 13।
উদাহরণ 2: প্রতিস্থাপন করে সমাধান
সমাধান করো: ।
দ্বিতীয় সমীকরণে x-এর জায়গায় 2y বসাই:
তাই । উত্তর: x = 6, y = 3। যাচাই: 6 = 2 × 3 এবং 6 + 3 = 9।
উদাহরণ 3: দুটি সংখ্যা নির্ণয়
দুটি সংখ্যার যোগফল 15 এবং বড়টি থেকে ছোটটি বিয়োগ করলে 3 হয়। সংখ্যা দুটি কত?
ধরি, বড় সংখ্যা x এবং ছোট সংখ্যা y। তাহলে:
যোগ করে পাই । তাই ।
উত্তর: সংখ্যা দুটি 9 ও 6। যাচাই: 9 + 6 = 15 এবং 9 − 6 = 3।
উদাহরণ 4: খাতা ও কলমের দাম
2টি খাতা ও 1টি কলমের মোট দাম 50 টাকা। 1টি খাতা ও 1টি কলমের মোট দাম 30 টাকা। প্রতিটি খাতা ও প্রতিটি কলমের দাম কত?
ধরি, একটি খাতার দাম x টাকা এবং একটি কলমের দাম y টাকা। একই ধরনের প্রতিটি খাতার দাম সমান এবং প্রতিটি কলমের দাম সমান ধরা হচ্ছে।
প্রথম সমীকরণ থেকে দ্বিতীয়টি বিয়োগ করলে x = 20। এরপর 20 + y = 30 থেকে y = 10।
উত্তর: একটি খাতার দাম 20 টাকা এবং একটি কলমের দাম 10 টাকা। যাচাই: 2 × 20 + 10 = 50 এবং 20 + 10 = 30।
সমীকরণ জোটের কয়টি সমাধান হতে পারে?
দুটি প্রকৃত সরলরেখার ক্ষেত্রে 3টি অবস্থা সম্ভব:
| রেখার অবস্থান | সমাধানের সংখ্যা | উদাহরণ | | --- | --- | --- | | দুটি রেখা একটি বিন্দুতে ছেদ করে | একটিমাত্র | x + y = 7; x − y = 1 | | দুটি পৃথক রেখা সমান্তরাল | কোনো সমাধান নেই | x + y = 4; x + y = 6 | | দুটি রেখা সম্পূর্ণ মিলে যায় | অসংখ্য | x + y = 4; 2x + 2y = 8 |
কোনো সমাধান নেই কেন? একই x ও y-এর যোগফল একই সঙ্গে 4 ও 6 হতে পারে না। সমীকরণ দুটি বিয়োগ করলে 0 = 2-এর মতো অসম্ভব ফল পাওয়া যায়। এই জোটকে অসংগত (Inconsistent) বলে।
অসংখ্য সমাধান কেন? শেষ উদাহরণে দ্বিতীয় সমীকরণটি প্রথমটির 2 গুণ। তাই প্রথমটি সত্য করে এমন প্রতিটি সংখ্যাজোড়া দ্বিতীয়টিকেও সত্য করে। যেমন (0, 4), (1, 3), (2, 2)। অন্তত একটি সমাধান থাকলে জোটকে সংগত (Consistent) বলে।
সমীকরণ দুটি এবং । প্রতিটি সমীকরণে x ও y-এর সহগ একই সঙ্গে শূন্য নয় ধরে নিচ্ছি।
নিচের 3টি রাশি হিসাব করো:
- D অশূন্য হলে একটিমাত্র সমাধান।
- D = 0 এবং Dₓ বা Dᵧ-এর অন্তত একটি অশূন্য হলে কোনো সমাধান নেই।
- D = Dₓ = Dᵧ = 0 হলে অসংখ্য সমাধান।
অনুপাতের নিয়মও ব্যবহার করা যায়, তবে সংশ্লিষ্ট হরগুলি অশূন্য হতে হবে:
কোনো হর শূন্য হলে অনুপাত না করে উপরের গুণফলের পার্থক্যের নিয়ম ব্যবহার করো।
কোন পদ্ধতি কখন সুবিধাজনক?
| সমীকরণের বৈশিষ্ট্য | সুবিধাজনক পদ্ধতি | | --- | --- | | একটি চলের সহগ সমান বা সহজে সমান করা যায় | অপনয়ন | | একটি চল ইতিমধ্যে অন্যটির মাধ্যমে প্রকাশ করা আছে | প্রতিস্থাপন | | দুটি সমীকরণ থেকেই একই চলকে সহজে প্রকাশ করা যায় | তুলনা | | সাধারণ আকারে সহগগুলি স্পষ্ট এবং D অশূন্য | বজ্রগুণনের সরাসরি সূত্র | | রেখার অবস্থান ও সমাধানের অর্থ বুঝতে চাই | লেখচিত্র |
সাধারণ ভুল ও মনে রাখার বিষয়
- সমীকরণকে কোনো সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে প্রতিটি পদ ও ডানপক্ষকেও গুণ করতে হবে।
- বিয়োগের সময় দ্বিতীয় সমীকরণের সব পদের চিহ্ন বদলাবে। বন্ধনী ব্যবহার করলে ভুল কম হয়।
- বজ্রগুণনের আগে সব পদ বামপক্ষে এনে ডানপক্ষে 0 লিখবে।
- ঋণাত্মক সহগ বন্ধনীতে বসাবে। যেমন c = −7 হলে শুধু 7 বসানো যাবে না।
- একটি চলের মান পেলেই কাজ শেষ নয়; অন্য চলের মানও বের করতে হবে।
- একটি সমীকরণে মিলে গেলেই জোটের সমাধান নিশ্চিত নয়; দুটিতেই যাচাই করবে।
- শূন্য দিয়ে ভাগ করা যায় না। D = 0 হলে জোটের সমাধান আছে কি না আলাদা করে বিচার করবে।
নিজে চেষ্টা করো
- অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করো: ।
- প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান করো: ।
- সমাধান করো: ।
- বজ্রগুণনের সরাসরি সূত্রে সমাধান করো: ।
- সমাধানের সংখ্যা নির্ণয় করো: ।
- সমাধানের সংখ্যা নির্ণয় করো: ।
- দুটি সংখ্যার যোগফল 20 এবং বড়টি ছোটটির চেয়ে 4 বেশি। সংখ্যা দুটি নির্ণয় করো।
- যোগ করে 2x = 12; তাই x = 6, y = 4।
- 3y + y = 12; তাই y = 3, x = 9।
- প্রথমটি থেকে দ্বিতীয়টি বিয়োগ করে x = 4; তাই y = 3।
- এখানে c₁ = −2, c₂ = 2, D = −2, Dₓ = 0, Dᵧ = −4। তাই x = 0/(−2) = 0 এবং y = (−4)/(−2) = 2।
- প্রথমটির 2 গুণে 2x + 2y = 6, যা দ্বিতীয়টির সঙ্গে অসংগত। কোনো সমাধান নেই।
- দ্বিতীয়টি প্রথমটির 2 গুণ। অসংখ্য সমাধান আছে।
- x + y = 20 এবং x − y = 4। যোগ করে x = 12; তাই y = 8। সংখ্যা দুটি 12 ও 8।
প্রায়শই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন
একটি দ্বিচলবিশিষ্ট সমীকরণ থেকে কি দুটি চলের নির্দিষ্ট মান পাওয়া যায়?
অতিরিক্ত শর্ত ছাড়া বাস্তব সংখ্যায় একটি প্রকৃত সরলরেখার সমীকরণের অসংখ্য সমাধান থাকে। একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাজোড়া নির্ণয়ের জন্য সাধারণত আরেকটি স্বাধীন সমীকরণ প্রয়োজন।
অপনয়ন ও প্রতিস্থাপন পদ্ধতির পার্থক্য কী?
অপনয়নে যোগ বা বিয়োগ করে একটি চল বাদ দেওয়া হয়। প্রতিস্থাপনে একটি চলকে অন্য চলের মাধ্যমে প্রকাশ করে দ্বিতীয় সমীকরণে বসানো হয়।
সব পদ্ধতিতে কি একই উত্তর পাওয়া যায়?
একটিমাত্র সমাধান থাকলে সঠিকভাবে প্রয়োগ করা সব পদ্ধতিতেই একই উত্তর পাওয়া যায়। লেখচিত্রে মাপের সীমাবদ্ধতায় আনুমানিক মান পাওয়া যেতে পারে।
বজ্রগুণনে D = 0 হলে কি কোনো সমাধান নেই?
শুধু D = 0 দেখে তা বলা যায় না। তখন কোনো সমাধান নাও থাকতে পারে, আবার অসংখ্য সমাধানও থাকতে পারে। অন্য সহগগুলি বিচার করতে হবে।
লেখচিত্রে সমাধান বলতে কী বোঝায়?
দুটি রেখার সাধারণ বিন্দুর স্থানাঙ্ক সমীকরণ দুটিকেই সত্য করে। ছেদকারী রেখার একটি, পৃথক সমান্তরাল রেখার কোনো এবং মিলে যাওয়া রেখার অসংখ্য সাধারণ বিন্দু থাকে।
